第7章 复数 知识点总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

知识总结
1）概念：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R)
2）虚数单位的性质
叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或
对于复数的定义要注意以下几点：
①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘
②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式
（2）分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数?b＝0
a＋bi为虚数?b≠0
a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos
θ＋isin
θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos
θ＋isin
θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式
加法法则：
设=，=是任意两个复数，
那么他们的和（）+（）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
减法法则：
设=a+bi，=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则-=（）-（）=（a-c）+（b-d）i.
索引4：复数的乘、除法则
乘法法则：
设=，=，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（）（）=ac+bci+adi+bd=（）+（）
除法法则：
（）÷（）=+i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）
索引5：复数乘、除运算的三角表示
乘法
=（cos+isin）·（cos+isin）
=（cos+isin）（cos+isin）
=[(coscos-sinsin)]
=[cos（+）+isin（+）
则
(cos+isin)·(cos+isin)
=[cos(+)+isin(+)]
除法
设=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因为
(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，
精例1
若复数
，则
（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.????????????????D.?
【答案】
A
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】【解答】
，
.
故答案为：A
【分析】根据题意由复数的运算性质整理化简再由复数的模的定义计算出答案。
精例2
已知复数
，
是z的共轭复数，若
·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（???
）
A.?-2??????????????B.?-1????????????????C.?1??????????????????????D.?2
【答案】
A
【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件
【解析】【解答】因为
，所以
，
因此
，
所以
且
则
。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的判断方法，进而求出a，b的值。
精例3
已知
，复数
（i为虚数单位）为实数，则
（???
）
A.?1?????????????????????????B.?-1???????????????C.?2?????????????????????D.?-2
【答案】
A
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：∵
（i为虚数单位）为实数，
，
∴
，解得
.
故答案为：A.
【分析】根据题意由复数代数形式的运算性质整理再结合复数的定义即可求出a的值。
7
练习1已知复数z满足
，则
（???
）
??????????????????B.???????????????????????????????C.?3??????????????????????????????D.?
练习2.若复数
（
为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数
（???
）
?-1????????????????????B.???????????????????????
???C.????????????????????????????????????D.?1
练习3设z1是虚数，z2＝z1
是实数，且﹣1≤z2≤1．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
（2）若ω
，求证ω为纯虚数；
（3）求z2﹣ω2的最小值．
练习4已知复数
，求
分别为何值时，
（1）
是实数；
（2）
是纯虚数；
（3）当
时，求
的共轭复数.
7
练习1
【答案】
D
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】【解答】因为
，所以
。
故答案为：D．
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再结合复数求模公式，进而求出复数z的模。
练习2
【答案】
B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
，所以复数
的实部为
，虚部为
，因为实部和虚部互为相反数，所以
，解得
故答案为：B
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．
练习3
【答案】
（1）解：设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），
则z2＝z1
（a+bi）
（a+bi）
（a+bi）
（a
）+（b
）i，
因为z2是实数，
所以b
0，即b（
）＝0，
因为b≠0，所以a2+b2＝1，
即|z1|＝1，且z2＝2a，
由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得
a
，
即z1的实部的取值范围为[
，
]．
（2）解：∵a2+b2＝1，
ω
，
因为
a
，b≠0，
所以ω
为纯虚数．
（3）解：z2﹣ω2＝（a
）+（b
）i﹣（
）2
，
＝2a+（b﹣b）i
＝2a
＝2a
?
?
＝1
＝1
＝1
＝1+2（a+1）﹣4
＝2（a+1）
3，a+1∈[
，
]，
当2（a+1）
时，即a＝0时，z2﹣ω2取最小值1．
【考点】基本不等式，复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）设z1代数形式代入z2
，
根据z2是实数，求得|z1|，再根据﹣1≤z2≤1，求得z1的实部的取值范围；（2）根据复数除法法则化简ω，再根据纯虚数概念判断证明；（3）先化简z2﹣ω2
，
再利用基本不等式求最小值．
练习4
【答案】
（1）解：z是实数，
，得
（2）解：z是纯虚数，
，且
，得
（3）解：当
时，
，
得
，得
当
时，
,得
；
当
时，
,得
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的加减运算，复数求模
【解析】【分析】（1）
由z是实数得
，可得a的值；
（2）由
是纯虚数得
，可得a的值；
（3）由
复数代数形式的乘除运算求得z，可得
的共轭复数.