第8章 立体几何初步 知识点总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章立体几何初步
知识总结
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定义
（1）做法：经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
（2）结论：我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围：
记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°
特殊情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b
索引2：直线与平面所成的角
一条直线1与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线 PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
索引3：空间中平面、直线的位置关系
1.直线与平面
(1)直线在平面内，有无数个公共点，如图
直线与平面相交，有且只有一个公共点如，如图
（3）直线与平面平行，没有共同点，如图
2.平面与平面的位置关系
①两个平面平行——没有公共点如图
②两个平面相交——有一条公共直线．如图
索引4：棱柱的分类与表示
1.表示
(1)表示:棱柱用表示底面各顶点的字母来表示
(2)分类:底面是三角形四边形、五边形....的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱五棱柱
2.分类------直棱柱、斜棱柱、正棱柱和平行六面体
(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱
(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱
(3)底面是正多边形的直校柱叫做正校柱
(4)底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六六面体
索引5：柱、锥、台的体积
(1)长方体的体积
V长方体＝abc＝Sh .
(其中a、b、c为长、宽、高，S为底面积，h为高)
(2)柱体(圆柱和棱柱)的体积
V柱体＝Sh.
其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半径)．
(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积
V锥体＝Sh.
其中V圆锥＝1∕3πr2h, r为底面半径．
(4)台体的体积公式
V台＝h(S＋＋S′)．
其中V圆台＝ 1∕3πR3
注：h为台体的高，S′和S分别为上下两个底面的面积．
索引6：直线、平面平行和平面、平面平行
1.直线、平面平行：
1.基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行
判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
2.平面、平面平行：
1.判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
2.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
索引7：平面图形的斜三侧画法的步骤
（1）建两个坐标系，注意斜坐标系夹角为450或1350；
（2）与坐标轴平行或重合的线段保持平行或重合；
（3）水平线段等长，竖直线段减半；
简言之：“横不变，竖减半，平行、重合不改变。”
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精例1
如图，在正方体 中，E为 的中点， .求证：
（1） 平面 ；
（2） 平面 .
【答案】 （1）解： 在正方体中， 平面 ，
平面 ， ，
， ，
平面
（2）解：连接 ，
在正方体中， 且 ，
四边形 是平行四边形， 且 ，
分别为 中点， ，
四边形 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 .
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1） 在正方体中， 平面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ， 又根据 ，从而利用线线垂直证出线面垂直，进而证出 平面 。
（2） 连接 ，在正方体中， 且 ，所以结合平行四边形的定义，推出四边形 是平行四边形，所以利用平行四边形的定义，得出 且 ，因为 分别为 中点， ，所以利用平行四边形定义推出四边形 是平行四边形，所以利用平行四边形的性质推出 ， 再利用线线平行证出线面平行，进而证出 平面 。
精例2
已知四棱锥 中，底面 是矩形，侧面 是正三角形，且侧面 底面 ， ，若四棱锥 外接球的体积为 ，则该四棱锥的表面积为（??? ）
A.????????????????????????B.???????????????????C.?????????????????D.?
【答案】 B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，球的体积和表面积
【解析】【解答】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ，
因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点，
过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心，
设外接球半径为 ，外接球的体积为 ，所以 ，即 ，
过 作 ，则 是 的中点，连接 ，所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，则 ， ，
所以 ，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，所以 ， ，
因为 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，
作 于 ，所以 为 的中点，所以 ，所以 ， ，
所以 。
故答案为：B.

【分析】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ，因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点，过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心，再利用球的体积公式结合已知条件，进而求出球的半径长，过 作 ，则 是 的中点，连接 ，所以 ， ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，再利用勾股定理结合已知条件，进而求出x的值，所以 ， 再利用三角形面积公式结合 ，所以 平面 ， 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ， ， 再利用等面积法结合三角形面积公式，进而结合勾股定理，进而结合中点的性质求出PH的长，再利用三角形面积和矩形面积公式结合求和法，进而求出该四棱锥的表面积。
精例3
下列命题正确的是（??? ）
?三点确定一个平面???????????????????????????????????????????
???B.?一条直线和一个点确定一个平面
C.?梯形可确定一个平面???????????????????????????????????????????
D.?圆心和圆上两点确定一个平面
【答案】 C
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，A选项错误.
对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，B选项错误.
对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.
对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.
故答案为：C
【分析】根据公理 对选项逐一分析，由此确定正确选项.
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练习1.如图，四面体 中，O是 的中点，点G、E分别在线段AO和BC上， ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
练习2长方体 中， =12， =10， =6，过 作长方体的截面 使它成为正方形，
（1）求截面 将正方体分成的两部分的体积比；
（2）求
练习3. 、 为不重合的平面， 、 为两条直线，下列命题正确的为（??? ）
A.?若 ， ， ，则
B.?若 ， ，则
C.?若 ， ，则
D.?若 ， ， ，则
练习4.如图所示的是水平放置的三角形直观图， 是 中 边上的一点，且 离 比 离 近，又 轴，那么原 的 、 、 三条线段中（??? ）
A.?最长的是 ，最短的是 ?????????????????????????????B.?最长的是 ，最短的是
C.?最长的是 ，最短的是 ????????????????????????????D.?最长的是 ，最短的是
8.
练习1.【答案】
（1）证明：连接 并延长，交 于 ，连接 ，
在 中， 为BD中点， 在AO上， ，
∴ 为 的重心∴ ，
又 ∴ ∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）证明：在 中， 为 中点， ， ，
∴ ∴ ，
在 中， ， 为 中点，连接 ，则 ，
又 ，∴ ，∴
由 ， ， ， 平面 ，
得 平面 ，
又 平面 ，
∴平面 平面 .
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1） 连接 并延长，交 于 ，连接 ，在 中， 为BD中点， 在AO上， ，所以 为 的重心，再利用重心的性质得出对应边成比例，所以两直线平行，即 ， 再利用线线平行证出线面平行，进而证出 平面 。
（2） 在 中， 为 中点， ， ，所以 ，再利用勾股定理求出的值，在 中， ， 为 中点，连接 ，则 ，又 ，再利用勾股定理证出线线垂直，所以 ， 再由 ， ，证出线面垂直，即 平面 ， 再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 。

?
练习2.【答案】
（1）解： 是正方形， =12， =10， =6
， ，
截面 将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高 相等均为长方体侧棱长
，

（2）解：过点B作直线BG平行于 交 于点G，过G作 的垂线交 于H，如图：
则BG平行于平面 ，则点B到面 的距离即为点G到面 的距离，
易证 平面 ，即GH即为点G到面 的距离






【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）截面 将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高相同，利用 只需要求出底面积的比值即可.(2)过点B作直线BG平行于 交 于点G,则点B到面 的距离即为点G到面 的距离，过G作 的垂线交 于H，则易证GH即为点G到面 的距离，再代入 即可.
练习3【答案】 D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A选项，若 ， ， ，则 与 平行或异面，A选项错误；
对于B选项，若 ， ，则 或 ，B选项错误；
对于C选项，若 ， ，则 、 、 或 与 斜交，C选项错误；
对于D选项，设直线 、 的方向向量分别为 、 ，
由于 ，则平面 的一个法向量为 ， ，则平面 的一个法向量为 ，
因为 ，则 ，因此， ，D选项正确.
故答案为：D.

【分析】由已知条件结合题意即可判断出直线a与b的关系由此看判断出选线A错误，由题意结合线面平行的定义即可判断出直线与平面的位置关系由此即可判断出选项B和C错误，再由空间直线的位置关系和法向量之间的联系即可判断出选项D正确，进而得到答案。
练习4【答案】 B
【考点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由题意得到原 的平面图为：
其中， ， ，所以 ，所以 的 、 、 三条线段中最长的是 ，最短的是 .
故答案为：B.
【分析】作出原 的平面图，利用数形结合思想，观察图形找出最短线段和最长线段，便可得出结果