2.3.1向量的数乘运算-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（27张PPT）

向量的数乘运算
授课教师：
温故知新
学习目标
1.理解数乘向量的概念及其几何意义；（重点）
2.掌握数乘向量的运算律，能进行简单运算.（难
点）
课文精讲
在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我
们总是先看到闪电，后听到雷声?这是因为光
速远远大于声速.经测量，光速大小约为声速
的8.8×105倍.

数乘运算的定义
课文精讲
一重物由高空自由落下，根据自由落体
运的速度公式v=gt可知，它在1 s末和2 s末的
速度大小分别为v1=9.8 m/s和v2=19.6 m/s.显然，
v2=2v1 ，并且方向都是竖直向下.
数乘运算的定义
课文精讲
以上实例说明在实际中存在这样的两个
向量，它们是共线的，而且大小之间具有倍
数关系.因此，有必要定义实数与向量的乘积
运算.
数乘运算的定义
课文精讲
数乘运算的定义
我们已经知道，多个向量相加，结果是一
个向量.特别地，给定一个向量????，3个????相加????+
????+????的结果，是一个模为3|????|、方向与????相同的
向量，如图所示，通常这个向量简记为3????，即
????+????+????=3????.
?
????
?
3????
?
课文精讲
数乘运算的定义
3个-????相加(-????)?+(-????) +(-????)的结果，是一个
模为3|????|、方向与????相反的向量，如图所示，通
常这个向量简记为-3 ????，即
(-????)?+(-????) +(-????)=-3????.
?
-????
?
-3????
?
课文精讲
数乘运算的定义
实数λ与向量????的乘积是一个向量，记作
λ????，满足以下条件:
(1)当λ>0时，向量λ????与向量????的方向相同；
当λ＜0时，向量λ????与向量????的方向相反；
当λ=0时，0 ????= ????.
(2)| λ???? |= |λ|| ????|.
?
这种运算称为向量的数乘.
课文精讲
如图，由实数与向量数乘λ????的定义可以看
出，它的几何意义是:
(1)当λ >0时，表示向量????的有向线段在原方向
伸长或缩短为原来的| λ |倍；
(2)当λ <0时，表示向量????的有向线段在反方向
伸长或缩短为原来的| λ |倍.
?
数乘运算的定义
????
?
λ????
?
λ????
?
λ >0
λ <0
课文精讲
由向量的数乘定义容易推出，在非零向量
????方向上的单位向量是
????|????|.
?
数乘运算的定义
它表明一个非零向量除以它的模(乘它的
模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单
位向量，这一过程称为向量的单位化.
????
?
λ????
?
λ????
?
λ >0
λ <0
课文精讲
设λ，μ为实数， ????， ????为向量，那么根据
向量的数乘定义，可以得到以下运算律：
?
数乘运算的运算律
(1)(λ+ μ)????= λ????+ μ????;
(2)λ (μ????)=?(λ μ)?????;
(3)λ(?????+ ????)=λ????+ λ????.
?
结合律
第一分配率
第二分配率
课文精讲
特别地，我们有：
数乘运算的运算律
(-λ)????=-(λ????) = λ(-????)
λ(?????- ????)=λ????- λ????
?
结合律
分配率
课文精讲
利用相似三角形的性质，从下图，可以推出运算律(3)，其他运算律可以由向量的数乘定义直接得到.
数乘运算的运算律
?????+ ????
?
????
?
????
?
λ????
?
λ????
?
λ????+ λ????
?
λ(?????+ ????)
?
λ＞0
λ＜0
λ????+ λ????
?
λ????
?
????
?
????
?
?????+ ????
?
λ(?????+ ????)
?
λ????
?
课文精讲
向量的加法、减法和数乘的综合运算，
通常称为向量的线性运算(或线性组合).例如，
2????+3????，-3????+5????， ????????????- ????????????等都是????，????的线性
运算.若一个向量????由向量????， ????的线性运算得
到，如?????= 2????+3?????，则称向量????可以用向量????，
????线性表示.
?
数乘运算的运算律
课文精讲
向量的数乘运算相当于代数的多项式运
算，主要包括“合并同类项”和“提取公因
式”.
但是代数的多项式运算是一个实数，向
量的数乘运算是一个向量.
数乘运算的运算律
典型例题
例1:设????， ????为向量，计算下列各式:
(1) (-3)?×4????；
(2) 3(?????+ ????)- ???????? (?????- ????)-????；
(3) (2λ- μ)????- λ????- (λ- μ) (?????- ????)(λ， μ为实数).
?
典型例题
例1:设????， ????为向量，计算下列各式:
(1) (-3)?×4????；
?
解：(1) 由数乘运算的运算律，得
(-3)?×4????= (-3×4) ????=-12????；
?
典型例题
例1:设????， ????为向量，计算下列各式:
(2) 3(?????+ ????)- ???????? (?????- ????)-????；
?
解：(2) 由数乘运算的运算律，得
3(?????+ ????)- ???????? (?????- ????)-????=3?????+3????- ????????????+ ????????????- ????
=????????????+????????????;
?
典型例题
例1:设????， ????为向量，计算下列各式:
(3) (2λ- μ)????- λ????- (λ- μ) (?????- ????)(λ， μ为实数).
?
解：(3) 由数乘运算的运算律，得
(2λ- μ)????- λ????- (λ- μ) (????-????)
=2λ????- μ????-λ????-λ(?????- ????)+μ(????-????)
=2λ????- μ????-λ????-λ?????+λ????+μ????-μ????
= λ????-μ????.
?
典型例题
例2:设????是未知向量，解方程????+????-3 (???? - ????)=????.
?
解：原式可变形为????+????-3???? + 3????=????，
2????=????+3????，
????= ???????? ????+ ????????????.
?
典型例题
例3:如图，已知点O是△ABC所在平面内一点，
点D为边BC的中点，且????????+????????+????????=????，说明
向量???????? 与????????的关系.
?
解：因为点D为BC边的中点，所以????????+ ????????=2????????.
又????????+????????+????????=????，所以????????+2 ????????= ????.
也就是2 ???????? =- ????????， ????????= ?????????????????.
?
O
B
C
A
D
典型例题
例3:如图，已知点O是△ABC所在平面内一点，
点D为边BC的中点，且????????+????????+????????=????，说明
向量???????? 与????????的关系.
?
解：所以????????= ????????+ ????????= ???????? ????????，即向量????????与????????共线且方向相同，长度是向量长度的????????倍.
?
O
B
C
A
D
综合练习
已知????=?????????+2?????????， ????= ?????????-2?????????，则2????-3????=___________.
?
解：已知????=?????????+2?????????， ????= ?????????-2?????????，
则2????-3????=2 ?????????+4????????-3?????????+6????????=- ?????????+10????????.
?
- ?????????+10????????
?
综合练习
已知????????=2?????????，????????=m?????????，则m=_______.
?
解：因为????????=2?????????，????????=m?????????，
所以????????=m(?????????+ ?????????)= -m????????-m????????，
可得(1+ m) ????????=-m ????????，
可得????????=????+????????? ?????????，
所以????+????????? =2，可得????=-????????.
?
- ????????
?
本课小结
再 见