2.3.2向量的数乘与向量共线的关系-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（23张PPT）

向量的数乘与向量共线的关系
授课教师：
温故知新
学习目标
1.掌握共线向量基本定理，并会简单应用；（重
点）
2.掌握直线的向量表示.（重点）
课文精讲
设????是非零向量.由向量共线和数乘的定义
可以直接推知，对于任意向量????. 若????=λ ????， λ是
一个实数，则????∥ ????.反之，对于任意向量????，
若????∥ ????，是否存在一个实数λ ，使得????=λ ?????
?
共线(平行)向量基本定理
课文精讲
可以分以下两种情况讨论.
共线(平行)向量基本定理
若????和????方向相同，则 是????的单位向量，
????=|????| ，即????= ，λ= ；
?
????|????|
?
????|????|
?
|????||????|
?
????
?
|????||????|
?
若????和????方向相反，则 是????的单位向量，
????=?|????| ，即????=? ，λ=? .
?
?????|????|
?
????|????|
?
????
?
|????||????|
?
|????||????|
?
所以一定存在唯一一个实数λ，使????= λ????.
?
课文精讲
这样就得到如下定理：
共线(平行)向量基本定理 给定一个非
零向量????，则对于任意向量?????， ?????∥????的充要
条件是存在唯一一个实数λ，使 ?????= λ????.
例如，????=?2 ????，则????∥????；若????∥????， ????的
长度是????的2倍并且方向相反，则?????=?2????.
?
共线(平行)向量基本定理
课文精讲
共线(平行)向量基本定理
在共线向量基本定理中:
(1) ?????= λ????时，通常称为????能用????表示.
(2)其中的“唯一”指的是，如果还有????=μ????，
则λ=μ.这是因为:由λ????= μ????可知(λ-μ) ????=????，
如果λ-μ ≠0，则????= ????，与已知矛盾，所以
λ-μ=0，即λ=μ.
?
典型例题
例1：如图，已知????????=3 ????????，????????=3????????，试判
断????????与????????是否平行.
?
解：因为?????????= ????????+ ????????=3????????+?????????????=3(????????+????????)=3????????，
所以????????与????????平行.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
典型例题
例2：设A，B，C，D中的任何三个点不共线，
用向量语言描述下列几何图形的特征.
(1)四边形ABCD是平行四边形；
(2)在梯形ABCD中，上底AD长是下底BC长的
一半；
(3)点D是△ABC的重心.
典型例题
例2：设A，B，C，D中的任何三个点不共线，
用向量语言描述下列几何图形的特征.
(1)四边形ABCD是平行四边形；
解：共线(平行)向量基本定理，得
(1) ????????=?????????且????????=????????(如图①).
?
A
B
C
D
①
典型例题
例2：设A，B，C，D中的任何三个点不共线，
用向量语言描述下列几何图形的特征.
(2)在梯形ABCD中，上底AD长是下底BC长的
一半；
解：共线(平行)向量基本定理，得
(2) ????????=????????????????(如图②).
?
A
B
C
D
②
典型例题
例2：设A，B，C，D中的任何三个点不共线，
用向量语言描述下列几何图形的特征.
(3)点D是△ABC的重心.
解：共线(平行)向量基本定理，得
(3) ????????=??????????(????????+????????)或????????=??????????(????????+????????)
或????????=??????????(????????+????????) ；也可以表示成
????????+????????+????????= ????(如图③).
?
B
A
C
D
③
课文精讲
直线的向量表示
能否用向量来刻画直线呢？
问题提出
课文精讲
直线的向量表示
如图，已知A，B两点确定一条直线l，直
线l上任意一点P所对应的向量????????与向量????????平
行，从而????????可以用????????表示，即存在唯一实数
t，使得?????????=t ????????.这说明由一个点A和一个非
零向量????????可以唯一地确定过点A与向量????????平
行的直线l.
?
分析理解
A
B
l
P
·
课文精讲
直线的向量表示
通常可以用?????????=t ????????表示过点A，B的直线l，其中????????称为直线l的方向向量.
?
典型例题
例3：如图，已知A，B是直线l上的两个定点，
点O是直线l外的一个定点，点P是直线l上的
任意一点.证明:存在唯一的实数t，满足?????????=
?????????+t ????????.
?
解：因为A，B， P都是直线l上的点，所以存在唯一实数t，使得?????????=t ?????????，
因为?????????= ?????????- ????????，
所以?????????-?????????=t ????????.
即?????????= ?????????+t ????????.
?
A
B
P
l
O
典型例题
例3：如图，已知A，B是直线l上的两个定点，
点O是直线l外的一个定点，点P是直线l上的
任意一点.证明:存在唯一的实数t，满足?????????=
?????????+t ????????.
?
本题给出了利用直线的向量表示来判断A，
B， P三点共线的一种方法.
A
B
P
l
O
典型例题
在例3中，若点P是AB的中点，则?????????=
???????? (?????????+ ????????)，这是线段AB中点的向量表达式.
?
直线的向量表示
综合练习
忽视零向量
判断向量????=?2?????，????=5?????是否共线.
?
解：当?????= ?????时， ????= ????= ?????，所以????与????共线；
当?????≠ ?????时，由于????= ???????????，所以存在唯一
实数λ= ????????? ，使得????=λ?????，从而????与????共线.
综上，向量????与????共线.
?
忽视零向量
误区警示:
判断两个向量是否共线的关键是看两个向量是否满足向量共线定理. 在向量共线定理????=λ????中要求????≠ ????. 因此. 在解相关问题时，不要忽略零向量.
?
综合练习
综合练习
已知????与????不共线，而且????-x????与3????+ 2????共线，求
x的值.
?
解： 因为????与????不共线，所以3????+ 2????≠ ????，因此
由已知可得存在实数t，使得
????-x????=t(3????+2????)，
即????-x????=t(3????+2????)，从而
?
1=3t，
-x=2t，
x=?????????.
?
本课小结
再 见