2.4.1平面向量基本定理-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（19张PPT）

平面向量基本定理
授课教师：
温故知新
学习目标
1.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向
量；（重点）
2.能够灵活应用向量定理解决平面几何问题.（难
点）
课文精讲
如图，在物理学中，一个放在斜面上的物
体所受的竖直向下的重力G，其作用体现在两
个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方
向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使
物体沿斜面下滑的力F1垂直于斜面的力F2.在
实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移
等分解为不同方向的分量的和.
课文精讲
问题提出
任意两个向最做加法、减法或数乘运算
的结果都是一个向量.反过来，对于平面内给
的两个不共线向量?????????，????????，任一向量????是否都
可以用形如λ1 ?????????+ λ2 ????????的形式表示呢?
?
课文精讲
分析理解
如图，给定两个不共线的向量?????????，????????，
以及任意一个向量?????，在平面内任取一点O，
作?????????= ?????????， ?????????= ????????， ?????????= ????.过点C作平行于
OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平
行于OA的直线，与直线OB交于点N.
?
????????
?
????????
?
????
?
O
B
M
C
A
N
课文精讲
分析理解
由共线(平行)向量基本定理可知，存在唯
一的实数λl， λ2，使得?????????= λl?????????，?????????= λ2????????.
又因为????????= ?????????+ ?????????，所以????= λl????????+λ2????????.也就
是说，任一向量????都可以表示成 λl????????+λ2????????的形
式.这种形式又称作向量?????????，????????的线性表示.
?
????????
?
????????
?
????
?
O
B
M
C
A
N
课文精讲
如图，?????????，????????是两个不共线的向量，容
易看出
????????=2????????+3????????， ????????=- ????????+4????????.
????????=4????????+-4????????， ????????=-2????????+5????????.
?
可以发现，平面内任意一个向量都可以
由这个平面内两个不共线的向量?????????，????????线性
表示.
?
课文精讲
课文精讲
平面向量基本定理 如果?????????和????????是同一
平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任
意一个向量????，存在唯一的一对实数λl， λ2 ，使
????= λl????????+λ2????????.
?
我们把不共线的向量?????????和????????叫作表示这一
平面内所有向量的一组基，记为{?????????，????????}.
?
课文精讲
平面向量基本定理 如果?????????和????????是同一
平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任
意一个向量????，存在唯一的一对实数λl， λ2 ，使
????= λl????????+λ2????????.
?
若基中的两个向量互相垂直，则称这组基
为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交
分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，
则称这组基为标准正交基.在标准正交基下进行
向量分解，许多有关度量的问题就变得较为简单.
课文精讲
平面向量基本定理中，当?????????和????????不共线时，
“唯一的实数对”指的是????用????????，????????表示时，
表达式唯一，即如果
????=λl????????+λ2????????=ul????????+u2????????，
那么λl = ul且λ2 = u2.
?
这是因为由λl????????+λ2????????=ul????????+u2????????可知(λl - ul)????????-
(λ2 - u2) ????????，如果λl - ul ≠0，则????????=?????????????????????????????????????? ?????????，从而
可知共线，与已知矛盾，因此λl - ul =0即λl = ul.同
理可得λ2 = u2.
?
典型例题
例1：如图，在 ABCD中，点E，F分别为BC，
DC的中点， ????????=????， ????????=????，用????， ????表示 ????????
和 ????????.
?
解：根据题意，得
?????????????????= ????????= ????，????????=????????? ????????=?????????????，
所以????????= ????????+ ????????= ?????????????????.
同理????????= ????????+ ????????=?????????????????????????= ?????????????????.
?
A
B
C
D
E
F
????
?
????
?
典型例题
例2：如图，已知点M，N，P分别是△ABC三
边BC，CA，AB上的点，且????????=???????????????? ，
????????=???????????????? ，????????=???????????????? .设???????? = ????， ???????? = ????.
选择基{????，????}，试写出向量????????， ????????， ????????
在此基下的分解式.
?
解：根据题意，得????????= ????????????????=????????（?????????????????）
= ???????? （?????????）.
????????=????????? ?????????=?????????????，
所以????????= ????????+ ????????
= ???????? （?????????）-????????????=- ???????? ????+ ????????????.
?
A
B
C
M
N
P
????
?
????
?
典型例题
例2：如图，已知点M，N，P分别是△ABC三
边BC，CA，AB上的点，且????????=???????????????? ，
????????=???????????????? ，????????=???????????????? .设???????? = ????， ???????? = ????.
选择基{?????????，????????}，试写出向量????????， ????????， ????????
在此基下的分解式.
?
解：同理????????= ????????+ ????????
= ????????????+ ???????? （?????????）= ???????? ????+ ????????????，
?
A
B
C
M
N
P
????
?
????
?
????????= ????????- ????????= ???????? ????- ????????????.
?
综合练习
设?????????，????????为平面向量的一组基底，则下面四组
向量组中不能作为基底的是( )
A.?????????+?????????和?????????-????????? B.4?????????+2????????和2?????????-4?????????
C.2?????????+????????? 和?????????+2????????????????????D. ?????????-2????????和2?????????-4????????
?
解：由题意可知， ?????????，????????是不共线的两个向量，
可以判断选项A，B，C都可以做基底，
选项D， ?????????-2????????=-????????(2?????????-4????????)，故选项D不能
做基底.
?
D
综合练习
如图，在△ABC中，MC=????????BC，设????????=????，
????????=????，则????????=( )
A. ?????????????- ???????????? B. ?????????????- ????????????
?
解：因为????????= ????????+ ????????= ????????+ ????????????????
= ????????+ ????????(????????-????????)
?
A
B
C
M
C. ?????????????+ ???????????? D. ?????????????+ ????????????
?
= ????????????+ ????????????.
故选C.
?
C
本课小结
再 见