2.4.2平面向量及运算的坐标表示-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（36张PPT）

平面向量及运算的坐标表示
授课教师：
温故知新
学习目标
1.掌握平面向量的坐标表示，理解点坐标与向量
坐标的区别与联系. （重点）
2.平面上向量的和、差及数乘运算，会用坐标表
示中点坐标.（难点）
3.掌握向量平行的坐标表示.（重点）
课文精讲
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x
轴、y轴方向相同的两个单位向量?????，????作为标
准正交基.对于坐标平面内的任意向量?????，以
坐标原点O为起点作?????????= ?????(通常称????????为位置
向量).由平面向量基本定理可知，有且仅有一
对实数x，y，使?????????=x ?????+y????.
?
平面向量的坐标表示
x
y
?????
?
P(x，y)
?????
?
????
?
课文精讲
因此， ?????=x?????+y????.我们把(x，y)称为向量
?????在标准正交基{?????，????}下的坐标，向量???? 可以表示为???? =(x，y).

?
平面向量的坐标表示
x
y
?????
?
P(x，y)
?????
?
????
?
课文精讲
在平面直角坐标系中，点P的位置被它的
位置向量????????所唯一确定，设点P的坐标为
(x，y)，容易看出
????????=x ?????+y????=x ?????+y????.
?
平面向量的坐标表示
x
y
?????
?
P(x，y)
?????
?
????
?
课文精讲
平面向量的坐标表示
即点P的位置向量的坐标(x，y)也就是点P
的坐标；反之，点P在平面直角坐标系中的坐
标也是点P所决定的位置向量????????的坐标.
?
x
y
?????
?
P(x，y)
?????
?
????
?
课文精讲
在解决实际问题和数学问题中，常常需要
建立标准正交基，用坐标的方法来讨论和解决
问题.
平面向量的坐标表示
x
y
?????
?
P(x，y)
?????
?
????
?
课文精讲
点坐标与向量的坐标的区别与联系
平面向量的坐标表示
区别：
①表示形式不同
向量 ?????=(x，y)中间是用等号连接，但是点
A(x，y)中间并没有等号.
?
课文精讲
点坐标与向量的坐标的区别与联系
平面向量的坐标表示
区别：
②意义不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示的是点A在平面
直角坐标系中的位置，向量 ?????=(x，y)的坐
标(x，y)既表示向量的大小，又表示向量的
方向.
?
课文精讲
点坐标与向量的坐标的区别与联系
平面向量的坐标表示
联系：
当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
典型例题
例1：在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动.先画出下列位移向量在基{?????，????}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：
(1)向量????表示沿东北方向移动了2个单位长度;
(2)向量????表示沿北偏西30°方向移动了3个单
位长度;
(3)向量????表示沿南偏东60°方向移动了4个单
位长度.
?
典型例题
例1：在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动.先画出下列位移向量在基{?????，????}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：
(1)向量????表示沿东北方向移动了2个单位长度;
?
解：设?????= (x1，y1) ， ????= (x2，y2) ， ?????= (x3，y3) ，则向量?????，， ????， ?????在基{?????，????}下的正交分解，如图.
?
x
y
P′
?????
?
????
?
?????
?
Q′
R′
?????
?
30°
45°
60°
?????
?
O
典型例题
例1：在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动.先画出下列位移向量在基{?????，????}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：
(1)向量????表示沿东北方向移动了2个单位长度;
?
解： x1= |????|cos45°=2×????????=????，
y1= |????|sin45°=2×????????=????；
?
x
y
P′
?????
?
????
?
?????
?
Q′
R′
?????
?
30°
45°
60°
?????
?
O
典型例题
例1：在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动.先画出下列位移向量在基{?????，????}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：
(2)向量????表示沿北偏西300方向移动了3个单
位长度;
?
解： x2= |????|cos120°=3×(-????????)?=-????????，
y2= |????|sin120°=3×????????=????????????；
?
x
y
P′
?????
?
????
?
?????
?
Q′
R′
?????
?
30°
45°
60°
?????
?
O
典型例题
例1：在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动.先画出下列位移向量在基{?????，????}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：
(3)向量????表示沿南偏东60°方向移动了4个单
位长度.
?
解： x3= |????|cos(-30°)= 4×????????=2????，
y3= |????|sin (-30°)= 4×(-????????)?=-2.
?
x
y
P′
?????
?
????
?
?????
?
Q′
R′
?????
?
30°
45°
60°
?????
?
O
典型例题
例1：在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动.先画出下列位移向量在基{?????，????}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：
(2)向量????表示沿北偏西300方向移动了3个单
位长度;
?
解：因此?????= (????，????) ，
????=?(?????????，????????????)，
????=?(????????，?????).
?
x
y
P′
?????
?
????
?
?????
?
Q′
R′
?????
?
30°
45°
60°
?????
?
O
课文精讲
平面向量运算的坐标表示
设????=(????????，????????)，????=(????????，????????)，则????=?????????????+????????????，
????=?????????????+????????????，根据向量的运算律，可得
????+????=(?????????????+????????????)+(?????????????+????????????)
=?(????????+????????) ?????+(????????+????????) ????，
?
????+????=(????????+????????，???????? +????????)
?
????-????=(????????-??????，???????? -????????)
?
同理
课文精讲
平面向量运算的坐标表示
设λ∈R，则λ????= λ (?????????????+????????????)= λ?????????????+ λ????????????.
?
λ????=(λ????????， λ????????)
?
课文精讲
如图，设点A =(????????，????????) ，B =(????????，????????) ，
则 ????????= ???????? - ????????= (????????，????????) - (????????，????????)
=(????????- ???????? ， ?????????-???????? )
?
平面向量运算的坐标表示
????????=(????????- ???????? ， ?????????-???????? )
?
x
y
A
B
O
1
1
概括
①两个向量和与差的坐标分别等于这两个向
量相应坐标的和与差；
②实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向
里的相应坐标的乘积；
③一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起
点的坐标.
课文精讲
平面向量运算的坐标表示
例2：设点A (????????，????????) ，点B (????????，????????) ，若M
是线段AB的中点，求点M的坐标.
?
典型例题
解：如图，向量????????= (????????，????????) ，????????= (????????，????????) ，由向量的线性运算可知
????????=?????????(????????+ ????????)=????????+?????????????，??????????+????????????.
所以中点M的坐标是????????+?????????????，??????????+????????????.
?
x
y
A
B
O
M
例2：设点A (????????，????????) ，点B (????????，????????) ，若M
是线段AB的中点，求点M的坐标.
?
典型例题
解：可以得出，若点A (????????，????????) ，点B (????????，????????)，
线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则
?
x=????????+????????????
?
y =?????????+?????????????
?
x
y
A
B
O
M
典型例题
此公式为线段AB的中点坐标公式.
x
y
A
B
O
M
x=????????+????????????
?
y =?????????+?????????????
?
典型例题
例3：已知????=(2，1)， ????= (-3，4) ，求????+ ????， ????-
????，3 ????+4????的坐标.
?
解： ????+ ????=(2，1)+ (-3，4) = (-1，5) ，
????- ????=(2，1)- (-3，4) = (5，-3) ，
3????+4????=3(2，1)+4(-3，4)= (6，3)
+(-12，16)= (-6，19) .
?
典型例题
例4：已知点A(1，0)，B (0，2) ，C (-1，-2) ，
用向量的方法求 ABCD的顶点D的坐标.
解：如图，设点D的坐标为(x，y) ，由????????= ????????，得(0，2)-(1，0)=(-1，-2)-(x，y)，
即(-1，2)=(-1-x，-2-y).
?
所以
-1-x=-1,
-2-y=2.
解得
x=0,
y=-4,
所以点D的坐标为(0，-4).
-1
1
????
?
?????
?
A
B
1
????
?
????
?
????
?
O
-2
-3
-1
-2
C
D
典型例题
例5：已知点A(2，-4)，B (-1，3) ，C (3，4) ，
用????????=2?????????+ 3????????，求点M的坐标.
?
解：根据题意，得
????????= (2-3，-4-4)=(-1，-8) ，
????????= (-1-3，3-4)=(-4，-1) ，
于是????????=2?????????+ 3????????=2(-1，-8)+3(-4，-1)
=(-2，-16)+(-12，-3)= (-14，-19).
?
典型例题
例5：已知点A(2，-4)，B (-1，3) ，C (3，4) ，
用????????=2?????????+ 3????????，求点M的坐标.
?
解：设点 M的坐标为(x，y)，则????????=(x-3，y-4).
?
因此
x-3=-14,
y-4=-19.
解得
x=-11,
y=-15.
所以点 M的坐标为(-11，-15).
课文精讲
在平面直角坐标系中，?????=(????????，????????) ，点
?????= (????????，????????) ， ?????≠ ?????.若?????∥ ?????，则存在实数λ ，
使得?????= λ ????，由共线(平行)向量基本定理，
可知???????? ????+????????????= λ(???????? ????+????????????)= λ???????? ????+????????????????.
?
平面向量运算的坐标表示
于是
?????????= λ?????????，
????????=????????????.
?
消去λ，得????????????????- ????????????????=0.
?
这就是说，向量????，?????(?????≠ ????)共线的充要条件是????????????????- ????????????????=0.
?
典型例题
例6：已知O是坐标原点， ?????????=(k，12)， ?????????=
(4，5) ， ?????????=(10，k)，当k为何值时，A，B，
C三点共线？
?
解：依题意，得
?????????=?????????-?????????=(4，5)-(k，12)=(4-k，-7) ，
?????????=?????????-?????????=(10，k)-(4，5)=(6，k-5) .
要使A，B，C三点共线，只需?????????， ????????共线，即(4-k)(k-5)-6×(-7)=0.
解得k=-2或k=11.
所以当k=-2或k=11时， A，B，C三点共线.
?
综合练习
已知????=(-2，3)， ????=(3，-3) ，求下列向量的坐
标：
(1) ????+????; (2) 2????-5????; (3)????????????.
?
解：(1) ????+????=(-2，3)+(3，-3)=(-2+3，3-3)=(1，0);
(2)2????-5????=2(-2，3)-5(3，-3)
=(-4，6)-(15，-15)
=(-19，21);
?
综合练习
已知????=(-2，3)， ????=(3，-3) ，求下列向量的坐
标：
(1) ????+????; (2) 2????-5????; (3)????????????.
?
解： (3)????????????=?????????(3，-3)=(1，-1) .
?
综合练习
已知A(-2，1)，B(1，3)，求线段AB的中点M与
三等分点P，Q的坐标(如图所示).
解：显然????????=????????(????????+ ????????)=[(-2，1)+(1，3)]
=(?????????，2).
因为????????=????????-????????=(1，3)-(-2，1)=(3，2).
?
又因为????????=????????????????，
所以????????-????????=????????????????，
因此????????=????????+????????????????
= (-2，1)+????????(3，2)=(-1，????????).
?
B
A
M
y
x
O
Q
P
·
·
·
·
·
综合练习
已知A(-2，1)，B(1，3)，求线段AB的中点M与
三等分点P，Q的坐标(如图所示).
B
A
M
y
x
O
Q
P
·
·
·
·
·
解：类似地，有????????=????????+????????????????=(-2，1)+?????????(3，2)
=(0，????????).
因为M (-????????，2)，P (-1，????????)，Q(0，????????).
?
本课小结
再 见