2.5.1向量的数量积-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（23张PPT）

向量的数量积
授课教师：
温故知新
学习目标
1.理解向量数量积的定义及投影向量；（重
点）
2.掌握向量积的运算律和运算性质.（难点）
课文精讲
在物理学中，一个物体在力的作用下产生
位移，就说这个力对物体做了功.
如果力的方向跟物体运动的方向相同，功
就等于力的大小和位移大小的乘积.

向量的数量积的定义
课文精讲
如图，如果力????的方向与物体运动的方向
成θ角，我们可以将力????进行分解：
?
向量的数量积的定义
与位移方向平行的分力?????????满足|????????|= |????|cosθ ， 物体在?????????的方向上产生了位移????，因而
力????????对物体做的功为|????|cosθ·|????|；
?
????????
?
????????
?
????
?
????
?
θ
课文精讲
向量的数量积的定义
与位移方向垂直的分力?????????，由于没有使
物体在该分力的方向上产生位移，因而对物
体不做功.
?
综上可知，力????对物体做的功为
W= |????||????|. cosθ.
?
如图，如果力????的方向与物体运动的方向
成θ角，我们可以将力????进行分解：
?
????????
?
????????
?
????
?
????
?
θ
课文精讲
向量的数量积的定义
当0°≤θ＜90°时，W＞0，即力????做正功；
当θ=0°时， W=0，即力????不做功；
当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力????作负功.
?
力对物体所做的功是一个数量，它由力和位移两个向量来确定.功可以看作力????和位移????这两个向量的某种运算的结果.
?
课文精讲
向量的数量积的定义
如图，已知两个非零向量 ????和?????，作?????????= ?????， ????????= ????，向量????与????的夹角∠AOB记为< ????，?????>或θ(0°≤ θ≤180°)， |????| |????|cos θ称为????与????的数量积(或内积)，记作????·?????，即
?
规定零向量与任一向量的数量积为0.
????
?
????
?
????
?
A
B
????
?
????
?
θ
课文精讲
向量的数量积的定义
当0°≤ < ????，?????>＜90°，????·?????＞0；
当< ????，?????>=90°时， ????·?????=0；
当90°＜ < ????，?????>≤180°，????·?????＜0；
当< ????，?????>=0°时， ????·????=|????||????|；
当< ????，?????>=180°时， ????·????=-|????||????|.
?
????
?
????
?
????
?
A
B
????
?
????
?
θ
课文精讲
如图，已知两个非零向量????和????，作?????????= ????，
?????????=????，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，
得到????在????上的投影 ?????= ?????????， ????称为投影向量.
?
投影
A
O
????
?
????
?
????
?
A′
B
课文精讲
|????|cos < ????，?????>称为投影向量????的数量，
也称为向量????在向量????方向上的投影数量，可
以表示为????·????|????|.
所以投影数量是数量积的特殊情况.
?
投影
A
O
????
?
????
?
????
?
A′
B
课文精讲
在图的实例中，与位移????方向一致的分力
?????????的长度为|????|cosθ ，即是力????在位移????方向上
的投影数量.
?
投影
A
O
????
?
????
?
B
|????|cosθ
?
A1
θ
课文精讲
由向量投影的定义，可以得到向量的数量
积????·????的几何意义： ????的长度|????|与????在????方向上
的投影数量|????|cosθ的乘积(如图)；或????的长度
|????|与????在????方向上的投影数量|????|cosθ的乘积.
?
投影
A
O
????
?
????
?
B
|????|cosθ
?
A1
θ
典型例题
例1：如图，已知向量????与????，其中|????|=3，
|????|=4，且????与????的夹角θ=150°.
(1)求????·????；
(2)求向量????在????方向上的投影数量，并画图解释.
?
解： (1) ????·????= |????| |????|cosθ
=3×4×cos150°
=12×?????????=?6????.
?
????
?
????
?
典型例题
例1：如图，已知向量????与????，其中|????|=3，
|????|=4，且????与????的夹角θ=150°.
(1)求????·????；
(2)求向量????在????方向上的投影数量，并画图解释.
?
解： (2)如图，作?????????= ????， ?????????= ?????，
过点B作直线OA的垂线，
垂足为B1，则
OB1=|????|cos=4×?????????
=-2????，
?
????
?
????
?
????
?
????
?
B
A
O
θ
B1
典型例题
例1：如图，已知向量????与????，其中|????|=3，
|????|=4，且????与????的夹角θ=150°.
(1)求????·????；
(2)求向量????在????方向上的投影数量，并画图解释.
?
解： (2)所以向量????在????方向上的投
影数量为-2????.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
B
A
O
θ
B1
课文精讲
1.数量积的运算律
数量积的运算性质
对任意的向量 ????，????， ????和实数λ：
(1)交换律：????·????= ????·????；
(2)与数乘的结合律： λ( ????·????)=(λ????)·????=????·?(λ????)；
(3)关于加法的分配率： ( ????+???? )· ????= ????·????+????·????；
?
课文精讲
2.数量积的性质
数量积的运算性质
(1)若????是单位向量，则????·????= ????·????=|????|cos；
(2)关于????，????是非零向量，则????·????=0 ????⊥????；
(3) ????·????=|????|2，即|????|=????·????；
(4) cos=????·????|????||????| (|????||????| ≠0)；
(5)|????·????|≤ |????||????|，当且仅当????∥????时等号成立.
?
典型例题
例2：已知向量????，????， ?????，其中|????|=4， |????|=4，
且????与???? 的夹角θ =120°， ????与????的夹角γ=60°，
求????+????在????方向上的投影数量.
?
解：????+????在????方向上的投影数量为
(????+????)·????|????|= ?????·????|????|+ ?????·????|????|
=| ?????|cosθ+| ????|cosλ
=4cos120°+6cos60°
=-2+3=1.
?
综合练习
已知向量|????|=3，且?????·????=6，则向量????在向量????的
方向上的投影为_______.
?
解：∵|????|=3，且?????·????=6，
∴ ????在????的方向上的投影为?????·????|????|=????，
故答案为2.
?
2
综合练习
已知向量?????， ????，|????|=3，?????·????=2，则????·(?????- ????)
=_______.
?
解：∵向量?????， ????，|????|=3，?????·????=2，
∴则????·(?????- ????)= ????2-???·????=9-2=7.
?
7
本课小结
再 见