2.5.2向量数量积的坐标表示-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（17张PPT）

向量数量积的坐标表示
授课教师：
温故知新
学习目标
1.学会用坐标表示平面向量的数量积，掌握两点
之间的距离公式；（重点）
2.掌握平面向量的夹角公式；（重点）
3.能够用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（难点）
课文精讲
已知两个向量????=(x1，y1)，与?????=(x2，y2)，
怎样用????与????的坐标表示呢？

?
课文精讲
如图，在平面直角坐标系中，设????，????分
别是x轴和y轴方向上的单位向量，则
????·????=(x1 ?????+y1 ????)·(x2 ?????+y2 ????)
= x1 x2 ?????· ????+ x1 y2 ?????·????+x2 y1 ?????·????+ y1 y2 ?????·????.
因为?????· ????=?????·????=1， ?????·????=?????·????=0，所以
?
????·????= x1 x2 + y1 y2
?
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
????
?
????
?
x
y
O
????
?
?????
?
课文精讲
由此还容易得出以下结论：
(1)设????= (x，y) ，则|????|2=x2+y2，或|????|=????????+????????.
如果表示向量????的有向线段????????的起点和终
点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么
????= (x2-x1， y2 - y1) .
?
|????|=|????????|=(?????????????????)????+(???????????????????)????
?
这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式.
课文精讲
由此还容易得出以下结论：
(2)设????=(x1，y1)，与?????=(x2，y2)， ????与????的夹角
为θ，则
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????·????=|????||????|cosθ = x1 x2 + y1 y2
?
特别地，????⊥????
?
x1 x2 + y1 y2=0
cosθ =????·????|????||????|=??????????????????+??????????????????????????????+????????????·????????????+???????????? (|????||????|≠0)
?
课文精讲
公式????·?????=|????||????|cosθ与????·????=x1 x2 + y1 y2
都可以用来求两个向量的数量积.
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①若已知两个向量的模与夹角，使用公式
????·?????=|????||????|cosθ求解；
②若已知两个向量的坐标，使用公式????·????=x1x2 + y1 y2求解.
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典型例题
例1:已知?????=(3，2)， ?????=(1，-1)，求向量????与????的夹角的余弦值.
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解:设向量????与????的夹角θ，则
cos θ=????×????+????×(?????)????????+????????×????????+?????????=??????????????????.
?
典型例题
例2:(1)已知定点A和向量?????????，点P是直线AB
外的一点，请写出点P到直线AB的距离的向量
表示.
(2)已知点A(1，1)，向量?????= (2，1) ，过点A
作以向量????为方向向量的直线为l，求点P(3，
5)到直线l的距离.
?
典型例题
例2:(1)已知定点A和向量?????????，点P是直线AB
外的一点，请写出点P到直线AB的距离的向量
表示.
?
解:(1)设?????⊥ ?????????，作向量?????????(如图)，
则????????·????|????|表示向量????????在向量????上的投影数量，
????????·????|????|是点P到直线AB的距离.
?
B
C
P
????
?
A
典型例题
例2:(2)已知点A(1，1)，向量?????= (2，1) ，过
点A作以向量????为方向向量的直线为l，求点
P(3，5)到直线l的距离.
?
解:(2)设?????⊥ ?????，即?????⊥ ?????，作向量?????????(如图).
设????=(x，y)，由于直线l的方向向量 ????=(2，1)，
又?????⊥ ????，则?????· ????=(x，y)·
(2，1)=0，即2x+y=0，令x=1，
得y=-2， ????=(1，-2).
?
A
????
?
?????
?
?????
?
P
典型例题
例2:(2)已知点A(1，1)，向量?????= (2，1) ，过
点A作以向量????为方向向量的直线为l，求点
P(3，5)到直线l的距离.
?
解:(2)由于A(1，1)， P(3，5) ，于是????????=(3，5)-
(1，1)=(2，4).
由(1)知，点P到直线l的距离
d= ????????·????|????|=????，????·????，?????????????+(?????)????=????????????.
?
A
????
?
?????
?
?????
?
P
综合练习
向量?????=(4，3)在向量?????=(1，0)方向上的投影
为_______.
?
解：∵ ?????=(4，3)， ?????=(1，0)，
∴ ????在????方向上的投影为????·????|????|=????????=4.
故答案为4.
?
4
综合练习
已知向量?????= (2，3) ， ?????= (x，5)，若?????⊥(?????-
????)，则x=______.
?
解：∵向量?????= (2，3) ， ?????= (x，5)，
若?????⊥(?????- ????)，
则?????·(?????- ????)= ????2- ????·????=(4+9)-(2x+15)=0，
求得x=-1.
?
-1
本课小结
再 见