2.5.3利用数量积计算长度与角度-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（15张PPT）

利用数量积计算长度与角度
授课教师：
温故知新
学习目标
能够灵活运用向量数量积解决平面几何问题，主要涉及向量长度的计算和向量夹角的计算.（重点、难点）
课文精讲
向量的数量积是研究几何图形度量和位置
关系问题的有力工具.涉及长度、夹角、平行、
垂直等几何问题，通常可以运用向量的数量积
运算加以解决.
典型例题
例1：已知向量????=(2cosθ ，sinθ)，求| ?????|的最
大值和最小值.
?
向量长度的计算
解：依题意有|????|=????????????????????????+????????????????????=????????????????????????+????.
又0≤ |cosθ|≤1，故|????|的最大值为2，最小值为1.
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典型例题
例2：用向量方法证明:平行四边形两条对角线
的平方和等于四条边的平方和.
已知:四边形ABCD是平行四边形.
求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
向量长度的计算
证明：如图，四边形ABCD是平行四边形.
所以????????=????????+????????，????????=????????+????????，
因此|????????|2=|????????+????????|2=(????????+????????)·(????????+????????)
=|????????|2 +2 ????????·????????+|????????|2
?
A
B
C
D
典型例题
例2：用向量方法证明:平行四边形两条对角线
的平方和等于四条边的平方和.
已知:四边形ABCD是平行四边形.
求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
向量长度的计算
证明：同理|????????|2=|????????|2+|????????|2+2 ????????·????????
=|????????|2+|????????|2-2 ????????·????????.
所以|????????|2+|????????|2=|????????|2+|????????|2+|????????|2+|????????|2，
AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
?
A
B
C
D
典型例题
例2：用向量方法证明:平行四边形两条对角线
的平方和等于四条边的平方和.
已知:四边形ABCD是平行四边形.
求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
向量长度的计算
即平行四边形两条对角线的
平方和等于四条边的平方和.
A
B
C
D
典型例题
向量夹角的计算
解：因为????????= (1，1) ，????????= (-3，3) ，
于是????????·????????= (1，1) · (-3，3) =?3+3=0，
所以????????⊥????????，∠A=90°，即△ABC是
直角三角形.
?
B
A
C
例3：如图，已知A(1，2)，B(2，3) ，C(-2，
5) ，试用向量的方法判断△ABC的形状.
典型例题
向量夹角的计算
解：因为????????·????????=cos60°=????????，
所以????·????=(????????+????????)·(?????????????????????)
=????????·????????-2????????·????????+????????·????????-2????????·????????
=????????-2+1-1=?????????，
?
例4：已知单位向量????????， ????????的夹角为60°，求
向量????=????????+ ?????????， ????=????????-2 ????????的夹角.
?
典型例题
向量夹角的计算
解： |????|2=| ????????+????????|2=|????????|2+2????????·????????+|????????| 2 =3，
|????|2=| ????????-2????????|2=4|????????|2-4????????·????????+|????????| 2 =3，
于是cos< ????· ????>=?????????????×????=?????????，
又< ????· ????>∈[0°，180°]，
所以????与????的夹角为120°.
?
例4：已知单位向量????????， ????????的夹角为60°，求
向量????=????????+ ?????????， ????=????????-2 ????????的夹角.
?
综合练习
已知向量????·????满足： ????·?????=|????|=1，|????+????|=????，则向量????与????的夹角为______.
?
解：∵ ????·????= |????|=1，|????+????|=????，
∴(????+????)2=1+|????|2+2=7，
∴|????|=2，
∴cos< ????· ????>=????·????|????||????|=????????，
又< ????· ????>∈[0°，180°]，
所以????与????的夹角为60°.
?
60°
综合练习
已知向量????， ????的夹角为30°，|????|=2，|????|=????，
则| ????+2????|=_______.
?
解：因为向量????， ????的夹角为30°，|????|=2，|????|=????，
所以(????+2????)2=???? 2+4????·????+4????2
=22+4×2×????×cos30°+4×(????)2=28，
所以| ????+2????|=2????.
?
2????
?
本课小结
再 见