2.6.1余弦定理与正弦定理-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（76张PPT）

余弦定理与正弦定理
授课教师：
温故知新
学习目标
1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发
现余弦定理与正弦定理，并了解其向量证法；（难点）
2.掌握余弦定理与正弦定理，并能运用其解三角
形.（重点）
课文精讲
问题提出
三角形中边角关系很丰富，本节继续研究.
如已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢?
已知三条边，又怎么求出它的三个角呢?
余弦定理
课文精讲
分析理解
我们利用向量来研究.
如图，在△ABC中，设|????????|=a，|????????|=b，
|????????|=c，根据向量的数量积，可得
?
余弦定理
a2= ????????· ????????=(????????-????????)·(????????-????????)
=|????????|2-2|????????|·|????????|cosA+|????????|2
=b2-2bccosA+c2，
即a2= b2+c2-2bccosA.
?
A
B
C
a
c
b
课文精讲
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他
两边的平方和减去这两边与它们
夹角余弦的积的两倍，即
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
课文精讲
利用余弦定理，可以由三角形的三条边，
求出它三个角的大小.
余弦定理
典型例题
例1：如图，有两条直线AB和CD相交成80°
角，交点是O.甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别是4 km/h，4. 5
km/h. 3 h后两人相距多远?(精确到0.1km)
解：经过3 h，甲到达点P，|OP|=4×3=12(km)，
乙到达点Q，|OQ|=4.5×3=13.5(km).
A
C
O
B
D
P
Q
80°
典型例题
例1：如图，有两条直线AB和CD相交成80°
角，交点是O.甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别是4 km/h，4. 5
km/h. 3 h后两人相距多远?(精确到0.1km)
解：在△OPQ中，依余弦定理，得
|PQ|=????????????+|????????|?????????|????????||????????|?????????????∠????????????
=????????????+????????.?????????????×????????×????????.?????????????????????????°≈16.4(km).
?
A
C
O
B
D
P
Q
80°
典型例题
例1：如图，有两条直线AB和CD相交成80°
角，交点是O.甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别是4 km/h，4. 5
km/h. 3 h后两人相距多远?(精确到0.1km)
解：因此，3 h后两人相距约16.4 km.
A
C
O
B
D
P
Q
80°
典型例题
解：在△BCD中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°，
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD
12+12-2×1×1cos135°=2+????.
所以BD≈1.8.
?
例2：如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构
造无理数????， ?????， ?????，···的图形.试计算图
中线段BD的长度及∠DAB的大小.(长度精确到
0.1，角度精确到1°)
?
A
B
C
D
1
1
1
????
?
????
?
典型例题
解：在△ABD中，AB=1，BD=????+????，AD=????，
cos∠DAB=????????+(????)?????(????+????)????×????×????
=??????????????????≈0.1691.
?
例2：如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构
造无理数????， ?????， ?????，···的图形.试计算图
中线段BD的长度及∠DAB的大小.(长度精确到
0.1，角度精确到1°)
?
所以∠DAB≈80°.
A
B
C
D
1
1
1
????
?
????
?
典型例题
解：由A是锐角，且cos2A=-????????，得2A=????????????，A=????????.
?
例3：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C
的对边，已知A是锐角，且cos2A=-????????.
(1)若mbc=b2+c2-a2，求实数m的值；
(2)若a=????，求△ABC面积的最大值.
?
(1) mbc=b2+c2-a2，可变形为????????+?????????????????????????????=????????.
依据余弦定理，可知cosA=????????+?????????????????????????????=????????，????????=????????，所以m=1.
?
典型例题
解：
例3：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C
的对边，已知A是锐角，且cos2A=-????????.
(1)若mbc=b2+c2-a2，求实数m的值；
(2)若a=????，求△ABC面积的最大值.
?
(2) 因为sinA=sin????????=????????，
所以bc= b2+c2-a2≥2bc-a2，
即bc≤a2.故S △ABC=????????????sinA
≤ ?????????????· ????????=????????????.
?
S △ABC=???????? ch=????????cbsinA
?
A
B
C
c
b
h
典型例题
解：(2)即所求△ABC面积的最大值是????????????.
?
例3：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C
的对边，已知A是锐角，且cos2A=-????????.
(1)若mbc=b2+c2-a2，求实数m的值；
(2)若a=????，求△ABC面积的最大值.
?
S △ABC=???????? ch=????????cbsinA
?
A
B
C
c
b
h
课文精讲
问题提出
如图，若△ABC是直角三角形，C=90°，
则由sinA=-????????，sinB=-????????，
可知 ????????????????????=????????????????????=c.
因为C=90°，sinC=1，
所以????????????????????=????????????????????=????????????????????.
?
正弦定理
C
B
A
b
c
a
课文精讲
对等边三角形，这个等式无疑也成立；对
其他三角形，它是否仍然成立呢?
正弦定理
C
B
A
b
c
a
课文精讲
分析理解
如图，△ABC是锐角三角形，CD是边AB
上的高，根据三角函数的定义，
CD=asinB，
CD=bsinA，
所以????????????????????=????????????????????.
?
正弦定理
B
A
C
D
a
b
课文精讲
分析理解
同理 ????????????????????=????????????????????.
即????????????????????=????????????????????=????????????????????.
?
正弦定理
因此，对锐角三角形，以上等式仍然成立.
B
A
C
D
a
b
课文精讲
探究：当△ABC是钝角三角形时，以上等式是
否仍然成立？
正弦定理
成立
课文精讲
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等，即
正弦定理
????????????????????=????????????????????=????????????????????
?
运用由特殊到一般的方法发现了正弦定理，
这种思想方法经常用于发现客观规律.
典型例题
例4：某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角
已破损，现测得如下数据：BC=2.57 cm，
CE=3. 57 cm，BD=4.38 cm，B=450，
C=120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的
长.(精确到0. 01 cm)
D
E
B
C
典型例题
例4：某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角
已破损，现测得如下数据：BC=2.57 cm，
CE=3. 57 cm，BD=4.38 cm，B=45°，
C=120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的
长.(精确到0. 01 cm)
解：将BD，CE分别延长
相交于点A(如图)，
在△ABC中，BC=2.57 cm，
B=45°，C=120°，
A=180°-(B+C)=180°- (45°+120°)=15°.
D
E
B
C
A
典型例题
例4：某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角
已破损，现测得如下数据：BC=2.57 cm，
CE=3. 57 cm，BD=4.38 cm，B=45°，
C=120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的
长.(精确到0. 01 cm)
解：由正弦定理，得
????????????????????????=???????????????????????? ，
?
所以
AC=????????????????????????????????????????=????.????????????????????????????°????????????????????° ≈7.02(cm)，
?
D
E
B
C
A
典型例题
例4：某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角
已破损，现测得如下数据：BC=2.57 cm，
CE=3. 57 cm，BD=4.38 cm，B=45°，
C=120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的
长.(精确到0. 01 cm)
解：同理AB≈8.60(cm).
因此，原玉佩另两边的长
分别约为7.02 cm，8.60 cm.
D
E
B
C
A
典型例题
例5：求证：如图(1)，以Rt△ABC斜边AB为
直径作外接圆，设这个外接圆的半径为R，则
????????????????????=????????????????????=????????????????????=2R.
?
证明：在Rt△ABC中，C=90°，????????????????????=c，
又????????????????????=????????????????????=????????????????????，且c=2R，
所以????????????????????=????????????????????=????????????????????=2R.
?
(1)
C
B
A
·
课文精讲
思考
对于钝角三角形(如图(2))、锐角三角形
(如图(3))，上述结论还成立吗?
(2)
B
B
A
·
C
(3)
B
A
·
C
B′
B′
成立
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：如图，设台风中心从点B向西北方向沿射
线BD移动，该市位于点B正西
方向300 km处的点A.
D
A
B
北
东
C
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：假设经过t h，台风中心到达点C.在△ABC
中，AB=300 km， AC=250 km，
BC=40t km，B=45°.
D
A
B
北
东
C
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：由正弦定理，得????????????????????????=????????????????????????=????????????????????????，
????????????????=?????????????????????????????????=????????????????????????????????°????????????
≈0.8485.
?
D
A
B
北
东
C
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：所以角C有两个解(如图①)：
∠AC1B≈121.95°，
∠AC2B≈58.05°.
图①
D
A
B
北
东
C2
C1
E
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：当∠AC1B≈121.95°时，
∠C1AB=180°-(B+∠ AC1B)
≈180°-(45°+121.95°)
=13.05°.
图①
D
A
B
北
东
C2
C1
E
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：从而BC1=????????????????????????????????????????????
=????????????????????????????????.????????°????????????????????°
=250????sin13.05°(km)，
?
图①
D
A
B
北
东
C2
C1
E
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：t1=?????????????????????=????????????????????????????????????.????????°????????
≈2.00?(h).
?
图①
D
A
B
北
东
C2
C1
E
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：同理，当∠AC2B≈58.05°时，
BC2=250????sin76.95° km，
t2 ≈8.61 h.
t2 - t1 ≈8.61-2.00≈6.6(h).
?
图①
D
A
B
北
东
C2
C1
E
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：因此，约2h后将要遭受台风影
响，持续约6.6 h.
图①
D
A
B
北
东
C2
C1
E
谢 谢
课文精讲
思考：
已知两条边的边长和其中一条边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？
课文精讲
正弦定理、余弦定理是两个重要定理，在
解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.

用正弦定理、余弦定理解三角形
在三角形的三条边和三个角这6个元素中，
如果已知3个(至少含一边长)，那么由余弦定
理和正弦定理，就可以求得其他3个元素.具体
情形如下:
课文精讲
情形1：已知两个角的大小和一条边的边长.
先由三角形内角和等于180°求出第三个
角的大小，然后依据正弦定理求得另外两条
的边长.
用正弦定理、余弦定理解三角形
情形2：已知两条边的边长及其夹角的大小.
先由余弦定理求出第三条边的边长，然
后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小.
课文精讲
情形3：已知三条边的边长.
由余弦定理求出两个角，再利用三角形内
角和等于180°求出第三个角.
用正弦定理、余弦定理解三角形
课文精讲
用正弦定理、余弦定理解三角形
情形4：已知两条边的边长和其中一边对角的
大小.
首先，由正弦定理求出第二条边所对角的
正弦，这时，要判断是两解、一解还是无解.
然后，根据三角形内角和等于180°得到第三个
角的大小.最后，由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长.
典型例题
例7：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求
∠BAD的正弦值和BD的长.
分析：观察到BD为△BDC和△ABD的公共
边，由于△BDC中已知量较少，故考虑通过
解△ABD求出BD的长.
B
A
D
C
5
9
30°
45°
典型例题
例7：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求
∠BAD的正弦值和BD的长.
分析：在△ABD中已知边AB的长及其所对
角∠ADB的度数，故只需要求出∠BAD的
正弦值，就可以利用正弦定理求出BD的长.
B
A
D
C
5
9
30°
45°
典型例题
例7：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求
∠BAD的正弦值和BD的长.
分析：我们发现∠ABC与∠BAD互补，而
∠ABC所在的△ABC中已知两边及其中一
边的对角，可以由正弦定理求出∠ABC的
正弦值，再由∠BAD与
∠ABC互补的条件，求
出∠BAD的正弦值，进
而求出BD的长.
B
A
D
C
5
9
30°
45°
典型例题
例7：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求
∠BAD的正弦值和BD的长.
解：在△ABC中，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，由正弦定理，得
????????????????????∠????????????=????????????????????∠???????????? ，
?
sin∠ABC=????????????????????∠????????????????????
=????????????????????????°????=????????????.
?
B
A
D
C
5
9
30°
45°
典型例题
例7：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求
∠BAD的正弦值和BD的长.
解：因为AD∥BC，
所以∠BAD=180°-∠ABC，
于是sin∠BAD=sin∠ABC=?????????????.
?
B
A
D
C
5
9
30°
45°
典型例题
例7：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求
∠BAD的正弦值和BD的长.
解：在△ABD中，由正弦定理，得
????????????????????∠????????????=????????????????????∠???????????? ，
?
BD= ????????????????????∠????????????????????????∠????????????=????×?????????????????????= ??????????????.
?
B
A
D
C
5
9
30°
45°
典型例题
例8：如图，一次机器人足球比赛中，甲队4号
机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B
时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度
向点A做匀速直线滚动.已知AB=4???? dm，
AD=17 dm，∠BAD=45°.若忽略机器人原地
旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截
住足球?
?
D
A
B
45°
(1)
典型例题
例8：已知AB=4???? dm， AD=17 dm，∠BAD
=45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则
该机器人最快可在何处截住足球?
?
解：机器人最快截住足球的地方是机器人与足
球同时到达的地方.如图(2)，设该机器人最快
可在点C处截住足球，BC=x dm，由题意，
CD=2x dm，AC=AD-CD=(17-2x)dm.
D
A
B
C
45°
(2)
典型例题
解：在△ABC中，由余弦定理，得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA，
即x2=(4????)2+(17-2x)2-2×4????×(17-2x)cos45°，
解得x1=5，x2=????????????.
所以AC=7 dm，或AC=????????????? dm(不合题意，舍去).
?
例8：已知AB=4???? dm， AD=17 dm，∠BAD
=45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则
该机器人最快可在何处截住足球?
?
D
A
B
C
45°
(2)
典型例题
解：因此，该机器人最快可在线段AD上离点A处7 dm的点C处藏住足球.
例8：已知AB=4???? dm， AD=17 dm，∠BAD
=45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则
该机器人最快可在何处截住足球?
?
D
A
B
C
45°
(2)
典型例题
例9：已知△ABC的角A，B，C所对的边分别
是a，b，c，向量????= (a，b)， ????= (sinB，sinA) ，
????= (b-c，a-c).
(1)若????∥ ????，求证： △ABC为等腰三角形；
(2)若????∥ ????， c=2， C=60°，求△ABC为的面
积.
?
典型例题
解： (1)因为 ????∥ ????，所以asinA=bsinB.
由正弦定理可得a·????????????=b·???????????? ，其中R是△ABC的
外接圆半径，所以a=b.即△ABC为等腰三角形.
?
例9：已知△ABC的角A，B，C所对的边分别
是a，b，c，向量????= (a，b)， ????= (sinB，sinA) ，
????= (b-c，a-c).
(1)若????∥ ????，求证： △ABC为等腰三角形；
?
典型例题
解： (2)因为 ????⊥????，
所以(a，b)(b-c，a-c)=ab-ac+ab-bc=2ab-c(a+b)=0.
由c=2，得ab=a+b.①
由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=(a+b) 2-3ab.②
?
例9：已知△ABC的角A，B，C所对的边分别
是a，b，c，向量????= (a，b)， ????= (sinB，sinA) ，
????= (b-c，a-c).
(2)若????∥ ????， c=2， C=60°，求△ABC为的面
积.
?
典型例题
解： (2) 将①式代入②式，得(ab)2-3ab-4=0.
所以ab=4，或ab=-1(不合题意，舍去).
所以S△ABC=????????absinC=????????×4×sin60°= ????.
?
例9：已知△ABC的角A，B，C所对的边分别
是a，b，c，向量????= (a，b)， ????= (sinB，sinA) ，
????= (b-c，a-c).
(2)若????∥ ????， c=2， C=60°，求△ABC为的面
积.
?
典型例题
例10：自动卸货汽车采用液压机构(如图).设计
时需要计算油泵顶杠BC的长度，已知车厢的最
大仰角为60°(指车厢AC与水平线之间的夹角).
油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95 m，
AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40
m.计算BC的长度.(精确到0.01 m)
典型例题
例10：已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC
与水平线之间的夹角).油泵顶点B与车厢支点A
之间的距离为1.95 m，AB与水平线之间的夹角
为6°20′，AC长为1.40 m.计算BC的长度.(精确
到0.01 m)
解：如图，在△ABC中，AB= 1.95 m，AC=1.40 m，∠BAC=60°+ 6°20′=66°20′.
60°
A
C
B
6°20′
典型例题
例10：已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC
与水平线之间的夹角).油泵顶点B与车厢支点A
之间的距离为1.95 m，AB与水平线之间的夹角
为6°20′，AC长为1.40 m.计算BC的长度.(精确
到0.01 m)
解：由余弦定理，得
BC2=AB2+AC2=2AB·ACcosA
=1.952+1.402-2×1.95×1.40cos66°20′
≈3.571.
60°
A
C
B
6°20′
典型例题
例10：已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC
与水平线之间的夹角).油泵顶点B与车厢支点A
之间的距离为1.95 m，AB与水平线之间的夹角
为6°20′，AC长为1.40 m.计算BC的长度.(精确
到0.01 m)
解：∴BC≈1.89 (m)
60°
A
C
B
6°20′
典型例题
例11：如图，C，D两点相距12 m，与烟囱底部
A在同一水平直线上，利用高为1.5 m的测角仪
器，测得烟囱在点C1，D1，的仰角分别是α=45°和β=60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01 m).
典型例题
例11：如图，C，D两点相距12 m，与烟囱底部
A在同一水平直线上，利用高为1.5 m的侧角仪
器，测得烟囱在点C1，D1，的仰角分别是α=45°和β=60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01 m).
解：如图，在△BC1D1中，
∠BD1C1=180°-60°=120°，
∠C1BD1=60°-45°=15°，
C1D1=CD=12.
典型例题
例11：如图，C，D两点相距12 m，与烟囱底部
A在同一水平直线上，利用高为1.5 m的侧角仪
器，测得烟囱在点C1，D1，的仰角分别是α=45°和β=60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01 m).
解：由正弦定理，得????????????????????????????∠????????????????????=????????????????????????∠????????????????????，
????????????=????????????????????????????∠????????????????????????????????∠????????????????????
=????????????????????????????????°????????????????????°≈40.153(m)，
?
典型例题
例11：如图，C，D两点相距12 m，与烟囱底部
A在同一水平直线上，利用高为1.5 m的侧角仪
器，测得烟囱在点C1，D1，的仰角分别是α=45°和β=60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01 m).
解：从而????????????= ???????? ???????????? ≈28.392(m).
AB= ????????????+A????????=????????.????????????+1.5=29.892
≈29.89(m).
因此，烟囱的高为29.89 m.
?
典型例题
例12:如图(1)，直线a表示海面上一条南北方向的海
防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个
监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km处.
某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，
监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在
当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5
km/s.
(1)设PA=x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防 警戒线a的距离.(精确到0.01
km)
(1)
A
B
C
P
a
东
北
典型例题
例12:如图(1)，在a上点A处有一个水声监测点，另两
个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km
处.某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，
监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在
当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设PA=x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；
解:(1)依题意，PA- PB=1.5×8=12(km)，
PC-PB=1.5×20=30(km)，
因此PB=(x-12)km，PC=(18+x)km.
(1)
A
B
C
P
a
东
北
典型例题
例12:如图(1)，在a上点A处有一个水声监测点，另两
个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km
处.某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，
监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在
当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设PA=x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；
解:(1) 在△PAB中，AB=20 km，
cos∠PAB=????????????+?????????????????????????????????????·????????
?
=????????+?????????????(??????????????)????????????·????????
?
=????????+????????????????.
?
(1)
A
B
C
P
a
东
北
典型例题
例12:如图(1)，在a上点A处有一个水声监测点，另两
个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km
处.某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，
监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在
当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设PA=x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；
解:(1) 同理cos∠PAC=?????????????????????，
?
得????????+????????????????=?????????????????????，
?
由cos∠PAB=cos∠PAC，
解得x=?????????????????.
?
(1)
A
B
C
P
a
东
北
典型例题
例12:如图(1)，在a上点A处有一个水声监测点，另两
个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km
处.某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，
监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在
当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(精确到0.01
km)
解:(1) 如图(2)，过点P作a的垂线，垂足为D，在
Rt△PDA中，
PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB
=x· ????????+????????????????，
?
(2)
A
B
C
P
a
东
北
典型例题
例12:如图(1)，在a上点A处有一个水声监测点，另两
个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km
处.某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，
监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在
当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(精确到0.01
km)
解:(2) 所以PD=????×????????????????+?????????????= ????????????????≈17.71 (km).
?
因此，静止目标P到海防警戒
线a的距离约为17.71 km.
(2)
A
B
C
P
a
东
北
综合练习
在△ABC中，cosC= ?????????，AC=4，BC=3，则sinB=______.
?
解:在△ABC中，cosC= ????????，AC=4，BC=3，
由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=42+32-
2×4×3× ????????=9，故AB=3.
cosB=????????????+?????????????????????????????????????·????????=????????+?????????????????????×????×????=????????，
可得sinB=??????????????????????????=????????????.
?
????????????
?
综合练习
在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BD=CD=1.
(1)若AB= ?????????，求BC；
(2)若AB=2BC，求cos∠BDC.
?
解: (1)cos∠ABD=????????????+?????????????????????????????????????·????????=(????????)????+?????????????????????×????????×????=????????，
由AB∥CD，
所以∠BDC=∠ABD，
即cos∠BDC=cos∠ABD=????????，
?
综合练习
在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BD=CD=1.
(1)若AB= ?????????，求BC；
(2)若AB=2BC，求cos∠BDC.
?
解: (1)所以????????????=????????????+????????????- ????????????·????????????????????∠????????????=
=12+12-2×1×1× ????????=????????.
所以BC=????????.
?
综合练习
在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BD=CD=1.
(1)若AB= ?????????，求BC；
(2)若AB=2BC，求cos∠BDC.
?
解: (2)设BC=x，则AB=2BC=2x，
由余弦定理得：
cos∠ADB=????????????+?????????????????????????????????????·????????=(????????)????+?????????????????????×????????×????=x，
cos∠BDC=????????????+?????????????????????????????????????·????????=????????+?????????????????????×????×????=?????????????????，
故?????????????????=x，解得x=????-1或?????--1(舍去).
cos∠BDC= ????--1.
?
本课小结
再 见