2.6.2平面向量在几何、物理中的应用举例-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（35张PPT）

平面向量在几何、物理中的应用举例
授课教师：
温故知新
学习目标
1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几
何问题和物理问题 ；（重点）
2.通过具体问题的解决，理解用向量知识研究物
理的一般思路与方法，培养探究意识和应用意
识，体会向量的工具作用.（重点、难点）
课文精讲
由于向量的运算有着鲜明的几何背景，几
何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长
度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积
表示，因此，用向量方法可以解决几何中的一
些问题.
向量在几何证明中的应用
典型例题
例1：如图， ABCD中，点E，F在对角线
BD上，并且BE=FD.求证：四边形AECF是平
行四边形.
证明：由已知可设????????=????????=????， ????????=????????=????，
????????=????????+????????= ????+????，
????????=????????+????????= ????+????，
所以????????=????????，即边AE，FC平行且相等.
因此，四边形AECF是平行四边形·
?
A
B
C
D
O
F
E
典型例题
例2：求证：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图，已知 ABCD的两条对角线相
交于点M.
求证：AC，BD互相平分.
证明：设????????=x????????， ????????=y????????，则
????????=x????????=x ????????+ x ???????? ，
????????=????????+????????=????????+ y????????，
=????????+y(???????? - ????????)，
=(1-y) ????????+y ???????? .
?
A
B
C
D
M
典型例题
例2：求证：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图，已知 ABCD的两条对角线相
交于点M.
求证：AC，BD互相平分.
证明：于是得到关于基{????????， ???????? }的两个分
解式.
因为分解是唯一的，

?
A
B
C
D
M
典型例题
例2：求证：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图，已知 ABCD的两条对角线相
交于点M.
求证：AC，BD互相平分.
证明：所以
x=1-y，
x=y.
解方程组，
x=????????，
y=????????.
?
得
A
B
C
D
M
典型例题
例2：求证：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图，已知 ABCD的两条对角线相
交于点M.
求证：AC，BD互相平分.
证明：所以点M是AC和BD的中点，即对角
线AC和BD在交点M处互相平分.
A
B
C
D
M
典型例题
例3：已知AD，BE，CF是△ABC的三条高.求
证：AD，BE，CF相交于一点.
证明：如图，设AD与BE交于点H，以下只
需证明点H在CF上.
因为AD⊥BC，BE⊥CA，
所以???????? · ???????? =0， ???????? · ???????? =0.

?
A
B
C
D
E
F
H
典型例题
例3：已知AD，BE，CF是△ABC的三条高.求
证：AD，BE，CF相交于一点.
证明：也就是
(???????? - ???????? )· ???????? = ???????? · ???????? - ???????? · ?????????=0，①
(???????? - ???????? )· ???????? = ???????? · ???????? - ???????? · ?????????=0，②
①-②，得????????·(???????? - ???????? )=0，
即????????· ????????= 0，
所以CH⊥AB.
?
A
B
C
D
E
F
H
典型例题
例3：已知AD，BE，CF是△ABC的三条高.求
证：AD，BE，CF相交于一点.
证明：又CF⊥AB，
所以C， H， F三点共线，点H在CF上.
A
B
C
D
E
F
H
典型例题
例4：如图，点O是 ABCD两条对角线的交
点，点EF分别在边CD ， AB上，且????????????????=????????????????=????????.
求证：点E，O，F在同一直线上.
?
证明：设????????=????， ????????=????，则????????= ?????+????.
由 ????????????????=????????????????=????????，可知点E，F分别是CD，
AB的三等分点，
?
A
B
C
D
E
F
O
典型例题
例4：如图，点O是 ABCD两条对角线的交
点，点EF分别在边CD ， AB上，且????????????????=????????????????=????????.
求证：点E，O，F在同一直线上.
?
证明：所以????????=????????+????????=???????? ????????+????????????????
=??????????????+????????(????+????)=???????? ?????+???????? ????，
????????=????????+????????=???????? ????????+????????????????
=????????(????+????)?????????????=???????? ????+???????? ????.
?
A
B
C
D
E
F
O
典型例题
例4：如图，点O是 ABCD两条对角线的交
点，点EF分别在边CD ， AB上，且????????????????=????????????????=????????.
求证：点E，O，F在同一直线上.
?
证明：因此????????=????????，又直线FO、直线OE有公
共点O，故点E，O，F在同一直线上.
?
A
B
C
D
E
F
O
课文精讲
既有大小又有方向的物理量是数学中向量
的现实原型，向量是解决许多物理问题的有力
工具.
向量在物理中的应用举例
课文精讲
例5：某人在静水中的游泳速度为4???? km/h，
水流速度为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能
沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大
小为多少?
?
1.向量的线性运算在物理中的应用
解：如图，设水流速度为????????，此人的实际速度为?????????，游泳速度为????????.
由于实际速度=游泳速度+
水流速度，因此?????????= ?????????= ?????????- ?????????.
?
O
A
B
C
课文精讲
例5：某人在静水中的游泳速度为4???? km/h，
水流速度为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能
沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大
小为多少?
?
1.向量的线性运算在物理中的应用
解：依题意，在Rt△AOB中，|????????|= 4?????，|????????|=4.所以|????????|=????????????+???????? ，
cos∠BAO=|????????||????????|=????????.
?
O
A
B
C
课文精讲
例5：某人在静水中的游泳速度为4???? km/h，
水流速度为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能
沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大
小为多少?
?
1.向量的线性运算在物理中的应用
解：故此人应沿与河岸夹角余弦值为????????、逆着水流方向前进，实际前进
的速度大小为4????.
?
O
A
B
C
课文精讲
例6： 如图(1)，用两条成120°角的等长的绳
子悬挂一个灯具，已知灯具重10 N，那么每根
绳子的拉力大小分别为多少?
1.向量的线性运算在物理中的应用
(1)
120°
课文精讲
例6： 如图(1)，用两条成120°角的等长的绳
子悬挂一个灯具，已知灯具重10 N，那么每根
绳子的拉力大小分别为多少?
1.向量的线性运算在物理中的应用
解：如图(2)，设灯具的重力为?????，每根绳的拉力分别为????????，????????，则由题意得????????， ????????与- ????都成60°角，且
|?????????|cos60°+ |?????????| cos60°=
|????|=10，|????????|=|?????????|=10.
?
(2)
120°
????
?
????????
?
????????
?
课文精讲
例6： 如图(1)，用两条成120°角的等长的绳
子悬挂一个灯具，已知灯具重10 N，那么每根
绳子的拉力大小分别为多少?
1.向量的线性运算在物理中的应用
解：即每根绳子的拉力大小都为10 N.
(2)
120°
????
?
????????
?
????????
?
课文精讲
例7：如图(1)，已知力????与水平方向的夹角为
30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg
木块受力????的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平
平面上运动了20 m.求力????和摩擦力????所做的
功.(g=10 N/kg)
?
2.向量的数量积在物理中的应用
解：设木块的位移为????，则力????做功为????· ????=|????|| ?????|cos30°
=50×20×????????=500?????(J).
?
(1)
30°
课文精讲
例7：如图(1)，已知力????与水平方向的夹角为
30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg
木块受力????的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平
平面上运动了20 m.求力????和摩擦力????所做的
功.(g=10 N/kg)
?
2.向量的数量积在物理中的应用
解：如图(2)，将力????分解，它在竖直方向上的分力????????的大小| ?????????|=|????|sin30° =50×????????=25?(N).
?
(2)
30°
????
?
????
?
?????????
?
?????????
?
课文精讲
例7：如图(1)，已知力????与水平方向的夹角为
30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg
木块受力????的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平
平面上运动了20 m.求力????和摩擦力????所做的
功.(g=10 N/kg)
?
2.向量的数量积在物理中的应用
解：设木块的重力????，摩擦力????的大小为| ?????|=|μ(?????+ ????????)|=
(8×10-25)×0.02=1.1(N).
?
(2)
30°
????
?
????
?
?????????
?
?????????
?
课文精讲
例7：如图(1)，已知力????与水平方向的夹角为
30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg
木块受力????的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平
平面上运动了20 m.求力????和摩擦力????所做的
功.(g=10 N/kg)
?
2.向量的数量积在物理中的应用
解：因此， ?????做功?????· ?????=????=|????||????|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
?
(2)
30°
????
?
????
?
?????????
?
?????????
?
课文精讲
例8：如图，已知质点由点A(20，15)移动到点
B(7，0)的过程中，两恒力????????(3，4)， ????????=(6，-5)
作用于该质点.
(1)求力????????，????????分别对质点所做的功;
(2)求力????????，????????的合力????对质点所做的功.
?
2.向量的数量积在物理中的应用
A
y
x
B
O
????????
?
????????
?
15
20
课文精讲
例8：如图，已知质点由点A(20，15)移动到点
B(7，0)的过程中，两恒力????????(3，4)， ????????=(6，-5)
作用于该质点.
(1)求力????????，????????分别对质点所做的功;
?
2.向量的数量积在物理中的应用
解： (1) ????????=(7，0)-(20，15)=(-13，-15)，
W1= ????????· ????????=(3，4)· (-13，-15)
=-99(J)，
W2= ????????· ????????=(6，-5)· (-13，-15)
=-3(J).
?
A
y
x
B
O
????????
?
????????
?
15
20
课文精讲
例8：如图，已知质点由点A(20，15)移动到点
B(7，0)的过程中，两恒力????????(3，4)， ????????=(6，-5)
作用于该质点.
(1)求力????????，????????分别对质点所做的功;
?
2.向量的数量积在物理中的应用
解： (1)所以力????????，????????对质点所做的功分别为-99 J和-3 J.
?
A
y
x
B
O
????????
?
????????
?
15
20
课文精讲
例8：如图，已知质点由点A(20，15)移动到点
B(7，0)的过程中，两恒力????????(3，4)， ????????=(6，-5)
作用于该质点.
(2)求力????????，????????的合力????对质点所做的功.
?
2.向量的数量积在物理中的应用
解： (2) W= ????· ????????=(????????+ ????????)· ????????
=[(3，4)+ (6，-5)] ·(-13，-15)
=(9，-1) ·(-13，-15)
=-102(J).
?
A
y
x
B
O
????????
?
????????
?
15
20
课文精讲
例8：如图，已知质点由点A(20，15)移动到点
B(7，0)的过程中，两恒力????????(3，4)， ????????=(6，-5)
作用于该质点.
(2)求力????????，????????的合力????对质点所做的功.
?
2.向量的数量积在物理中的应用
解： (2) 所以合力????对质点所作的功为-102 J.
?
A
y
x
B
O
????????
?
????????
?
15
20
综合练习
如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处
于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是????????，????????，
且????????，????????与水平夹角均为45°，|????????|=|????????|=10????N，
则物体的重力大小为_______.
?
45°
45°
????????
?
????????
?
综合练习
如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处
于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是????????，????????，
且????????，????????与水平夹角均为45°，|????????|=|????????|=10????N，
则物体的重力大小为_______.
?
解： 如图，∵ |????????|=|????????|=10????N，
∴ |????????+????????|=10????×????=20N，
∴物体的重力大小为20N.
?
45°
45°
????????
?
????????
?
20N
本课小结
再 见