1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
课后训练·巩固提升
一、A组
1.下列各组对象,能组成集合的有( )
①对环境污染不太大的废水;
②中国古典文学中的四大名著;
③所有学习好的同学;
④方程x(x2-2x-3)=0的所有实数根.
A.①
B.①②
C.②④
D.③④
2.给出下列关系:①∈R;②?R;③|-3|∈N;④|-|∈Q.其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知集合A={2,4,x2+x},若6∈A,则x等于( )
A.2
B.-3
C.6
D.2或-3
4.集合M是由大于-2且小于1的实数组成的,则下列关系式正确的是( )
A.∈M
B.0?M
C.1∈M
D.-∈M
5.若集合{a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
6.仅由英文字母“b”“e”“e”组成的集合含有 个元素.?
7.集合M中的元素y满足y=1-x2,且y∈N,若a∈M,则a= .?
8.已知集合A含有两个元素2a+1和3a-1,若-1∈A,试求实数a的值.
9.若集合M具有下列性质:①0∈M,1∈M;②若x,y∈M,则(x-y)∈M,且x≠0时,∈M,则称集合M为“好集”.
(1)分别判断集合P={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由.
(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y都在A中,则(x+y)∈A.
二、B组
1.给出下列三个命题:
①集合N中最小的数是1;
②若-a?N,则a∈N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.由a,a,b,b,a2,b2组成集合A,则集合A中的元素最多有( )
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
3.已知集合A中含1和a2+a+1两个元素,且3∈A,则a3等于( )
A.0
B.1
C.-8
D.1或-8
4.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是 .?
5.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素,其中:x=a+b(a,b∈Q),则下列元素不属于集合M的有 个.?
①x=0,②x=,③x=3-2π,④x=,⑤x=.
6.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x,
(1)求元素x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.
7.数集A满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).
(1)若2∈A,试求出A中其他所有元素;
(2)自己设计一个数属于A,然后求出A中其他所有元素;
(3)从上面的解答过程中,你能悟出什么道理?并证明你悟出的“道理”.1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
课后训练·巩固提升
一、A组
1.下列各组对象,能组成集合的有( )
①对环境污染不太大的废水;
②中国古典文学中的四大名著;
③所有学习好的同学;
④方程x(x2-2x-3)=0的所有实数根.
A.①
B.①②
C.②④
D.③④
解析:①“对环境污染不太大的废水”没有明确的标准;②中四大名著指的是《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》,对象明确,故能组成集合;③“所有学习好的同学”没有明确的标准;④中的对象满足确定性、互异性、无序性.
答案:C
2.给出下列关系:①∈R;②?R;③|-3|∈N;④|-|∈Q.其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①③正确.
答案:B
3.已知集合A={2,4,x2+x},若6∈A,则x等于( )
A.2
B.-3
C.6
D.2或-3
解析:因为6∈A,则有x2+x=6,解得x=-3,或x=2.
答案:D
4.集合M是由大于-2且小于1的实数组成的,则下列关系式正确的是( )
A.∈M
B.0?M
C.1∈M
D.-∈M
解析:由题知,M={x|-2答案:D
5.若集合{a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
解析:根据集合中元素的互异性,可知三角形的三边长不相等,故选B.
答案:B
6.仅由英文字母“b”“e”“e”组成的集合含有 个元素.?
解析:因为集合中元素具有互异性,故由英文字母“b”“e”“e”组成的集合只含有“b”“e”两个元素.
答案:2
7.集合M中的元素y满足y=1-x2,且y∈N,若a∈M,则a= .?
解析:由y=1-x2,且y∈N知,y=0或1,所以集合M含0和1两个元素,又a∈M,所以a=0或1.
答案:0或1
8.已知集合A含有两个元素2a+1和3a-1,若-1∈A,试求实数a的值.
解:∵-1∈A,∴-1=2a+1或-1=3a-1.
若-1=2a+1,则a=-1.
此时集合A中含有两个元素-1,-4,符合题意;
若-1=3a-1,则a=0.
此时集合A中含有两个元素1,-1,符合题意.
综上所述,a=-1或a=0.
9.若集合M具有下列性质:①0∈M,1∈M;②若x,y∈M,则(x-y)∈M,且x≠0时,∈M,则称集合M为“好集”.
(1)分别判断集合P={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由.
(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y都在A中,则(x+y)∈A.
(1)解:集合P不是“好集”.
理由是:假设P是“好集”,因为-1∈P,1∈P,所以-1-1=-2∈P,这与-2?P矛盾.
有理数集Q是“好集”.
因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有(x-y)∈Q,且x≠0时,∈Q,所以有理数集Q是“好集”.
(2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A.
若x,y∈A,则(0-y)∈A,即-y∈A.
所以[x-(-y)]∈A,即(x+y)∈A.
二、B组
1.给出下列三个命题:
①集合N中最小的数是1;
②若-a?N,则a∈N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:因为自然数集中最小的数是0,而不是1,故①错误;②中取a=,-?N,且?N,故②错误;对于③,当a=0,b=0时,a+b取最小值0,故选A.
答案:A
2.由a,a,b,b,a2,b2组成集合A,则集合A中的元素最多有( )
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
解析:根据集合中元素的互异性可知,集合A中的元素最多有4个,故选C.
答案:C
3.已知集合A中含1和a2+a+1两个元素,且3∈A,则a3等于( )
A.0
B.1
C.-8
D.1或-8
解析:∵3∈A,∴a2+a+1=3,即a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0,解得a=-2,或a=1.
当a=1时,a3=1;当a=-2时,a3=-8.
综上,a3=1或a3=-8.
答案:D
4.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是 .?
解析:由于a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,6,7,8,11,故集合P+Q中有8个元素.
答案:8
5.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素,其中:x=a+b(a,b∈Q),则下列元素不属于集合M的有 个.?
①x=0,②x=,③x=3-2π,④x=,⑤x=.
解析:①当x=0时,a=b=0∈Q,故x∈M;
②当x=时,a=0∈Q,b=1∈Q,故x∈M;
③当x=3-2π时,a=3∈Q,b=-2π?Q,故x?M;
④x==3+2,此时a=3∈Q,b=2∈Q,故x∈M;
⑤x==2-+2+=4,
此时a=4∈Q,b=0∈Q,故x∈M.
故不属于集合M的元素只有1个.
答案:1
6.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x,
(1)求元素x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.
解:(1)由集合元素的互异性,可得
解得x≠-1且x≠0且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于方程x2-2x+2=0无解,所以x=-2.
7.数集A满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).
(1)若2∈A,试求出A中其他所有元素;
(2)自己设计一个数属于A,然后求出A中其他所有元素;
(3)从上面的解答过程中,你能悟出什么道理?并证明你悟出的“道理”.
解:(1)因为2∈A,则∈A,即-1∈A,
则∈A,即∈A,则∈A,即2∈A,
所以A中其他所有元素为-1,.
(2)如:若3∈A,则A中其他所有元素为-.
(3)分析以上结果可以得出:A中只能有3个元素,它们分别是a,,且三个数的乘积为-1.
证明如下:若a∈A,a≠1,则有∈A,且≠1,所以又有∈A且≠1,进而有=a∈A.
又因为a≠(因为若a=,则a2-a+1=0,而方程a2-a+1=0无解),所以,同理a≠,所以A中只能有3个元素,
它们分别是a,,又a≠1,且a≠0(因为若a=0,则=1∈A,与1?A矛盾),所以集合A中三个数的乘积是-1.
