四川省成都外国语学校2011—2012学年高一下学期3月月考 数学

成都外国语学校高2014级第二学三月月考数学试题
命题人：李斌 审题人：李吉贵
一、选择题：(每小题5分共60分，每个题共有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的填在答题卷上，否则不得分)
1．在数列中，等于（ ）C
A． B． C． D．
2．( )D
A． B． C． D．
3．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是( )C
A．16 B．25 C．36 D．49
4．已知中，，则( )D
A． B．或 C． D．或
5．在中，已知成等差数列，且，则( )B
A．2 B． C． D．
6．在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以2为公差, 为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（ ）A
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．在中，，则(　　)B
A． B． C． D．或
8．如右图，两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量两点间的距离，选取一条基线，测得：，则( )A
A． B．
C． D．数据不够，无法计算
9．有以下命题：①对任意的都有成立；②对任意的都有等式成立；③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；④若是钝角的二锐角，则。其中正确的命题的个数是( )B
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知，且，则(　　)D
A． B． C． D．
11．已知地球的半径为，同步卫星在赤道上空的轨道上，它每24小时绕地球一周，所以它定位于赤道上某一点的上空。如果此点与北京在同一条子午线上，北京的纬度为，则在北京观察此卫星的仰角的余弦值为( )B
A． B．
C． D．
12．已知的三边满足：，则此三角形是( )B
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题：(每小题4分，共16分，请把结果填在答卷上，否则不给分)
13．已知等差数列的首项为，公差为；等差数列的首项为，公差为。若数列满足：，且，则数列}的通项公式为_______________答案：
14．已知平面上共线的三点和定点，若等差数列满足：，则数列的前项之和为___________19
15．观察以下各等式：①；
②；
③。
分析上述各式的共同点，写出一个能反映一般规律的等式为____________________________
16．上图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项。则这个数列的一个通项公式为________________答案：或
三、解答题：
17．(12分)化简或求值：①；②是的内角，且，求的值。
解：①原式
……………………6分
②由，得
则，又是的内角且，则为钝角，
则，由(1)和(2)得
则…………………………………………12分
18．(12分)已知数列中的前项和为，又。(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和。
解：(1)当时，……………………………………3分
当时，，也适合上式…………………………………………………5分
数列的通项公式为。……………………………………………………………6分
(2)，……………………………………………………………9分
则数列的前项和为：
…12分
19．(12分)在的三边所对的角为，已知向量，且，试判定的形状。
解：根据已知得，………………………………………………………………3分
在中，由正弦定理，则有：，……………………………5分
又因，则有：，…7分
即，……………………………………………………………………………………8分
而在中，所以即，………………………………………………10分
则是以为直角顶点的直角三角形。………………………………………………………12分
20．(12分)如图，一架飞机以的速度，沿方位角的航向从A地出发向B地飞行，飞行了后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知，且。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？(参考数据：)
解：如图，连接，在中由余弦定理，得：
，则，…………………………1分
则，即是直角三角形，且，……………………………2分
又，则，…………3分
在中，由余弦定理，则有：
，则………………………………………4分
又则是等腰三角形，且，………………………………………6分
由已知有，……………………………………………………………………7分
在中，由余弦定理，有………………8分
又，则。……………………………………………………9分
由飞机出发时的方位角为，则飞机由E地改飞C地的方位角为：
………………………………………………………………………11分
答：收到命令时飞机应该沿方位角的航向飞行，E地离C地。………………12分
21．(12分)在中，已知是关于的方程的两个实根。
(1) 求角；(2)求实数的取值集合。
解：(1)根据题意，则有，
而，又是的内角，
所以，则。………………………………………4分
(2)在中由(1)知，则，即，……6分
则关于的方程在区间上有两个实根，…7分
则有：
，…………………………………………………………………9分
解之得：……………………………………………………………11分
所以实数的取值集合为………………………………………………12分
22．(14分)一房产商竞标得一块扇形地皮，其圆心角，半径为，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形的一边在半径上，在圆弧上，在半径；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点分别在两条半径上。请你通过计算，为房产商提供决策建议。
解：按方案一：如图，连，设，
在中，，则
在中，，得，
则，设矩形的面积为，则
由得。
所以当，即时。…………………………5分
按方案二：如图作的平分线分别交于点，连。
设，在中，
在中，，得，则
，设矩形的面积为，则
由，则，所以当，即时…10分
，即………………………………………12分
答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好。………………………………………14分
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C
B
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500km
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EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
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北
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方案二
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方案一
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方案二
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