【浙江专版】备考2021年中考数学专题复习学案 02-代数式的变形与求值（原版+解析版）

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2021年浙教版中考数学二轮复习02-代数式的变形与求值
一、考点梳理
（一）代数式的有关概念
（1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项.
（3）整式：单项式与多项式统称整式.
（4）
同类项：在一个多项式中，所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.
合并同类项的法则是把同类项中的系数相加减，字母部分不变.
（5）分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称
为分式．
（6）式子
叫做二次根式．注意被开方数只能是非负数．
（7）最简二次根式：
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(8)
同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式．
（二）代数式有意义的条件
（1）分式：若B≠0，则有意义；若B=0，则无意义；
（2）二次根式：有意义的条件是被开方数大于或等于0.
即有意义，则a≥0.
（3）有事实问题得到的代数式要满足实际意义.
（三）代数式的有关运算
（1）幂的运算性质:
am·an=am+n；
(am)n=amn；
am÷an＝am-n；
(ab)n=anbn.
（2）合并同类项的法则：把同类项中的系数相加减，字母部分不变.
（3）整式的运算
整式的加减运算：有同类项合并同类项.
整式的乘除运算：
单项式乘（除）以单项式的法则：把系数、相同字母分别相乘（除）后，作为积（商）的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积（商）的一个因式．
多项式乘（除）以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别乘（除）以单项式，再把所得的积（商）相加．
（4）分式的运算
加减法法则：①
同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减
.
②
异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减
.
乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别乘方.
除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.
（5）二次根式的运算
二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
二次根式的乘除法
二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)．
二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)．
（6）代数式的运算：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.同一级的运算是可以相互转化的.
（8）运算律的应用：主要有加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律，以及分配律.
（四）代数式的恒等变形
（1）乘法公式：ac+ad+bc+bd；
(a＋b)(a－b)＝a2-b2；
(a＋b)2＝a2+2ab+b2
；(a－b)2＝a2-2ab+b2.
（2）因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．
因式分解的方法：⑴提公因式法，⑵
公式法
（5）探究数、式、图形规律
（1）一般按照“特殊——一般——特殊”的思维过程，使用“观察——猜想——验证”的思路，最终得出正确的结果；（2）列表法与举例法是在解答探索数式规律的问题时最常用的方法.
二、解题方法
（一）解决有关代数式的基本概念的问题要掌握整式、分式、二次根式等概念的内涵和区别及一些相关的概念.
（二）判断代数式有意义的条件时注意分式有意义的条件是分母不为零，二次根式有意义的条件被开方数非负.
（三）对于代数式的运算（1）分式的混合运算的顺序是先算乘除，再算加减，如有括号先算括号内的部分，当算式中出现整式时，应把其分母看成1；（2）注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.
（四）注意分解因式与整式的乘法之间的关系及区别，特别检查分解结果是否彻底.
（五）解决探索代数式规律问题的方法常见的有列表法和举例法.先探索等式的结构特征再考虑每个式子中数与项的关系.
三、重要题型剖析
（一）对代数式有关概念的考查.
1．（2020·浙江九年级其他模拟）单项式的系数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2021·中山大学附属中学九年级一模）下列分式中，最简分式是（
）
A．
B．
C．
D．
3.（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
（二）代数式有意义的条件的考查.
1．（2021·浙江杭州市·九年级期末）函数中自变量x的取值范围是________．
2．（2021·浙江杭州市·九年级一模）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．且
D．且
3．（2021·浙江杭州市·九年级一模）要使分式有意义，x的取值应满足（
）
A．
B．
C．或
D．且
（三）代数式的有关运算的考查.
1．（2021·浙江杭州市·九年级期末）下列计算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·浙江台州市·九年级一模）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·山东济南市·中考真题）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2a3）2＝4a6
B．a2?a3＝a6
C．3a+a2＝3a3
D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
（四）因式分解的考查.
1．（2021·浙江杭州市·九年级一模）已知，，则的值为______．
2．（2020·浙江金华市·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·浙江九年级专题练习）分解因式的结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（五）对探究规律的考查
1.（2020·重庆中考真题）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，?，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　）
A．18
B．19
C．20
D．21
2．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第13该小朋友离开；这样继续下去，直到最后剩下一个小朋友．小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从___号小朋友开始数起．
3．（2021·浙江金华市·中考模拟）如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江丽水市·九年级其他模拟）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中白色等腰直角三角形地砖排列总共有84个．则步道上总共使用连续排列的正方形地砖（
）
A．40个
B．41个
C．78个
D．79个
（六）代数式化简与求值的考查.
1．（2020·浙江宁波市·）已知代数式x2+3x+5的值为7，那么代数式3x2+9x﹣2的值是（　　）
A．0
B．2
C．4
D．6
2.（2020·湖南衡阳市·中考真题）化简：．
3．（2021·浙江湖州市·九年级一模）先化简，再求值：，其中．
4．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知一次函数的图像经过点、、则______．
（7）图形中的代数式问题
1．（2021·浙江宁波市·九年级其他模拟）如图，一个长方形是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·浙江宁波市·九年级二模）如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张，其中．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江宁波市·九年级其他模拟）在矩形ABCD内，将两张直角边长分别为a和b（a＞b）的等腰直角三角形按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分），矩形未被这两张等腰直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD＝6，AB＝8时，S1﹣S2的值为（　　）
A．a+b﹣4
B．a+b﹣5
C．a+b﹣6
D．a+b﹣7
四、课后训练
1．（2020·浙江金华市·中考真题）分式的值是零，则的值为（
）
A．5
B．
C．
D．2
2．（2020·浙江衢州市·九年级其他模拟）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江绍兴市·九年级二模）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图：
当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江九年级一模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（注：），如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示7班学生的识别图案是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·杭州育才中学九年级二模）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2b=5ab
B．﹣8a2÷（4a）＝2a
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6
D．4a3·3a2＝12a3
6．（2020·浙江杭州市·九年级期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·浙江）若，则（
）
A．12
B．14.5
C．16
D．
8．（2021·浙江台州市·九年级一模）若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（
）
A．是原来的2倍
B．是原来的
C．是原来的
D．不变
9．（2021·浙江宁波市·九年级其他模拟）在函数中，自变量的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
10．（2021·上海徐汇区·九年级二模）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．（2021·上海金山区·九年级二模）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．（2019·浙江金华市·九年级一模）在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是7，除数是2，则q与r的和(　　)
A．7﹣4
B．2﹣6
C．6-4
D．4-2
13．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知a为实数，则代数式的最小值为(　　)
A．0
B．3
C．3
D．9
14．（2021·浙江温州市·九年级其他模拟）小慧在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图1所示（其中），售货员分别可按图2、图3、图4三种方法进行捆绑，设图2、图3、图4的捆绑绳长分别为，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2021·浙江杭州市·九年级一模）若x2+6x+m是一个完全平方式，则m的值是（　　　）
A．3
B．6
C．9
D．18
16．（2020·浙江九年级一模）如果，那么代数式的值是（
）
A．
B．
C．1
D．3
17．（2020·浙江杭州市·九年级期末）使得是完全平方数的整数的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
18．（2021·浙江杭州市·九年级一模）已知，则_________．
19．（2021·浙江杭州市·九年级专题练习）若，则代数式的值为________．
20．（2020·浙江衢州市·中考真题）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
21．（2020·浙江杭州市·中考真题）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝_____．
22．（2020·浙江绍兴市·九年级二模）已知实数，满足，则代数式的最小值等于______．
23．（2020·浙江宁波市·中考真题）分解因式：______．
24．（2020·浙江中考真题）化简：＝_____．
25．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟），用t的表达式来表示______．当时，的取值范围是_____；当时，的取值范围是_____．
26．（2020·浙江湖州市·）计算：．
27.（2020·四川广安市·中考真题）先化简，再求值：，其中x=2020．
28．（2020·浙江杭州市·九年级期末）先化简再求值：，其中．
29．（2021·浙江宁波市·九年级二模）先化简，再求值：，其中．
30．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1　
　2x；②当x＝0时，x2+1　
　2x；③当x＝﹣2时，x2+1　
　2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
2021年浙教版中考数学二轮复习02-代数式的变形与求值
一、考点梳理
（一）代数式的有关概念
（1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项.
（3）整式：单项式与多项式统称整式.
（4）
同类项：在一个多项式中，所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.
合并同类项的法则是把同类项中的系数相加减，字母部分不变.
（5）分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称
为分式．
（6）式子
叫做二次根式．注意被开方数只能是非负数．
（7）最简二次根式：
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(8)
同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式．
（二）代数式有意义的条件
（1）分式：若B≠0，则有意义；若B=0，则无意义；
（2）二次根式：有意义的条件是被开方数大于或等于0.
即有意义，则a≥0.
（3）有事实问题得到的代数式要满足实际意义.
（三）代数式的有关运算
（1）幂的运算性质:
am·an=am+n；
(am)n=amn；
am÷an＝am-n；
(ab)n=anbn.
（2）合并同类项的法则：把同类项中的系数相加减，字母部分不变.
（3）整式的运算
整式的加减运算：有同类项合并同类项.
整式的乘除运算：
单项式乘（除）以单项式的法则：把系数、相同字母分别相乘（除）后，作为积（商）的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积（商）的一个因式．
多项式乘（除）以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别乘（除）以单项式，再把所得的积（商）相加．
（4）分式的运算
加减法法则：①
同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减
.
②
异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减
.
乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别乘方.
除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.
（5）二次根式的运算
二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
二次根式的乘除法
二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)．
二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)．
（6）代数式的运算：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.同一级的运算是可以相互转化的.
（8）运算律的应用：主要有加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律，以及分配律.
（四）代数式的恒等变形
（1）乘法公式：ac+ad+bc+bd；
(a＋b)(a－b)＝a2-b2；
(a＋b)2＝a2+2ab+b2
；(a－b)2＝a2-2ab+b2.
（2）因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．
因式分解的方法：⑴提公因式法，⑵
公式法
（5）探究数、式、图形规律
（1）一般按照“特殊——一般——特殊”的思维过程，使用“观察——猜想——验证”的思路，最终得出正确的结果；（2）列表法与举例法是在解答探索数式规律的问题时最常用的方法.
二、解题方法
（一）解决有关代数式的基本概念的问题要掌握整式、分式、二次根式等概念的内涵和区别及一些相关的概念.
（二）判断代数式有意义的条件时注意分式有意义的条件是分母不为零，二次根式有意义的条件被开方数非负.
（三）对于代数式的运算（1）分式的混合运算的顺序是先算乘除，再算加减，如有括号先算括号内的部分，当算式中出现整式时，应把其分母看成1；（2）注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.
（四）注意分解因式与整式的乘法之间的关系及区别，特别检查分解结果是否彻底.
（五）解决探索代数式规律问题的方法常见的有列表法和举例法.先探索等式的结构特征再考虑每个式子中数与项的关系.
三、重要题型剖析
（一）对代数式有关概念的考查.
1．（2020·浙江九年级其他模拟）单项式的系数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】单项式的系数就是所含字母前面的数字，由此即可求解．
【详解】解：单项式4ab2的系数是4，故选：D．
【点睛】此题主要考查了单项式的系数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义即可求解．
2．（2021·中山大学附属中学九年级一模）下列分式中，最简分式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可通过符号变化化为相同的因式从而进行约分；
【详解】A、
；B、
的分子分母不能再约分，是最简分式；
C、
；D、
；故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题，在解题中一定要引起注意．
3.（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；
B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
（二）代数式有意义的条件的考查.
1．（2021·浙江杭州市·九年级期末）函数中自变量x的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】，根据题意得：x≥0
，，解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．（2021·浙江杭州市·九年级一模）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．且
D．且
【答案】A
【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数是非负数列出关于的不等式组，然后求得的取值范围．
【详解】解：根据题意，得解之得：，故选：A．
【点睛】本题综合考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，解答该题时，需要注意分式的分母不为零这一条件．
3．（2021·浙江杭州市·九年级一模）要使分式有意义，x的取值应满足（
）
A．
B．
C．或
D．且
【答案】D
【分析】分式有意义的条件：分母不等于零，由此列式计算即可．
【详解】解：由题意得：，∴且，故选：D．
【点睛】此题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件及掌握计算方法是解题的关键．
（三）代数式的有关运算的考查.
1．（2021·浙江杭州市·九年级期末）下列计算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的加法即合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方的知识，运用相关运算法则计算即可得本题答案．
【详解】解：A.
，故A选项错误，不符合题意；
B.
，故B选项错误，不符合题意；
C.
，故C选项正确，且符合题意；
D.
，构成多项式的两个单项式不是同类项，无法合并，故D选项错误，不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了整式的加法，同底数幂的除法及积的乘方的知识；熟练掌握其运算法则，是正确的作答本题的关键．
2．（2021·浙江台州市·九年级一模）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则去判断A项，根据同底数幂的乘除法法则去判断B、C两项，根据积的乘方法则去判断D项，可得答案．
【详解】解：A、a和b不是同类项，不能合并
，故此选项错误；
B、
，故此选项错误；C、，故此选项正确；
D、
，故此选项错误；故选C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方的性质．解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．
3．（2020·山东济南市·中考真题）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2a3）2＝4a6
B．a2?a3＝a6
C．3a+a2＝3a3
D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】A
【分析】根据各个选项中的运算，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确；∵a2?a3＝a5，故选项B错误；
∵3a+a2不能合并，故选项C错误；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误；故选：A．
【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，掌握以上知识是解题的关键．
（四）因式分解的考查.
1．（2021·浙江杭州市·九年级一模）已知，，则的值为______．
【答案】90
【分析】把分解因式后代入求值即可.
【详解】∵=ab(b-a)=-ab(a-b)，，，
∴原式=-（-9）×10=90.故应填90.
【点睛】本题考查了因式分解型的化简求值，熟练进行因式分解，活用整体思想是解题的关键.
2．（2020·浙江金华市·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式的特点分析即可．
【详解】解：A、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、不能运用平方差公式分解，故此选项错误：
C、能运用平方差公式分解，故此选项正确：
D、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；故答案为C．
【点睛】本题考查了平方差公式和因式分解，运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式、两项都能写成平方的形式且符号相反．
3．（2021·浙江九年级专题练习）分解因式的结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解因式即可．
【详解】解：，故选：B．
【点睛】本题考查了分解因式，分解因式一般要先提取公因式，然后利用完全平方公式或平方差公式进行分解．
（五）对探究规律的考查
1.（2020·重庆中考真题）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，?，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　）
A．18
B．19
C．20
D．21
【答案】C
【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律，即可得解．
【详解】解：通过观察可得到
第①个图形中实心圆点的个数为：5=2×1+1+2，
第②个图形中实心圆点的个数为：8=2×2+2+2，第③个图形中实心圆点的个数为：11=2×3+3+2，
……∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：2×6+6+2=20，故选：C．
【点睛】本题考查探索与表达—图形变化类．关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
2．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第13该小朋友离开；这样继续下去，直到最后剩下一个小朋友．小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从___号小朋友开始数起．
【答案】7
【分析】先假设从1号小朋友开始数起，看留到最后的是几号小朋友，再利用规律推回去即可得出答案．
【详解】先假设从1号小朋友开始数起，离开的分别是13，1，3，6，10，5，2，4，9，11，12，7，最后留下的是8号，因此，想要留下1号，即从“8号”倒推7位，即可留下“1号”，所以应该从7号开始，故答案为：7．
【点睛】本题主要考查数字类规律，找到规律是解题的关键．
3．（2021·浙江金华市·中考模拟）如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定几幅图形中黑点数量的变化可找出其中的变化规律“（为正整数）”，进而可求出，将其代入中即可求得结论．
【详解】解：∵第一幅图中“”有个；第二幅图中“”有个；
第三幅图中“”有个；∴第幅图中“”有（为正整数）个
∴∴当时
．故选：C
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
4．（2020·浙江丽水市·九年级其他模拟）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中白色等腰直角三角形地砖排列总共有84个．则步道上总共使用连续排列的正方形地砖（
）
A．40个
B．41个
C．78个
D．79个
【答案】A
【分析】由题意及图形可得出规律：中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得到正方形的个数．
【详解】解：由题意及图形可得出规律：中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，
所以（个）．故选A．
【点睛】本题主要考查规律问题，关键是根据题意得到规律求解即可．
（六）代数式化简与求值的考查.
1．（2020·浙江宁波市·）已知代数式x2+3x+5的值为7，那么代数式3x2+9x﹣2的值是（　　）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【分析】观察题中的两个代数式x2+3x+5和3x2+9x﹣2，可以发现，3x2+9x＝3（x2+3x），因此可整体求出x2+3x的值，然后整体代入即可求出所求的结果．
【详解】解：∵x2+3x+5的值为7，∴x2+3x＝2，
代入3x2+9x﹣2，得3（x2+3x）﹣2＝3×2﹣2＝4．故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值，观察两个代数式之间的相同点，采用整体思想求解是解题关键．
2.（2020·湖南衡阳市·中考真题）化简：．
【答案】
【分析】根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可．
【详解】解：==．
【点睛】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识，灵活运用整式的四则混合运算法则是解答本题的关键．
3．（2021·浙江湖州市·九年级一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的运算法则计算化简，再把代入即可求解．
【详解】解：原式
当时，原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的计算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知一次函数的图像经过点、、则______．
【答案】
【分析】首先根据待定系数法确定一次函数中a，b的值，再确定一次函数的解析式，然后确定c，再求出a－b，b－c和a－c的值，然后根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：将、分别代入一次函数中，得
解得：
∴一次函数解析式为
将代入一次函数解析式中，得解得：c=
∴a－b=，b－c=，a－c=1
∴=
==
====故答案为：．
【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和利用完全平方公式的变形求值，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和完全平方公式是解题关键．
（7）图形中的代数式问题
1．（2021·浙江宁波市·九年级其他模拟）如图，一个长方形是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设标号为②和③的两块长方形的长为x、宽为y，根据题意表示出标号为①和④的周长，并作差即可求解．
【详解】设标号为②和③的两块长方形的长为x、宽为y，
根据题意，标号为①的长方形的周长为，标号为④的长方形周长为，
所以标号为①和④两块长方形的周长之差为：，
故只要知道线段的长度．故选：B．
【点睛】本题主要考查整式加减的应用，能够表示出标号为①和④的周长是关键．
2．（2021·浙江宁波市·九年级二模）如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张，其中．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案．
【详解】由题意可得：S1=(a+b)
2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，
∵，∴2ab=6(ab-a2)
2ab=6ab-6a2
b=3b-3a
3a=2b，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，用含a，b的代数式表示出S1，S2是解题关键．
3．（2020·浙江宁波市·九年级其他模拟）在矩形ABCD内，将两张直角边长分别为a和b（a＞b）的等腰直角三角形按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分），矩形未被这两张等腰直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD＝6，AB＝8时，S1﹣S2的值为（　　）
A．a+b﹣4
B．a+b﹣5
C．a+b﹣6
D．a+b﹣7
【答案】D
【分析】如图1、2，作GH⊥AD于点H，由题意易得EF＝a+b﹣6，同理可得EF＝a+b﹣8，然后分别求出阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：如图1，由已知可得，∠DQF＝∠DFQ＝∠AEP＝∠APE＝45°，
作GH⊥AD于点H，∵AD＝6，AB＝8，则EF＝a+b﹣6，
如图2，同理可得EF＝a+b﹣8，
∴图1中阴影部分的面积是：6×8，
同理可得，图2中阴影部分的面积是：6×8，
∴S1﹣S2＝＝a+b﹣7．故选：D．
【点睛】本题主要考查完全平方公式及等腰三角形的性质，熟练掌握利用等腰三角形的性质求解阴影部分的面积，然后利用完全平方公式进行化简求值．
四、课后训练
1．（2020·浙江金华市·中考真题）分式的值是零，则的值为（
）
A．5
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】利用分式值为零的条件可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，解得：，故选：．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
2．（2020·浙江衢州市·九年级其他模拟）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；左下方的数字为20，21，22，…2n-1；最后根据右下方的数字=左下方的数字+最上方的数字解答即可．
【详解】解：观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；则2n-1=21，解得n=11
左下方的数字为：20，21，22，…2n-1；
令n=11可得：m=211-1=1024∴n=m+21=1024+21=1045故选：B．
【点睛】本题考查了数字的变化类规律题，解题的关键在于根据图表观察、归纳数字变化的规律并灵活运用规律．
3．（2020·浙江绍兴市·九年级二模）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图：
当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题中的介绍，掌握0-9这十个数字的表达形式及数的表达方法，即可表示出5288这个数．
【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，
个位，百位数字用纵式表示，十位，千位数字用横式表示，
则5288用算筹可表示为，故选：D．
【点睛】本题是一道阅读理解题，解题中要注意读懂题意，掌握算筹表示数的方法，利用数形结合的思想进行分析是解题的关键．
4．（2020·浙江九年级一模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（注：），如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示7班学生的识别图案是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由该生为7班学生，可得出关于a，b，c，d的方程，结合a，b，c，d均为1或0，即可求出a，b，c，d的值，再由黑色小正方形表示1白色小正方形表示0，即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：8a+4b+2c+d=7，
∵a，b，c，d均为1或0，∴a=0，b=c=d=1．故选：D．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类以及解多元一次方程，读懂题意，正确找出关于于a，b，c，d的方程是解题的关键．
5．（2021·杭州育才中学九年级二模）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2b=5ab
B．﹣8a2÷（4a）＝2a
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6
D．4a3·3a2＝12a3
【答案】C
【分析】利用合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可．
【详解】A.
3a与2b不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B.
?8a2÷4a=?2a，故B选项错误；C.
(?2a2)3=?8a6，故C选项正确；D.
4a3·3a2=12a5，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键．
6．（2020·浙江杭州市·九年级期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式、积的乘方和同底数幂的除法计算判断即可．
【详解】解：A、，故错误；B、，故错误；
C、，故错误；D、，故正确；故选D．
【点睛】本题考查了完全平方公式、积的乘方和同底数幂的除法，关键是根据法则进行计算．
7．（2020·浙江）若，则（
）
A．12
B．14.5
C．16
D．
【答案】B
【分析】将已知等式变形后，利用非负数的性质和完全平方式求出关于a的等式和b的值，代入所求式子中计算可解．
【详解】将已知等式整理：
∴a-4a+1=0，2b-1=0整理得：a+=4，b=，
即a+=(
a+)-2=16-2=14，则14.5．故选：B．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（2021·浙江台州市·九年级一模）若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（
）
A．是原来的2倍
B．是原来的
C．是原来的
D．不变
【答案】B
【分析】根据分式的加法进行计算，再把同时扩大2倍，观察分式值变化即可．
【详解】解：，同时扩大2倍得，
分式的值是原来的，故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分．
9．（2021·浙江宁波市·九年级其他模拟）在函数中，自变量的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．
【详解】解:若使函数y＝有意义，∴3?x≥0，即x≤3．故选C．
【点睛】本题主要考查了函数自变量取值范围的知识点，注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（2021·上海徐汇区·九年级二模）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零,进行分析即可．
【详解】解：A、当m＜0时，无意义，故此选项不符合题意；
B、当m＜﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；
C、当m＝﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；
D、m是任意实数，都有意义，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二式有意义的基本条件是解题的关键．
11．（2021·上海金山区·九年级二模）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念，逐一判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不合题意；B、是最简二次根式，符合题意；
C、是三次根式，不合题意；D、是四次根式，不合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟悉掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
12．（2019·浙江金华市·九年级一模）在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是7，除数是2，则q与r的和(　　)
A．7﹣4
B．2﹣6
C．6-4
D．4-2
【答案】A
【分析】根据的整数部分即为q即可先求出q的值，再将a、q、b的值代入a=bq+r中即可求出r的值，从而作答．
【详解】∵且4＜＜5∴的整数部分是4
∴商q＝4∴余数
∴q+r＝故选A．
【点睛】本题考查了整式的除法、估算无理数的大小，解决本题的关键理解q即的整数部分．
13．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知a为实数，则代数式的最小值为(　　)
A．0
B．3
C．3
D．9
【答案】B
【解析】根据题意，由==，可知当（a﹣3）2=0，即a=3时，代数式的值最小，为=3.故选B．
14．（2021·浙江温州市·九年级其他模拟）小慧在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图1所示（其中），售货员分别可按图2、图3、图4三种方法进行捆绑，设图2、图3、图4的捆绑绳长分别为，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据图形分别用表示出，然后通过作差比较即可．
【详解】图2中，，
图3中，，
图4中，，
，．
，又，
，．
，，，故选：B．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算及不等式的性质，正确的表示出是关键．
15．（2021·浙江杭州市·九年级一模）若x2+6x+m是一个完全平方式，则m的值是（　　　）
A．3
B．6
C．9
D．18
【答案】C
【分析】利用完全平方公式即可得出m值．
【详解】解：∵x2+6x+m是一个完全平方式，
x2+6x+m=x2+2×3×x+32，∴m=9，故选C．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（a±b）2=a2±2ab+b2．
16．（2020·浙江九年级一模）如果，那么代数式的值是（
）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】D
【分析】先化简，然后将a2+2a的值整体代入计算即可．
【详解】解：原式==a（a+2）=a2+2a，
∵a2+2a-3=0，∴a2+2a=3，故原式=3．故选：D．
【点睛】本题考查分式的化简求值及整体代入，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
17．（2020·浙江杭州市·九年级期末）使得是完全平方数的整数的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】由是完全平方数，可设5×2m+1=n2?（其中n为正整数），可得5×2m=n2-1，可得n为奇数，然后设n=2k-1（其中k是正整数），即可得方程组，解方程组即可求得答案．
【详解】设5×2m+1=n2（其中n为正整数），则5×2m=n2?1=(n+1)(n?1)，
∵5×2m是偶数，∴n为奇数，设n=2k?1（其中k是正整数），则5×2m=4k(k?1)，即：5×2m?2=k(k?1)，
∵k>1，k和k?1互质，∴
或
或，
解得：k=5，m=4，∴满足要求的整数m只有1个．故选A．
【点睛】本题主要考查完全平方数的概念，掌握数量关系，列出方程组，是解题的关键．
18．（2021·浙江杭州市·九年级一模）已知，则_________．
【答案】5．
【分析】将式子联立解方程组，求出的值，把的值代入即可求出值．
【详解】解：∵，∴，解得，
．故答案为：5．
【点睛】本题题考查了二元一次方程组解法，代数式求值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解本题的关键．
19．（2021·浙江杭州市·九年级专题练习）若，则代数式的值为________．
【答案】34
【分析】先把已知条件的两边都除以a，然后再利用完全平方公式计算即可.
【详解】由题可知：，∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴，故答案为：34．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，两边都除以a得到是解题的关键，另外还要注意乘积的二倍不含字母也非常的重要．
20．（2020·浙江衢州市·中考真题）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
【答案】x2﹣1
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】解：根据题意得：（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．故答案为：x2﹣1．
【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
21．（2020·浙江杭州市·中考真题）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝_____．
【答案】﹣
【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．
【详解】解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2，∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减得4xy＝﹣3，解得xy＝﹣，
则P＝﹣．故答案为：﹣．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
22．（2020·浙江绍兴市·九年级二模）已知实数，满足，则代数式的最小值等于______．
【答案】4
【分析】把m-n2=1变形为n2=m-1，利用非负数的性质可得出m的取值范围，再将令y=将代数式转化为只含字母m的函数，通过函数的增减性即可得出结果．
【详解】解：∵m﹣n2=1，即n2=m-1≥0，∴m≥1，
令y=
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线m=-3
∴m>-3时，y随着m的增大而增大
∵m≥1，∴当m=1时，y取得最小值：
∴代数式有最小值：4
故答案为：4
【点睛】本题主要考查非负数的性质、配方法和二次函数最值等相关知识在求解过程中，重点是要将条件m﹣n2=1，转化为n2=m-1，即利用非负数的性质得出m的取值范围，又可将后面代数式中的n2用含m的式子进行替换，此时就可以用配方法并结合m的取值以及函数关系式就可得求出最小值．
23．（2020·浙江宁波市·中考真题）分解因式：______．
【答案】
【分析】原式提取公因式2，然后再运用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：==故答案为：．
【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．
24．（2020·浙江中考真题）化简：＝_____．
【答案】
【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．
【详解】＝＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．
25．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟），用t的表达式来表示______．当时，的取值范围是_____；当时，的取值范围是_____．
【答案】
≤＜
＜
【分析】将分式的分子和分母同时除以a，然后变形即可求出与t的关系式，然后判断出当t＞0时，随t的增大而增大，结合t的取值范围从而求出的取值范围．
【详解】解：∵∴
∴（其中，即）
∴整理可得：
当t＞0时，随t的增大而减小，且＞0
∴当t＞0时，随t的增大而增大，且＜
∴对于，当t=1时，有最小值，最小值为；
∴当时，的取值范围是≤＜；
∴对于，无最小值；但应满足＜
故答案为：；≤＜；＜．
【点睛】此题考查的是等式的变形和利用函数增减性求函数值的取值范围，掌握利用函数增减性求函数值的取值范围是解题关键．
26．（2020·浙江湖州市·）计算：．
【答案】．
【分析】先计算整式的乘法、完全平方公式运算，再计算整式的加减法即可．
【详解】原式．
【点睛】本题考查了整式的加减法与乘法、完全平方公式，熟记各运算法则和公式是解题关键．
27.（2020·四川广安市·中考真题）先化简，再求值：，其中x=2020．
【答案】，
【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可．
【详解】解：===
将x=2020代入，得原式==．
【点睛】此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的各个运算法则是解题关键．
28．（2020·浙江杭州市·九年级期末）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，根据负整数指数幂，绝对值的性质，特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再代入求出即可．
【详解】解：=
==
∵==2
∴原式==．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运用法则进行化简是解题的关键，注意运算顺序．
29．（2021·浙江宁波市·九年级二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】根据分式加减法则进行化简，然后代入求值．
【详解】解：原式＝
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算，代入后准确求值．
30．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1　
　2x；②当x＝0时，x2+1　
　2x；③当x＝﹣2时，x2+1　
　2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析
【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x2+1＞2x；③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．
故答案为：＝；＞；＞．
（2）x2+1≥2x．
证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．
【点睛】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．
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精品试卷·第
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