【浙江专版】备考2021中考数学专题复习学案 03 方程(组)、不等式（组）的解法（原版+解析版）

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2021年浙教版中考数学二轮复习03
方程(组)、不等式（组）的解法
一、考点梳理
（一）一元一次方程及其解法；二元一次方程组及其解法
1．一元一次方程
（1）一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
（2）一元一次方程有唯一的一个解．
说明：对于以为未知数的最简方程，若没有给出字母a和b的取值范围，其解有下面三种情况：①时一元一次方程，有唯一解．②，时，方程无解．③，时，方程有无数个解．
2．二元一次方程组：（1）一般形式：（不全为0）
（2）解法：二元一次方程组一元一次方程组．
（二）用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程
1．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：（）．
2．一元二次方程的基本解法有四种：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．
（三）可化为一元一次方程．一元二次方程的分式方程的解法
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
（1）分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
（2）验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
（五）一元二次方程根的判别式及应用
一元二次方程根的判别式：
①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程无实数根．④方程有两个实数根．
结论：（1）若二次三项式是完全平方式，则方程的判别式=0．
（2）方程有实数根，包括两种情况：①有两个实数根，②，只有一个实数根．
说明：根的判别式最常见的用法有：①不解方程判别一元二次方程根的情况．②由方程根的情况确定某些字母的值或范围．
（六）一元二次方程根与系数的关系
如果的两个根是，则，．
①，②，③
（七）一元一次不等式（组）的解法
1．一元一次不等式的解法
即通过去分母．去括号．移项合并同类项，把不等式化为(或)()的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．
2．一元一次不等式组的解法：即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中)．
口诀
不等式组
解集
在数轴上表示
同小取小
同大取大
大小取中
[]
二、解题方法
（一）解多元方程的基本思路是消元，方法有代入消元法和加减消元法．
（二）解高次方程的基本思路是降次，方法有因式分解法和换元法．
（三）解分式方程的基本思路是转化，通过去分母法或换元法将分式方程化为整式方程．解分式方程一定要检验．
（四）解不等式（组），特别是含字母系数的不等式（组）可以画数轴，通过数形结合的方法解决．
（五）代数式比较大小常用的方法有“差值比较法”和“商值比较法”．“差值比较法”适用于比较任何两个代数式的大小，基本步骤是“作差——变形——断号”；“商值比较法”只适用于比较两个同号代数式的大小，基本步骤是“做商——变形——判断商式与1的大小关系”．
三、重要题型剖析
（一）对一元一次方程及其解法、二元一次方程组及其解法的考查．
1．（2020·浙江杭州市·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
2.（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）解方程：
3．（2020·浙江金华市·九年级二模）解方程组：．
4．（2020·浙江丽水市·九年级其他模拟）解二元一次方程组
（二）对用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的考查．
1.（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）解方程：x2﹣5x+6＝0
2．（2020·浙江台州市·九年级期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0
（2）x（x﹣2）＝x﹣2
3．（2021·浙江金华·九年级期末）解下列方程：（1）；
（2）．
（三）对可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法的考查．
1．（2021·浙江杭州·）解方程：（1）＝；（2）+1＝．
2．（2021·浙江杭州市·九年级二模）解分式方程1－＝
晨晨的解答如下：
解：去分母，得2x＋2－x－3＝6x化简得x＝－，经检验x＝－是原方程的解
所以原方程的解是x＝－．
晨晨的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
3．（2021·浙江台州市·九年级一模）小汪解答“解分式方程：”的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：……①去括号得：……②移项得：……③合并同类项得：……④系数化为1得：……⑤是原分式方程的解……⑥
（四）对不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集的考查．
1．（2021·浙江舟山市·九年级一模）如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江嘉兴·中考真题）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3.（2020·柳州市柳林中学中考真题）解不等式组请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　
　；（Ⅱ）解不等式②，得　
　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式的解集为　
　．
（五）方程与不等式的解考查．
1．（2020·浙江杭州市·九年级一模）若x＝﹣1是关于x的方程2x+3m﹣7＝0的解，则m的值为_____．
2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知是方程组的解，则的值为_______
．
3．（2020·浙江金华市·九年级二模）设为一元二次方程的一个实数根，则__________．
4．（2020·浙江台州市·九年级三模）下列说法正确的是（
）
A．5
是不等式
的解
B．6
是不等式
的解集
C．是不等式
的解集
D．是不等式的解集
（六）对一元二次方程根的判别式及应用的考查．
1.（2020·山东烟台市·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
2．（2021·浙江温州市·九年级一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（
）
A．0
B．3
C．6
D．9
3．（2020·浙江九年级二模）关于的一元二次方程（为实数）根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
（七）对一元二次方程根与系数的关系的考查．
1.（2020·江苏南通市·中考真题）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）定义运算：．若是方程的两根，则的值为（　　　）
A．0
B．1
C．2
D．与有关
3．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知关于方程，其中是实数．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程有两个实数根为，求代数式的最小值．
（八）方程、不等式中的含参问题
1．（2021·重庆九龙坡区·九年级一模）若整数使得关于的不等式组且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的的值的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.（2020·四川内江市·中考真题）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____
3．（2021·成都市树德实验中学九年级二模）若关于x的分式方程有增根，则k的值为_______．
四、课后训练
1．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　　　
）
A．-1
B．-2
C．-3
D．0
2．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（
）
A．7
B．－14
C．28
D．－56
3．（2021·武城县四女寺镇明智中学九年级一模）若关于的方程无解，则的值是（
）
A．-3
B．3
C．2
D．-2
4．（2020·浙江杭州市·九年级期末）方程的整数解的组数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．（2020·山东日照·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·云南昆明·中考真题）不等式组，的解集在以下数轴表示中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·浙江丽水市·九年级期末）关于、的方程组的解是，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·浙江温州市·九年级一模）若x、y满足方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
9．（2020·浙江九年级三模）已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的一个解；
②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；
④某直角三角形的两条直角边长分别为，，则其面积最大值为．
A．②③
B．①②④
C．③④
D．②③④
10．（2020·浙江温州市·九年级二模）我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组它的解是（
）A．
B．
C．
D．
11．（2020·浙江金华市·九年级期末）下列关于一元二次方程，说法正确的是（
）
A．方程配方变形为
B．方程的解为
C．关于的方程有实数根，则
D．方程的解为
12．（2020·浙江杭州市·九年级其他模拟）实数x满足，则的值为(
)
A．3
B．0
C．3或0
D．
13．（2020·浙江杭州市·八年级期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2021·浙江温州市·九年级零模）我们知道方程的解是，，那么对于实数满足，则的值为（
）
A．5
B．
C．5或
D．或2
15．（2021·浙江湖州市·九年级一模）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
16．（2021·杭州育才中学九年级二模）已知x＜y，则下列结论成立的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2
B．﹣2x＞﹣2y
C．3x+1＞3y+1
D．
17．（2021·重庆长寿区·九年级期末）如果关于的方程有正数解，且关于的方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数的值是（
）
A．-1
B．0
C．1
D．-1或1
18．（2021·山东枣庄东方国际学校九年级二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　）
A．7
B．11
C．12
D．13
19．（2021·重庆八中九年级月考）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数的值之和为（
）
A．6
B．10
C．11
D．15
20．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟）若不等式组有解，则a的取值范围是（　
　）
A．a＞－1
B．a≥－1
C．a≤1
D．a＜1
21．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知y和x的二次函数，当时，，当时，x恰为方程的根，则这个函数的解析式是__________．
22．（2020·浙江金华市·九年级其他模拟）对于实数p，q，我们用符号表示min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如：min{1，2}＝1，若min{x，2x﹣3}＝2，则x＝_____．
23．（2021·浙江温州市·九年级一模）关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是________．
24．（2021·浙江宁波市·九年级二模）关于x的不等式组无整数解，则a的取值范围为_____．
25．（2021·浙江台州市·九年级一模）对于实数，定义运算“”如下：．例如：，则不等式的解集为_______．
26．（2020·浙江九年级二模）一元二次方程x2=3x的解是：________．
27．（2021·浙江温州市·九年级其他模拟）不等式组的解为________．
28．（2020·浙江金华市·九年级期末）解方程（组）：
（1）
（2）
29．（2021·浙江杭州市·九年级一模）解方程：．
30．（2020·浙江杭州市·）解分式方程＝﹣2圆圆的解答如下：
解：去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2化简，得x＝4经检验，x＝4是原方程的解．
∴原方程的解为x＝4．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
2021年浙教版中考数学二轮复习03
方程(组)、不等式（组）的解法
一、考点梳理
（一）一元一次方程及其解法；二元一次方程组及其解法
1．一元一次方程
（1）一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
（2）一元一次方程有唯一的一个解．
说明：对于以为未知数的最简方程，若没有给出字母a和b的取值范围，其解有下面三种情况：①时一元一次方程，有唯一解．②，时，方程无解．③，时，方程有无数个解．
2．二元一次方程组：（1）一般形式：（不全为0）
（2）解法：二元一次方程组一元一次方程组．
（二）用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程
1．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：（）．
2．一元二次方程的基本解法有四种：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．
（三）可化为一元一次方程．一元二次方程的分式方程的解法
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
（1）分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
（2）验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
（五）一元二次方程根的判别式及应用
一元二次方程根的判别式：
①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程无实数根．④方程有两个实数根．
结论：（1）若二次三项式是完全平方式，则方程的判别式=0．
（2）方程有实数根，包括两种情况：①有两个实数根，②，只有一个实数根．
说明：根的判别式最常见的用法有：①不解方程判别一元二次方程根的情况．②由方程根的情况确定某些字母的值或范围．
（六）一元二次方程根与系数的关系
如果的两个根是，则，．
①，②，③
（七）一元一次不等式（组）的解法
1．一元一次不等式的解法
即通过去分母．去括号．移项合并同类项，把不等式化为(或)()的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．
2．一元一次不等式组的解法：即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中)．
口诀
不等式组
解集
在数轴上表示
同小取小
同大取大
大小取中
[]
二、解题方法
（一）解多元方程的基本思路是消元，方法有代入消元法和加减消元法．
（二）解高次方程的基本思路是降次，方法有因式分解法和换元法．
（三）解分式方程的基本思路是转化，通过去分母法或换元法将分式方程化为整式方程．解分式方程一定要检验．
（四）解不等式（组），特别是含字母系数的不等式（组）可以画数轴，通过数形结合的方法解决．
（五）代数式比较大小常用的方法有“差值比较法”和“商值比较法”．“差值比较法”适用于比较任何两个代数式的大小，基本步骤是“作差——变形——断号”；“商值比较法”只适用于比较两个同号代数式的大小，基本步骤是“做商——变形——判断商式与1的大小关系”．
三、重要题型剖析
（一）对一元一次方程及其解法、二元一次方程组及其解法的考查．
1．（2020·浙江杭州市·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析
【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．
2.（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）解方程：
【答案】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
3．（2020·浙江金华市·九年级二模）解方程组：．
【答案】
【分析】直接利用加减消元法解方程组即可.
【详解】
由得：7x=11，解得，
把代入方程得：，
故原方程组的解为：.
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键.
4．（2020·浙江丽水市·九年级其他模拟）解二元一次方程组
【答案】
【分析】令方程组中的两个方程分别为①和②，将①代入②得到m的值，再将m的值代入①即可得到n的值，即可求得方程组的解．
【详解】，
将①代入②得：2m+1=﹣5，解得m=﹣3，
将m=﹣3代入①得：﹣3﹣3n=2，解得n=，
则方程组的解为故答案为：
【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解．
（二）对用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的考查．
1.（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.
【详解】利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【点睛】
本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.
2．（2020·浙江台州市·九年级期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0
（2）x（x﹣2）＝x﹣2
【答案】（1）x＝2±；（2）x＝1或x＝2
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±，
∴．
（2）∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴．
【点睛】本题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键．
3．（2021·浙江金华·九年级期末）解下列方程：（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用求根公式法解方程．
【详解】（1）
，
x(x-3)=0，
x=0，x-3=0，
∴；
（2），
∵a=2，b=-4，c=-1，
∴b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0，
∴x=，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
（三）对可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法的考查．
1．（2021·浙江杭州·）解方程：（1）＝；（2）+1＝．
【答案】（1）分式方程无解；（2）．
【分析】（1）先两边同乘以去分母，化成整式方程，再解一元一次方程即可；
（2）先两边同乘以去分母，化成整式方程，再解一元一次方程即可．
【详解】（1）先两边同乘以去分母，得
去括号，得
解得
经检验，是增根
故原分式方程无解；
（2）先两边同乘以去分母，得
解得
经检验，是分式方程的解
故原分式方程的解为．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟记解法是解题关键．需注意的是，分式方程化为整式方程求出的解要代入原分式方程进行检验．
2．（2021·浙江杭州市·九年级二模）解分式方程1－＝
晨晨的解答如下：
解：去分母，得2x＋2－x－3＝6x化简得x＝－，经检验x＝－是原方程的解
所以原方程的解是x＝－．
晨晨的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【答案】晨晨的解答不正确，正确的解答见解析．
【分析】晨晨的解答不正确，原因是去分母时没有把x－3加上括号变为2x＋2－(x－3)
＝6x，由此即可写出正确的解答．
【详解】解：晨晨的解答不正确，
正确解答为：去分母，得2x＋2－(x－3)
＝6x，
去括号，得2x＋2－x＋3＝6x，
移项合并得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2021·浙江台州市·九年级一模）小汪解答“解分式方程：”的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：……①去括号得：……②移项得：……③合并同类项得：……④系数化为1得：……⑤是原分式方程的解……⑥
【答案】错误步骤的序号为①，解法见详解．
【分析】错误步骤的序号为①，解方程去分母转化为整式方程，，解这个整式方程，检验：当时，，结论是原分式方程的解即可．
【详解】解：错误步骤的序号为①，
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【点睛】本题考查检查解分式方程准确情况，找出错误题号，按分式方程解题标准解出分式方程，掌握检查解分式方程准确情况，找出错误题号，按分式方程解题标准解出分式方程是解题关键．
（四）对不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集的考查．
1．（2021·浙江舟山市·九年级一模）如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：，
A.不等式组的解集为，故错误；
B．
不等式组的解集为，故B正确；
C．不等式组的解集为，故C错误；
D．不等等式组的解集为，故D错误．故选B．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键．
2．（2020·浙江嘉兴·中考真题）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
【解析】解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，合并，得：x＞﹣1，故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞”向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心．
3.（2020·柳州市柳林中学中考真题）解不等式组请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　
　；（Ⅱ）解不等式②，得　
　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式的解集为　
　．
【答案】（Ⅰ）x＞﹣1；（Ⅱ）x≤2；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）﹣1＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：
（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式的解集为．故答案为：；；．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（五）方程与不等式的解考查．
1．（2020·浙江杭州市·九年级一模）若x＝﹣1是关于x的方程2x+3m﹣7＝0的解，则m的值为_____．
【答案】3
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于m的一元一次方程，从而可求出m的值．
【详解】解：根据题意得：2×（﹣1）+3m﹣7＝0
解得：m＝3，故答案为3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于m字母系数的方程进行求解，注意细心．
2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知是方程组的解，则的值为_______
．
【答案】
【分析】将代入方程组，求出a和b的值，即可求解．
【详解】将代入方程组，得：，
解得：，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
3．（2020·浙江金华市·九年级二模）设为一元二次方程的一个实数根，则__________．
【答案】
【分析】由题意，得到，然后整体代入，即可得到答案．
【详解】解：∵为一元二次方程的一个实数根，
∴，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及整体代入法求代数式的值，解题的关键是正确得到．
4．（2020·浙江台州市·九年级三模）下列说法正确的是（
）
A．5
是不等式
的解
B．6
是不等式
的解集
C．是不等式
的解集
D．是不等式的解集
【答案】C
【分析】先把各个不等式解出，再判断即可.
【详解】解：A.不等式的解集为x﹥5,
5
不是不等式
的解，故错误；
B.
不等式的解集为x﹥5,
6是不等式
的解，故错误
C.
不等式的解集为x≥3,，故正确；D.
不等式的解集为x≥5,故错误.故选C.
【点睛】此题主要考查了不等式的解和不等式的解集，正确的区分不等式的解与不等式的解集是解决问题的关键.
（六）对一元二次方程根的判别式及应用的考查．
1.（2020·山东烟台市·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【分析】根据题意，结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k的不等式，然后解不等式即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∴的取值范围是且，故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键．
2．（2021·浙江温州市·九年级一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（
）
A．0
B．3
C．6
D．9
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式，解出c即可．
【详解】根据题意得：，解得：．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根．
3．（2020·浙江九年级二模）关于的一元二次方程（为实数）根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【答案】A
【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的符号可得答案．
【详解】方程的判别式为△=k2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．
（七）对一元二次方程根与系数的关系的考查．
1.（2020·江苏南通市·中考真题）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
【答案】2028
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．
【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）定义运算：．若是方程的两根，则的值为（　　　）
A．0
B．1
C．2
D．与有关
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系根据得到结论．
【详解】解：∵a、b是方程的两根，∴a+b=1，，
∴=b（1-b）-a（1-a）=b-b2-a+a2=（a-b）（a+b-1）=0，故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及因式分解法解一元二次方程，正确利用新定义得出是解题关键．
3．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知关于方程，其中是实数．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程有两个实数根为，求代数式的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；
（2）将将代入原方程得到，再根据方程得到，，代入代数式，配方可得m的最小值．
【详解】解：（1）△===
=
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵为方程的实数根，∴将代入原方程得：
，，∴，
==，
∵，，
原式===
故原代数式的最小值为．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
（八）方程、不等式中的含参问题
1．（2021·重庆九龙坡区·九年级一模）若整数使得关于的不等式组且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的的值的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】解不等式①，②，不等式组有解得解集，仅有3个整数解是2,1,0，可列不等式，解不等式求出，解分式方程，去分母，解得，关于的分式方程的解为非负数，可得，解得，在取整数即可．
【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得，
∵不等式组有解，∴，仅有3个整数解是2,1,0，
∴，∴，∴，
，去分母，解得，
且关于的分式方程的解为非负数，∴，解得，
∵y≠1∴∴∵a为整数，∴的值为-2，
0，1，故选择：C．
【点睛】本题考查不等式组的解，法分式方程的解法，利用不等式组仅有3个整数解列不等式，利用分式方程的解为非负数，确定的范围是解题关键．
2.（2020·四川内江市·中考真题）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____
【答案】40
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a5且a≠3，根据不等式组的解集为，即可得出a>0，找出0【详解】解：分式方程的解为x=且x≠1，
∵分式方程的解为非负数，∴且≠1.∴a5且a≠3.
解不等式①，得.
解不等式②，得y∵关于y的不等式组的解集为，∴a>0.∴0又a为整数，则a的值为1，2，4，5.
符合条件的所有整数a的积为.故答案为：40.
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出a的取值范围是解题的关键．
3．（2021·成都市树德实验中学九年级二模）若关于x的分式方程有增根，则k的值为_______．
【答案】1
【分析】根据增根得出x=2,再利用分式方程得出含有k的一元一次方程，解出方程即可．
【详解】解：∵关于x的分式方程有增根∴x=2
∴
则有：
将x=2代入得
解得k=1故答案为：
1
【点睛】本题考查分式方程的增根．理解增根的含义是重点．掌握分式方程的解法是关键．
四、课后训练
1．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　　　
）
A．-1
B．-2
C．-3
D．0
【答案】B
【分析】首先由不等式组的解集为x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数，即可得解.
【解析】由题意，得，即，即∴，即
，解得有非负整数解，即
∴a≥-2且a≠2∴且∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1
又∵为非负整数解，
∴符合条件的所有整数a的数有：-2,0∴其和为故选：B.
【点睛】此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
2．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（
）
A．7
B．－14
C．28
D．－56
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【解析】解：解不等式，解得x≤7，∴不等式组整理的，由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y?a＋3y?4＝y?2，即3y?2＝a，解得：y＝，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，1×7＝7，故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2021·武城县四女寺镇明智中学九年级一模）若关于的方程无解，则的值是（
）
A．-3
B．3
C．2
D．-2
【答案】B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：方程两边都乘以（x-3）得，x=2(x-3)+m
∵原方程无解，即原方程有增根
∴最简公分母x-3=0解得，x=3
当x=3时，3=2×（3-3）+m解得，m=3故选：B
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·九年级期末）方程的整数解的组数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】首先将原方程变形为：（x+y）2+2y2=34，可得x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，可得新方程2t2+y2=17，，求得此方程的整数解，即可求得答案．
【详解】把方程变形得：(x+y)2+2y2=34，
∵34与2y2是偶数，∴x+y必须是偶数，
设x+y=2t，则原方程变为：(2t)2+2y2=34，∴2t2+y2=17，
它的整数解为：，
∴当y=3，t=2时，x=1；
当y=3，t=?2时，x=?7；当y=?3，t=2时，x=7；当y=?3，t=?2时，x=?1．
∴原方程的整数解为：(1，3)，(?7，3)，(7，?3)，(?1，?3)，共4组．故选B．
【点睛】本题主要考查二元二次方程的整数解，熟练掌握完全平方公式以及等式的基本性质，对原方程进行变形化简，是解题的关键．
5．（2020·山东日照·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接求解一元一次不等式组即可排除选项．
【解析】解：不等式组，由①得：x≥1，由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为1≤x＜2．数轴上表示如图：，故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，熟练掌握求解不等式组的方法及在数轴上表示出不等式组解集是解题的关键．
6．（2020·云南昆明·中考真题）不等式组，的解集在以下数轴表示中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解析】解：，
∵解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集是﹣1＜x≤3，
在数轴上表示为：，故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
7．（2020·浙江丽水市·九年级期末）关于、的方程组的解是，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据方程组的解求出m，n的值，然后代入计算即可得出答案．
【详解】∵关于、的方程组的解是，
，解得
，
，故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解及代数式求值，掌握二元一次方程组的解的概念及绝对值的意义是解题的关键．
8．（2021·浙江温州市·九年级一模）若x、y满足方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据题意，直接由两个方程相减，即可得到答案．
【详解】解：由题意，由①②，得，∴；故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解方程组．
9．（2020·浙江九年级三模）已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的一个解；
②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；
④某直角三角形的两条直角边长分别为，，则其面积最大值为．
A．②③
B．①②④
C．③④
D．②③④
【答案】A
【分析】利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．
【详解】解：已知关于、的方程组，解得：，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是方程的一个解，不符合题意；
②当时，，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；
④某直角三角形的两条直角边长分别为，，时，其面积最大值为，与不符，不符合题意．故选：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．（2020·浙江温州市·九年级二模）我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组它的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【详解】∵方程组的解是
∴的解为∴故选：A
【点睛】本题是仿照已知方程组的解，求复杂方程组的解，不需要解方程，只需将和看成整体，即可简便求解．
11．（2020·浙江金华市·九年级期末）下列关于一元二次方程，说法正确的是（
）
A．方程配方变形为
B．方程的解为
C．关于的方程有实数根，则
D．方程的解为
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解法及一元二次方程根的判别式来判断即可
【详解】解：A.用配方法解方程，，，
∴，故A不正确；
B.用因式分解法解方程，，，∴，故B不正确；
C.∵
关于的方程有实数根，∴当a=0，时，，方程有实根，
当时，
，解得，
综上所述，若方程有实根时，则，故C正确；
D.解方程，，，
，
，故D不正确；故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，正确理解一元二次方程的解法是解本题的关键，解题时运用了分类讨论思想．
12．（2020·浙江杭州市·九年级其他模拟）实数x满足，则的值为(
)
A．3
B．0
C．3或0
D．
【答案】A
【分析】由，去分母可得：利用分组分解法可得：从而可得：从而可得答案．
【详解】解：，
经检验：符合题意．故选：
【点睛】本题考查的是解分式方程，利用因式分解的方法解高次方程，分式的求值，掌握分组分解法分解因式解方程是解题的关键．
13．（2020·浙江杭州市·八年级期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】常数项移到方程左边，两边都加上一次项系数一半的平方，最后再把左边写成完全平方式，右边化简即可．
【详解】解：∵
x2-2x-5=0∴
x2-2x=5∴
x2-2x+1=5+1∴
．故答案为：B．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．其关键是化二次项系数为1，算准一项系数一半的平方及用准完全平方公式．当一项系数为负时，用完全平方差公式；当一项系数为正时，用完全平方和公式
14．（2021·浙江温州市·九年级零模）我们知道方程的解是，，那么对于实数满足，则的值为（
）
A．5
B．
C．5或
D．或2
【答案】A
【分析】先设，则方程变为，根据题意可以得出或，保证有意义，得出正确结论即可．
【详解】解：设，则方程变为，依题意得：，，
∴或者
∵，∴舍去，∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母代替它，实行等量代换．
15．（2021·浙江湖州市·九年级一模）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】方程两边同乘以(x-3)即可解答
【详解】解：方程两边同乘以(x-3)得，故选：A．
【点睛】此题主要考查了解分式方程中的去分母，找出最简公分线是解答此题的关键．
16．（2021·杭州育才中学九年级二模）已知x＜y，则下列结论成立的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2
B．﹣2x＞﹣2y
C．3x+1＞3y+1
D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐一计算判断即可．
【详解】∵x＜y，∴x﹣2＜y﹣2，∴结论A不成立；∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，∴结论B成立；
∵x＜y，∴3x+1＜3y+1，∴结论C不成立；∵x＜y，∴，∴结论D不成立；故选B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟记性质，灵活判断是解题的关键．
17．（2021·重庆长寿区·九年级期末）如果关于的方程有正数解，且关于的方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数的值是（
）
A．-1
B．0
C．1
D．-1或1
【答案】A
【分析】先由分式方程的解为正数，求解的范围，再由一元二次方程有两个不相等的实数根，求解的范围，结合为整数，从而可得答案．
【详解】解：，去分母得：
因为方程有正数解，所以
＞
＜
又
综上：＜且
关于的方程有两个不相等的实数根，
＞
且
＞且
综上：＜＜且且
又因为为整数，
故选：
【点睛】本题考查的是分式方程的解及解分式方程，一元二次方程的定义及根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
18．（2021·山东枣庄东方国际学校九年级二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　）
A．7
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解：解分式方程﹣2＝，得：x＝，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，∴当a＝﹣1时，x＝-1；当a＝1时，x＝-2；
当a＝2时，x＝-4；当a＝4时，x＝4；当a＝5时，x＝2（不符合题意，故舍去）；
当a＝7时，x＝1；故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
19．（2021·重庆八中九年级月考）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数的值之和为（
）
A．6
B．10
C．11
D．15
【答案】C
【分析】先分别对不等式组以及分式方程进行求解，然后分别根据题意讨论参数的范围，最终确定出参数的范围，再找出整数求和即可．
【详解】对于不等式组，解得：，∵原不等式组无解，∴，∴；
对于分式方程，解得：，
∵原分式方程的解为非负数，∴，∴，
又∵对于原分式方程，∴，即：，∴的范围是：且，
∴符合条件的整数有：1，2，3，5，∴，故选：C．
【点睛】本题考查含参分式方程与不等式组的综合问题，讨论参数的取值范围时要注意对于不同的式子要有意义的条件．
20．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟）若不等式组有解，则a的取值范围是（　
　）
A．a＞－1
B．a≥－1
C．a≤1
D．a＜1
【答案】D
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找，确定a的取值范围是a＜1．
【详解】解：，由①得：x≥a，由②得：x＜1，
∵不等式组有解，∴a＜1，故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确解出两个不等式的解集，掌握确定不等式组解集的方法．
21．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知y和x的二次函数，当时，，当时，x恰为方程的根，则这个函数的解析式是__________．
【答案】y=8x2-8x-21
【分析】设这个方程的根为x1、x2，即当x=x1，x=x2时，y=3，可设抛物线解析式y=a（x2-x-3）+3，再将x=2，y=-5代入求a即可．
【详解】解：设方程的根为x1、x2，
则当x=x1，x=x2时，y=3，可设y=a（x2-x-3）+3，
把x=2，y=-5代入，得-5=a（22-2-3）+3，解得a=8，
所求函数为y=8（x2-x-3）+3，即y=8x2-8x-21，故答案为：y=8x2-8x-21．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程的根与二次函数图象上点的坐标的关系，巧妙地设二次函数解析式，用待定系数法求解析式．
22．（2020·浙江金华市·九年级其他模拟）对于实数p，q，我们用符号表示min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如：min{1，2}＝1，若min{x，2x﹣3}＝2，则x＝_____．
【答案】
【分析】根据题意得出两种情况，求出每个不等式的解集和一元一次方程的解，再判断是否符合即可．
【详解】解：∵min{x，2x﹣3}＝2，∴①x＝2，且x＜2x﹣3，x＝2且x＞3，此时不行；
②2x﹣3＝2且x＞2x﹣3，解得：x＝，此时符合；故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较法则，解一元一次不等式和解一元一次方程，能够求出符合的所有情况是解此题的关键．
23．（2021·浙江温州市·九年级一模）关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是________．
【答案】2
【分析】根据方程的解是，求得a，把a的值代入，转化为新的一元一次方程，求解即可
【详解】∵方程的解是，∴2a=a+1+6，解得a=7，
∴方程变形为：14（x-1）=8（x-1）+6，
∴6（x-1）=6，∴x-1=1，∴x=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其解法，灵活运用方程的解代入求值，转化为新方程求解是解题的关键．
24．（2021·浙江宁波市·九年级二模）关于x的不等式组无整数解，则a的取值范围为_____．
【答案】a≥2．
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组无整数解列出关于a的不等式求解即可
【详解】解：不等式组整理得：
不等式组的解集是：a＜x＜，
当a≥时，不等式组无解，∵不等式组无整数解，∴a≥2故答案为：a≥2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练掌握确定不等式组解集的方法．
25．（2021·浙江台州市·九年级一模）对于实数，定义运算“”如下：．例如：，则不等式的解集为_______．
【答案】x≥-5
【分析】直接根据题意写出不等式，然后进行求解即可．
【详解】解：∵∴
∴，解得x≥-5．故答案为x≥-5．
【点睛】本题主要考查了新定义运算和解一元一次不等式等知识点，根据新定义算法正确列出关于x的不等式成为解答本题的关键．
26．（2020·浙江九年级二模）一元二次方程x2=3x的解是：________．
【答案】x1=0，x2=3
【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】x2=3x
x2-3x=0，
x(x-3)=0，
x=0或x-3=0，
∴x1=0，x2=3．
故答案为x1=0，x2=3
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解
27．（2021·浙江温州市·九年级其他模拟）不等式组的解为________．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵∴∴，即故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解．
28．（2020·浙江金华市·九年级期末）解方程（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）x=2；（2）
【分析】(1)方程两边的乘以(x+1)(x-1)得出x(x+1)-
(x+1)(x-1)=3，求出方程的解，最后检验即可．
(2)方程组的两个方程中，用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
【详解】(1)解：方程两边的乘以(x+1)(x-1)得，
x(x+1)-
(x+1)(x-1)=3
x2+x-x2+1=3
x+1=3
x=2
检验：把x=2时代入(x+1)(x-1)≠0，
∴x=2是原分式方程的解．
(2)
解：①×3，②×4得
③-④得：7x=56
x=8
将x=8代入②得：
2×8+3y=1
16+3y=1
3y=-15
y=-5
∴是原方程组得解.
【点睛】(1)本题考查了解分式方程，关键是能把分式方程转化成整式方程，注意解分式方程一定要进行检验；(2)本题主要考查了解二元一次方程组，解题时注意：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
29．（2021·浙江杭州市·九年级一模）解方程：．
【答案】
【分析】两边都乘以x2-1)化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】解：两边都乘以x2-1，得2-(x+1)2=-(x-1)，解得，．
检验：当时，所以舍去．
所以是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验．
30．（2020·浙江杭州市·）解分式方程＝﹣2圆圆的解答如下：
解：去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2化简，得x＝4经检验，x＝4是原方程的解．
∴原方程的解为x＝4．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【答案】不正确，解答过程见解析
【分析】圆圆的解答有误，原因是去分母时没有乘以，也没检验．
【详解】解：圆圆的解答错误，
正确解答为：方程整理得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验是增根，分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验．
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