【浙江专版】备考2021中考数学专题复习学案 04 方程(组)、不等式（组）的应用（原版+解析版）

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2021年浙教版中考数学二轮复习04方程(组)、不等式（组）的应用
一、考点梳理
（一）列方程、不等式解应用题的一般步骤
列方程（组）解应用题中学数学联系突际的一个重要方面，其其体步骤是：
（1）审题．
（2）设元（未知数）．①直接未知数，②间接未知数
（3）用含未知数的代数式表示相关的量．
（4）寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出）列方程，一般地，未知数个数与方程个数是相同的．
（5）解方程及检验．（6）答案．
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致突际问题的解决（列方程、写出答案）．在这个过程中，列方程起着承前启后的作用．因此．列方程是解应用题的关键．
（二）常见的几种方程类型及等量关系
1、工程问题
（1）一般工程问题：工作量＝工作效率×工作时间；（2）总工作量为1（包括水池注水问题）
总工作量＝甲的工作量＋乙的工作量
甲的工作效率＋乙的工作效率＝甲乙合作的工作效率
2、行程问题
（1）相遇问题：快行距+慢行距=原距，即有：已走路程=甲的路程+乙的路程
（2）追及问题：快行距－慢行距=原距，即有：设甲速度快，
同时不同地：甲的时间=乙的时间，甲走的路程－乙走的路程=原来甲乙相距的路程
同地不同时：甲的时间=乙的时间－时间差，甲的路程=乙的路程
（3）
航行问题：
3、增长率问题：增长率＝×100％
降低率＝×100％
[来
公式1：
其中a为基数，x为增长率，n为增长次数，b为n次增长后到达数。若为降低则用减（—）。
公式2：。
4、商品利润问题：利润＝实际售价－进价
利润率＝×100％＝×100％
实际售价＝进价×（1＋利润率）
对于销售同一种商品，有下面两个公式
每件商品利润=售价－进价，商品总利润=每件商品利润×商品件数
二、解题方法
一、列方程解应用题的常用方法
（1）译式法：就是将题目中的关键性语句或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之同的内在联系找出等量关系。
（2）线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系．然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系．
（3）列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系．
（4）图示法：就是利用图表示题中的数量关系．它可以使量与量之间的关系更为直观．这种方法能帮助我们更好地理解题意．
用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出实际问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关系，方程组则需要两个等量关系．
二、分式方程的应用题
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验两次，既要检验求出来的根是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．
三、重要题型剖析
（一）对工程问题的考查．
1.（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米?
（2）我市计划修建长度为3600
m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.
5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天?
2．（2021·浙江温州市·九年级一模）在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进A，B两条生产线生产防护服．已知A生产线比B生产线每小时多生产4套防护服，且A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等．（1）求两条生产线每小时各生产防护服多少套？（2）因疫情期间，防护服的需求量急增，企业又引进C生产线．已知C生产线每小时生产24套防护服，三条生产线一天共运行了25小时，设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，a，b为正整数且不超过12．
①该企业防护服的日产量（用a，b的代数式表示）．②若该企业防护服日产量不少于440套，求C生产线运行时间的最小值．
3．（2021·浙江温州市·九年级零模）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用天，且甲队单独施工天和乙队单独施工天的工作量相同．甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？设先由甲队施工天，再由乙队施工天，刚好完成筑路任务，求与之间的函数关系式．在的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为万元，需付给乙队的筑路费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
（二）对行程问题的考查
1．（2021·浙江九年级专题练习）“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，杭州上塘高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·浙江杭州市·九年级一模）方方早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为分钟，那么可列出的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江宁波市·中考真题）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
（三）对增长率问题的考查
1.（2020·上海中考真题）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
2．（2021·合肥市第四十二中学九年级一模）据报道，安徽省2018年全省约为3万亿元，虽然2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省仍然达到约3.9万亿元．若2019年、2020年全省逐年增长，请解答下列问题：（1）求2019年、2020年安徽省全省年平均增长率；（2）如果2021年和2022年安徽省全省仍保持相同的平均增长率，请预测2022年全省能达到约多少万亿元？
3．（2021·湖北宜昌市·九年级一模）某小区放置了可回收垃圾桶和不可回收垃圾桶，垃圾处理站将可回收垃圾桶内的垃圾记为A类垃圾，将不可回收垃圾桶内的垃圾记为B类垃圾．该小区共有10栋楼，平均每栋楼每月产生12吨A类垃圾和4吨B类垃圾，每吨B类垃圾处理费是A类垃圾处理费的2倍，该小区每月A、B两类垃圾处理总费用为8000元．（1）求每吨A类垃圾处理费多少元？
（2）小区推广“垃圾分类”之后，居民分类放置垃圾的行为更加规范．在该小区每月产生的A、B两类垃圾总重量不变的情况下，B类垃圾的重量增加了a%，同时，垃圾处理站通过技术革新将A、B两类垃圾处理费分别降低了分别降低了a%和a%，这样，与之前相比，该小区每月A、B两类垃圾处理总费用就减少了a%，求a的值．
（四）对商品利润问题的考查
1.（2020·山东滨州市·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
2．（2020·浙江温州市·中考真题）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b；②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
3．（2021·内蒙古包头市·九年级一模）某水果店销售一种水果，经市场调查发现，这种水果的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，这种水果的进价为a（元/千克），日销售利润为w（元），当销售单价为14元，日销售利润为384元．
（1）求y关于x的函数关系式及a的值；（2）当这种水果的销售单价是多少时，日销售获得的利润最大？（3）若该水果店一次性购进这种水果550千克，这种水果的保质期为10天，按照（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批水果？请说明理由．
（五）对几何问题的考查
1．（2021·江苏扬州市·九年级一模）如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2.（2020·西藏中考真题）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
3．（2021·华中科技大学附属中学九年级一模）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园．
（1）若，设米．①当所围成的矩形菜园的面积为450平方米时，求所利用旧墙的长：②求矩形菜园面积的最大值；
（2）若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，求的值．
（六）对方案型问题的考查
1．（2021·山东济南市·九年级一模）某学校为了增强学生体质，加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买方案．
2．（2021·云南九年级一模）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件．（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元．请你指出共有几种运输方案，并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
3.（2020·湖北荆州市·中考真题）为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）
（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．
四、课后训练
1．（2021·浙江湖州市·九年级一模）为贯彻落实中央关于全面建成小康社会的部署，广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．某县2018年初统计贫困人口数有729人，经过两年的精准扶贫，2020年初贫困人口还有118人，设每年贫困人口的平均降低率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·浙江温州市·九年级一模）某童装店有几件不同款式的衣服，每件衣服的原价一样，6月1日儿童节那天，全场打7折，某宝妈在儿童节那天去购买该款式的衣服时发现：平时花350元购买到的衣服件数比现在少2件，设原价是x元，则根据题意可列出方程（　　）
A．＝
B．＝
C．﹣2＝
D．＝﹣2
3．（2021·浙江宁波市·九年级二模）某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有罐，则下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江杭州市·九年级一模）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（
）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0
B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C．
D．
5．（2021·河北九年级其他模拟）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为（
）．
A．9
B．8
C．6
D．4
6．（2021·甘肃天水市·九年级月考）全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动．甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行．甲乙两人之间的距离s（米）与他们出发后的时间t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快．由图象可知，甲、乙的速度分别是（　　）
A．80米/分，40米/分
B．80米/分，60米/分
C．60米/分，40米/分
D．120米/分，80米/分
7．（2021·河南南阳市·九年级一模）数学课上，李老师出示了明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．给出四种设未知数及列方程（组）的思路：①设有x人分银子，据题意得；②设所分银子有y两，据题意得；③设所分银子有t两，据题意得；④设有m人分银子，所分银子有n两，根据题意得，其中正确的是（
）
隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．（算法统宗）
A．①和②
B．①和③
C．②和④
D．③和④
8．（2021·北京人大附中九年级开学考试）某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出A、B、C三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下：A类年票：每张120元，持票入园无须再购票；
B类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元；
C类年票：每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元．
小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了C类年票，小华选择了A类年票，以下说法正确的是（　　）
A．小军的年入园需求可能是25次
B．小华的年入园次数需求多于小军
C．小华的年入园需求可能是25次
D．小华的年入园次数需求少于小军
9.（2020·吉林中考真题）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？
设快马天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
10．（2020·浙江金华市·九年级二模）2020
年新冠肺炎疫情影响全球各国感染人数持续攀升．医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来．长沙某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的1.5倍．两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求乙厂房每天生产多少箱口罩？设乙厂房每天生产x箱口罩，依题意可得方程为：_________________
11．（2021·浙江杭州市·九年级一模）到2020年末，我国高铁运营里程约为3.8万公里，超过世界高铁总里程的60%，现有某高铁平均速度提升50km/h后，行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，求提速后该高铁的平均速度_________km/h．
12．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
13．（2021·浙江台州市·九年级一模）一种笔记本售价为6.3元/本，若一次性购买超过20本，则让利优惠，所买笔记本每本均按元销售，要使让利后的销售额大于20本的销售额，则的取值范围为_______．
14．（2021·重庆九龙坡区·九年级一模）重庆市某服装厂配套生产一批校服，有领带、衬衫、丁恤三样．3月份，该厂家生产的领带、衬衫、丁恤的数量比是．进入4月份，春暖花开，气温上升，该厂家立刻又生产了一批这三样配套校服，其中衬衫增加的数量占总增加数量的，此时衬衫的总数量将达到三种服装总数量的，领带与T恤的数量比是．已知领带、衬衫、T恤这三样的成本价格分别是15元，60元，45元，厂家决定领带有作为促销礼物赠送，领带剩余部分按成本价格卖出，其余产品全部售出，最后三种服装的总利润率是50%，其中T恤的利润率为，则衬衫的售价是______．元．（附：利润率=（售价-成本）÷成本×100%）
15．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期末）小李和小张大学毕业后准备合伙开一家工作室创业．他们在某写字楼租了一间空高为3米的房间作办公地点（如图），准备装修后开始办公．小李和小张分别提出两套装修方案（如表格）．其中，每平方米木地板的裝修费用与每平方米木质吊顶的装修费用之和等于每平方米复合材料墙面的装修费用；每平方米地砖的装修费用与每平方米乳胶漆的装修费用之和等于每平方米木质墙面的装修费用，以上各项装修单价均为整数．每平方米木地板、木质墙面、木质吊顶的装修费用之和不少于600元；每平方米复合材料墙面比木质墙面的装修费用多，且差价不大于90元，不少于80元．经测算，小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元．若x，y均为整数，且满足y地面
墙面（含门窗）
房顶
小李
木地板
木质墙面
木质吊顶
小张
地砖
复合材料墙面
乳胶漆
16．（2020·浙江九年级其他模拟）新冠肺炎疫情爆发后，国内口罩需求激增，某地甲、乙两个工厂同时接到200万个一次性医用外科口罩的订单，已知甲厂每天比乙厂多生产2万个口罩，且甲厂生产50万个口罩所用的时间与乙厂生产40万个口罩所用的时间相同．
（1）求甲、两厂每天各生产多少万个一次性医用外科口罩．
（2）已知甲、乙两个工厂每天生产这种口罩的原料成本分别是4万元和3万元，若两个工厂一起生产这400万个口罩，生产一段时间后，乙停产休整，剩下订单由甲单独完成若本次生产过程中，原料总成本不超过156万元，那么两厂至少一起生产了多少天？
17．（2020·浙江嘉兴市·九年级二模）为了更好地做好复课准备，某班家委会讨论决定购买两种型号的口罩供班级学生使用，已知型口罩每包价格元，型口罩每包价格比型少4元，180元钱购买的型口罩比型口罩少12包．
（1）求的值；（2）经与商家协商，购买型口罩价格可以优惠，其中每包价格（元）和购买数量（包）的函数关系如图所示，型口罩一律按原价销售．①求关于的函数解析式；②若家委会计划购买型、型共计100包，其中型不少于30包，且不超过60包．问购买型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？
18．（2021·浙江宁波市·九年级二模）用21张长，宽的硬纸板，做长、宽、高分别是的长方体盒子（如图1），如图2，长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的矩形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线阴影部分表示．硬纸板有如图的三种裁剪方法（边角料不再利用）．方法：剪2个盒身；方法：剪1个盒身和5个底面；方法：剪2个盒身和1个底面（2个灰色部分拼成1个盒身）（1）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？
（2）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？
19．（2020·浙江温州市·九年级二模）某自行车经营店销售型，型两种品牌自行车，今年进货和销售价格如下表：(今年1年内自行车的售价与进价保持不变)
型车
型车
进货价格(元/辆)
1000
1100
销售价格(元/辆)
1500
今年经过改造升级后，型车每辆销售价比去年增加400元．已知型车去年1月份销售总额为3.6万元，今年1月份型车的销售数量与去年1月份相同，而销售总额比去年1月份增加．
（1）若设今年1月份的型自行车售价为元/辆，求的值？(用列方程的方法解答)
（2）该店计划8月份再进一批型和型自行车共50辆，且型车数量不超过型车数量的2倍，应如何进货才能使这批自行车获利最多？
（3）该店为吸引客源，准备增购一种进价为500元的型车，预算用8万元购进这三种车若干辆，其中型与型的数量之比为，则该店至少可以购进三种车共多少辆？
20．（2020·浙江中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一
甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二
乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
21．（2021·浙江九年级专题练习）某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方方形“图中阴影部分”区域摆放作品．
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽；
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为和．①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，试求的值，
22．（2020·浙江杭州市·九年级期末）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲?乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本?售价如下表：
（1）若该公司三月份的销售额为300万元，求生产甲?乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只?
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲?乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大?并求出最大利润．
型号价格（元/只）
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
23．（2021·温州外国语学校九年级其他模拟）为了推进现代化教育，教育局决定给某区每所中学配备n台电脑，每所小学配备m台电脑．现有甲、乙两家企业愿意捐赠其结对的学校所需的电脑（结对学校数的情况如下图），甲企业计划捐赠295台，乙企业计划捐赠305台．
型号
A
B
单价（元/台）
3000
2500
（1）求的值．（2）现两家企业决定在计划购买电脑总金额1650000元不变的情况下，统一购买两种型号电脑（单价如下表）．在实际购买时，商家给予打折优惠：两种型号电脑分别打a折和b折（都是整数），最后购进的电脑总数比计划多100台．求实际购买的两种型号电脑各多少台．
24．（2021·浙江宁波市·九年级一模）年是极不平凡的一年．面对突如其来的疫情，我国政府始终践行人民至上的理念，各地各校按照上级部署实行常态化严防严控，严格落实进校测体温的要求为了解学生进校测体温的工作情况，统计了一天上午学生进入学校的累计人数（人）与时间（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中表示）
时间（分钟）
人数（人）
（1）根据这分钟内学生进入学校的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式，并说明理由．（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有个，每个测温点每分钟检测人，学生按要求排队测温．①求排队人数最多时有多少人？②根据疫情防控要求，要保证在分钟内让学生随到随测做到不再排队等候，从一开始就应该至少增加几个测温点？
25．（2020·乐清市知临寄宿学校九年级期末）某玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入A玩具为x（件），B玩具为y（件）．（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨共购进A、B型玩具各多少件？（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
（3）为了增加玩具种类，张阿姨决定在1200元的基础上再增加投入，同时购进玩具A、B、C，已知玩具C批发价为每件25元，所购三种玩具全部售出，经核算，三种玩具的总利润相同，且A、C两种玩具的销量之和是玩具B销量的4.5倍，求玩具C每件的售价m元（直接写出m的值）．
26．（2020·浙江宁波市·九年级其他模拟）落实上级关于新型冠状病毒的肺炎疫情防控工作，某校计划给每个教师配备紫外线消毒灯和体温检测仪，已知：购买1台紫外线消毒灯和2个额温计需要1450元，购买2台紫外线消毒灯和1个额温计需要1700元．（1）求紫外线消毒灯和额温计的单价各为多少元？（2）根据学校实际情况，需要购买紫外线消毒灯和耳温计共计75件，总费用不超过38500元，请你通过计算，求至多可以购买紫外线消毒灯多少台？
27．（2020·温州市南浦实验中学九年级二模）疫情期间，烘焙成了人们宅家消磨时光的好方式．某厂家为迎合市场需求，用两种原料，按照不同的工艺生产出高筋、中筋、低筋三种面粉，生产每袋面粉所需原料的质量如下表所示：三种面粉每袋的原料成本分别为袋中两种原料的总价之和，若高筋面粉每袋的原料成本为60元，该厂家准备生产不超过100袋的三种面粉，且中筋和低筋面粉数量相等．（每千克的原料价格均为整数）
（1）1千克原料和1千克原斜的价格之和为_________元．
（2）求厂家生产三种面粉时所需原料的最大成本．
（3）若低筋面粉的原料成本比中筋面粉的原料成本多500元，则可生产低筋面粉多少袋？
所需原料面粉种类
原料（千克/袋）
原料（千克/袋）
高筋面粉
1.5
1.5
中筋面粉
2
1
低筋面粉
1
2
28．（2020·浙江宁波市·九年级一模）为推广劳动教育，美化校园环境，学校决定在农场基地铺设一条观景小道．经设计，铺设这条小道需A，B两种型号石砖共200块．已知：购买3块A型石砖，2块B型石砖需要110元；购买5块A型石砖，4块B型石砖需要200元．
（1）求A，B两种型号石砖单价各为多少元？
（2）已知B型石砖正在进行促销活动：购买B型石砖数量在60块以内（包括60块）时，不优惠；购买B型石砖数量超过60块时，每超过1块，购买的所有B型石砖单价均降0.05元，问：学校采购石砖，最多需要多少预算经费？
29．（2020·浙江九年级一模）某单位计划购进三种型号的礼品共件，其中型号礼品件，型号礼品比型号礼品多件．已知三种型号礼品的单价如下表：
型号
单价（元/件）
（1）求计划购进和两种型号礼品分别多少件?
（2）实际购买时，厂家给予打折优惠销售（如：
折指原价，在计划总价额不变的情况下，准备购进这批礼品．①若只购进两种型号礼品，且型礼品件数不超过型礼品的倍，求型礼品最多购进多少件?②若只购进两种型号礼品，它们的单价分别打折、折，均为整数，且购进的礼品总数比计划多件，求的值．
30．（2021·重庆潼南区·中考模拟）潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：
种植户
种植A类蔬菜面积
（单位：亩）
种植B类蔬菜面积
（单位：亩）
总收入
（单位：元）
甲
3
1
12500
乙
2
3
16500
说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．（1）求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？（2）某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案．
2021年浙教版中考数学二轮复习04方程(组)、不等式（组）的应用
一、考点梳理
（一）列方程、不等式解应用题的一般步骤
列方程（组）解应用题中学数学联系突际的一个重要方面，其其体步骤是：
（1）审题．
（2）设元（未知数）．①直接未知数，②间接未知数
（3）用含未知数的代数式表示相关的量．
（4）寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出）列方程，一般地，未知数个数与方程个数是相同的．
（5）解方程及检验．（6）答案．
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致突际问题的解决（列方程、写出答案）．在这个过程中，列方程起着承前启后的作用．因此．列方程是解应用题的关键．
（二）常见的几种方程类型及等量关系
1、工程问题
（1）一般工程问题：工作量＝工作效率×工作时间；（2）总工作量为1（包括水池注水问题）
总工作量＝甲的工作量＋乙的工作量
甲的工作效率＋乙的工作效率＝甲乙合作的工作效率
2、行程问题
（1）相遇问题：快行距+慢行距=原距，即有：已走路程=甲的路程+乙的路程
（2）追及问题：快行距－慢行距=原距，即有：设甲速度快，
同时不同地：甲的时间=乙的时间，甲走的路程－乙走的路程=原来甲乙相距的路程
同地不同时：甲的时间=乙的时间－时间差，甲的路程=乙的路程
（3）
航行问题：
3、增长率问题：增长率＝×100％
降低率＝×100％
[来
公式1：
其中a为基数，x为增长率，n为增长次数，b为n次增长后到达数。若为降低则用减（—）。
公式2：。
4、商品利润问题：利润＝实际售价－进价
利润率＝×100％＝×100％
实际售价＝进价×（1＋利润率）
对于销售同一种商品，有下面两个公式
每件商品利润=售价－进价，商品总利润=每件商品利润×商品件数
二、解题方法
一、列方程解应用题的常用方法
（1）译式法：就是将题目中的关键性语句或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之同的内在联系找出等量关系。
（2）线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系．然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系．
（3）列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系．
（4）图示法：就是利用图表示题中的数量关系．它可以使量与量之间的关系更为直观．这种方法能帮助我们更好地理解题意．
用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出实际问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关系，方程组则需要两个等量关系．
二、分式方程的应用题
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验两次，既要检验求出来的根是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．
三、重要题型剖析
（一）对工程问题的考查．
1.（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米?
（2）我市计划修建长度为3600
m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.
5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天?
【答案】（1）甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米；（2）至少安排乙队施工32天．
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，根据甲工程队修500米公路需要的天数=乙工程队修500米公路需要的天数－5即可列出分式方程，解方程并检验后即得答案；
（2）设安排乙队施工y天，根据甲工程队施工费用+乙工程队施工费用≤40万元即可列出不等式，解不等式即可求出y的范围，进而可得结果．
【详解】解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，
根据题意，得，解得：x=50，
经检验：x=50是所列方程的根，2x=100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）设安排乙队施工y天，根据题意，得，
解得：，所以y最小为32．
答：至少安排乙队施工32天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等和不等关系是解题的关键．
2．（2021·浙江温州市·九年级一模）在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进A，B两条生产线生产防护服．已知A生产线比B生产线每小时多生产4套防护服，且A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等．（1）求两条生产线每小时各生产防护服多少套？（2）因疫情期间，防护服的需求量急增，企业又引进C生产线．已知C生产线每小时生产24套防护服，三条生产线一天共运行了25小时，设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，a，b为正整数且不超过12．
①该企业防护服的日产量（用a，b的代数式表示）．②若该企业防护服日产量不少于440套，求C生产线运行时间的最小值．
【答案】（1）A生产线每小时生产防护服16套，B生产线每小时生产防护服12套；（2）8
【分析】（1）设B生产线每小时生产防护服x套，则A生产线每小时生产防护服（x+4）套，根据A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等列分式方程解答；
（2）①将每条生产线的生产效率乘以时间相加即可得到答案；
②设C生产线运行c小时，由题意得，解得，根据a，b为正整数且不超过12，求得或或或，得到c的值．
【详解】解：（1）设B生产线每小时生产防护服x套，则A生产线每小时生产防护服（x+4）套，
由题意得，解得x=12，经检验，x=12是原方程的解，∴x+4=16，
答：A生产线每小时生产防护服16套，B生产线每小时生产防护服12套；
（2）①日产量为（a，b为正整数且不超过12）；
②设C生产线运行c小时，由题意得，解得，
∵a，b为正整数且不超过12，∴或或或，
∴c=25-2-12=11或c=10或c=9或c=8，∴C生产线运行时间的最小值8．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，列代数式，不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
3．（2021·浙江温州市·九年级零模）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用天，且甲队单独施工天和乙队单独施工天的工作量相同．甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？设先由甲队施工天，再由乙队施工天，刚好完成筑路任务，求与之间的函数关系式．在的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为万元，需付给乙队的筑路费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
【答案】
甲队天，乙队天；；当甲、乙两队都做天时，最少万元．
【分析】（1）设甲队单独完成此项任务需要天，则乙队单独完成此项任务需要天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；
由甲乙完成的工作量之和为，列函数关系式，变形可得答案，设甲队安排天，利用总天数不超过天，列不等式求解的范围，再列出总费用的的关系式，利用一次函数的性质可得答案．
【详解】解：设甲队单独完成需要天，则乙队单独完成需要天，由题意得：
，
经检验：是原方程的根，则
甲队单独完成需要天，则乙队单独完成需要天．
由题意得：
设甲队安排天，则乙队安排天，
解得：
又总费用
时，即甲乙都安排天，总费用最少，此时，总费用万元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质的应用，掌握以上知识是解题的关键．
（二）对行程问题的考查
1．（2021·浙江九年级专题练习）“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，杭州上塘高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设提速前车辆平均速度为xkm/h，根据题意可得等量关系：提速前行驶22km所用时间﹣提速后行驶22km所用时间＝小时，然后列出方程即可．
【详解】解：设提速前车辆平均速度为xkm/h，由题意得：
﹣，故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
2．（2021·浙江杭州市·九年级一模）方方早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为分钟，那么可列出的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设他推车步行的时间为分钟，骑自行车上学时间为（15-）分钟，利用等量关系步行路程+骑自行车路程=2900列方程即可．
【详解】解：设他推车步行的时间为分钟，骑自行车上学时间为（15-）分钟，
根据题意得：80x+250（15-）=2900,变形得：250（15-x
）=2900-80x,．故选择：A．
【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，掌握列一元一次方程的方法，关键是抓住步行路程+骑自行车路程=2900．
3．（2020·浙江宁波市·中考真题）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时
【分析】（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式；（2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可．
【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得
，解得：
，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；
（2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h）
∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），当y＝200﹣80＝120
时，
120＝80x﹣128，解得x＝3.1，5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握待定系数法，并求出函数解析式，根据题意正确列出一元一次不等式．
（三）对增长率问题的考查
1.（2020·上海中考真题）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点睛】本题考查一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021·合肥市第四十二中学九年级一模）据报道，安徽省2018年全省约为3万亿元，虽然2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省仍然达到约3.9万亿元．若2019年、2020年全省逐年增长，请解答下列问题：（1）求2019年、2020年安徽省全省年平均增长率；（2）如果2021年和2022年安徽省全省仍保持相同的平均增长率，请预测2022年全省能达到约多少万亿元？
【答案】（1）14%；（2）5.07．
【分析】（1）设2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率为x，根据2018年及2020年的GDP，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2022年的GDP=2020年的人均收入×（1+增长率）2，即可求出结论．
【详解】解：（1）2019年、2020年安徽省全省年平均增长率为x，
依题意得：；解得：，（不合题意，舍去）
∴2019年、2020年安徽省全省年平均增长率为14%；
（2）；
∴可以预测2021年全省能达到约5.07万亿元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2021·湖北宜昌市·九年级一模）某小区放置了可回收垃圾桶和不可回收垃圾桶，垃圾处理站将可回收垃圾桶内的垃圾记为A类垃圾，将不可回收垃圾桶内的垃圾记为B类垃圾．该小区共有10栋楼，平均每栋楼每月产生12吨A类垃圾和4吨B类垃圾，每吨B类垃圾处理费是A类垃圾处理费的2倍，该小区每月A、B两类垃圾处理总费用为8000元．（1）求每吨A类垃圾处理费多少元？
（2）小区推广“垃圾分类”之后，居民分类放置垃圾的行为更加规范．在该小区每月产生的A、B两类垃圾总重量不变的情况下，B类垃圾的重量增加了a%，同时，垃圾处理站通过技术革新将A、B两类垃圾处理费分别降低了分别降低了a%和a%，这样，与之前相比，该小区每月A、B两类垃圾处理总费用就减少了a%，求a的值．
【答案】（1）40；（2）40．
【分析】（1）每吨A类垃圾处理费为x元，则每吨B类垃圾处理费为2x元，根据该小区每月A、B两类垃圾处理总费用为8000元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据处理垃圾的总费用=每吨垃圾的处理费用×该类垃圾的吨数，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）设每吨A类垃圾处理费为x元，则每吨B类垃圾处理费为2x元，
依题意，得：10×（12x+4×2x）=8000，解得：x=40．
答：每吨A类垃圾处理费为40元．
（2）依题意，得：40（1-a%）×10×[12+4-4（1+a%）]+40×2（1-a%）×10×4（1+a%）=8000（1-a%），
整理，得：2a-0.05a2=0，解得：a1=40，a2=0（不合题意，舍去），答：a的值为40．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（四）对商品利润问题的考查
1.（2020·山东滨州市·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大
【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；（2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【详解】解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克.
设每千克水果售价为元，由题意，得
即整理，得
配方，得解得
当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元
设月销售利润为元，每千克水果售价为元，
由题意，得即
配方，得
，当时，有最大值
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．
2．（2020·浙江温州市·中考真题）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b；②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
【答案】（1）300件；（2）①；②3900元；
【分析】（1）设3月份购进T恤x件，则该单价为元，4月份购进T恤2x件，根据等量关系，4月份数量是3月份的2倍可得方程，解得方程即可求得；
（2）①甲乙两家各150件T恤，甲店总收入为，乙店总收入为，甲乙利润相等，根据等量关系可求得ab关系式；②根据题意可列出乙店利润关于a的函数式，由以及①中的关系式可得到a的取值范围，进而可求得最大利润.
【详解】（1）设3月份购进T恤x件，
由题意得：，解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，符合题意，
∵4月份是3月份数量的2倍，∴4月份购进T恤300件；
（2）①由题意得，甲店总收入为，
乙店总收入为，
∵甲乙两店利润相等，成本相等，∴总收入也相等，
∴=，
化简可得，∴用含a的代数式表示b为：；
②乙店利润函数式为，
结合①可得，
因为，，∴，∴=3900，即最大利润为3900元.
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作出等量关系列出方程，根据利润得出函数式，根据未知数范围进行求解．
3．（2021·内蒙古包头市·九年级一模）某水果店销售一种水果，经市场调查发现，这种水果的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，这种水果的进价为a（元/千克），日销售利润为w（元），当销售单价为14元，日销售利润为384元．
（1）求y关于x的函数关系式及a的值；（2）当这种水果的销售单价是多少时，日销售获得的利润最大？（3）若该水果店一次性购进这种水果550千克，这种水果的保质期为10天，按照（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批水果？请说明理由．
【答案】（1），；（2）13元；（3）能，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解可得，根据“日销售利润=单件利润×日销售量”列出方程求出a即可求解；（2）根据“日销售利润=单件利润×日销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值；（3）求出在(2)中情况下，求出日销售量56千克，据此求得10天的总销售量，比较即可得出答案.
【详解】（1）设y关于x的函数关系式为，
将和代入，得解得
∴y关于x的函数关系式为．由图可得，，解得．
（2）∵，
∴当这种水果的销售单价是13元时，日销售获得的利润最大．
（3）能，理由：∵按照（2）中日获得最大利润销售，
由（1）得日销售量（千克），
∴．∴该水果店能销售完这批水果．
【点睛】本题主要考查一次函数的解析式，一元一次方程，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质.
（五）对几何问题的考查
1．（2021·江苏扬州市·九年级一模）如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可．
【详解】解：根据题意得：；??故答案为：．故选C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键．
2.（2020·西藏中考真题）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
【答案】30m，20m
【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．
3．（2021·华中科技大学附属中学九年级一模）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园．
（1）若，设米．①当所围成的矩形菜园的面积为450平方米时，求所利用旧墙的长：②求矩形菜园面积的最大值；
（2）若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，求的值．
【答案】（1）①10米；②；（2）
【分析】（1）①根据矩形的面积公式可得关于x的一元二次方程求解即可；②根据矩形的面积公式可得S关于x的二次函数，将其写出顶点式即可求解；（2）根据题意先得出木栏增加2a米后S关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得矩形菜园ABCD面积的最大值为时的x的值，进而得到关于a的一元二次方程，求解并根据问题的实际意义作答即可；
【详解】（1）①依题意有：，解得：，，
∵米，∴，答：AD长为10米；
②由题意得：，
∵，图象开口向下，∴当时，S有最大值，
最大值为：（平方米）；
（2）由题意得：，
∵，图象开口向下，对称轴为直线，
当时，S随x的增大而增大，而，
∴当x最大为a时，S有最大值为2800，∴，
解得：，（舍）；∴；
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．
（六）对方案型问题的考查
1．（2021·山东济南市·九年级一模）某学校为了增强学生体质，加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买方案．
【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元；（2）共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m根跳绳，则购买（54?m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．
【详解】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：，解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元；
（2）设购买m根跳绳，则购买（54?m）个毽子，
依题意，得：，解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
2．（2021·云南九年级一模）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件．（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元．请你指出共有几种运输方案，并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资；（2）共有3种运输方案．当有6辆大货车，4辆小货车时，费用最少，最少费用为42000元
【分析】（1）设1辆大货车一次满载运输x箱物资，1辆小货车一次满载运输y箱物资，由“2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件”可列方程组，解方程组即可；（2）设有a辆大货车，辆小货车，由“运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元”可列不等式组，可求整数a的值，继而即可求解．
【详解】解：（1）设1辆大货车一次满载运输x箱物资，1辆小货车一次满载运输y箱物资，
由题意可得：，解得：，
答：1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资．
（2）设有a辆大货车，辆小货车，
由题意可得：∴，∴整数；
设总费用为w元
∵，∴w随a的增大而增大，∴当时，元．
答：共有3种运输方案．当有6辆大货车，4辆小货车时，费用最少，最少费用为42000元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，列二元一次方程组解决实际问题的运用，解题的关键是求出两种货车的载货量．
3.（2020·湖北荆州市·中考真题）为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）
（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．
【答案】（1）200吨，300吨；（2），甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）10．
【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；
（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）根据题意以及（2）的结论可得y=-4x+11000-500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
【详解】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨；
则解得：
答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
（2）如图，甲、乙两厂调往两地的数量如下：
当x=240时运费最小
所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨．
(3)由（2）知：
当x=240时，
，
所以m的最小值为10．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解．
四、课后训练
1．（2021·浙江湖州市·九年级一模）为贯彻落实中央关于全面建成小康社会的部署，广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．某县2018年初统计贫困人口数有729人，经过两年的精准扶贫，2020年初贫困人口还有118人，设每年贫困人口的平均降低率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据该地区2018年初及2020年初贫困人口的数量，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，
依题意得：，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021·浙江温州市·九年级一模）某童装店有几件不同款式的衣服，每件衣服的原价一样，6月1日儿童节那天，全场打7折，某宝妈在儿童节那天去购买该款式的衣服时发现：平时花350元购买到的衣服件数比现在少2件，设原价是x元，则根据题意可列出方程（　　）
A．＝
B．＝
C．﹣2＝
D．＝﹣2
【答案】D
【分析】设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，利用数量＝总价÷单价，结合平时花350元购买到的衣服件数比现在少2件，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，
依题意得：2．故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．（2021·浙江宁波市·九年级二模）某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有罐，则下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】关键描述语：“结果比用原价多买了4罐；等量关系为：
实际买每罐价格-促销每罐价格=0.5．
【详解】解：原价每罐元，经过促销，每罐元，方程可表示为：，
故答案为：B．
【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意促销前后商品的单价的变化．
4．（2020·浙江杭州市·九年级一模）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（
）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0
B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得种植的树木的数量为（7x+9）棵，再根据关键语句“每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵”列出不等式组即可．
【详解】解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：
，故选：C．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，关键根据题意设出未知数，然后得出相应的不等式组即可．
5．（2021·河北九年级其他模拟）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为（
）．
A．9
B．8
C．6
D．4
【答案】A
【分析】先根据幻方的定义补充数据，然后再列一元一次方程求解即可．
【详解】解：根据幻方的定义补充数据如下：
所以2+m+4=15，解得m=9．故选A．
【点睛】本题主要考查了幻方的定义以及一元一次方程的应用，找准等量关系、列出一元一次方程成为解答本题的关键．
6．（2021·甘肃天水市·九年级月考）全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动．甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行．甲乙两人之间的距离s（米）与他们出发后的时间t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快．由图象可知，甲、乙的速度分别是（　　）
A．80米/分，40米/分
B．80米/分，60米/分
C．60米/分，40米/分
D．120米/分，80米/分
【答案】C
【分析】根据题意，步行10分钟后甲原路返回，此时两人相距200米，可得他们的速度差为20米∕分，设乙的速度为x米∕分，根据2分钟后两人相遇列出方程，解之即可解答．
【详解】解：根据题意，甲每分钟比乙快200÷10=20（米），
设乙的速度为x米∕分，则甲的速度为（x+20）米∕分，
则2x+2(x+20)=200，解得：x=40，40+20=60（米∕分），
答：甲、乙的速度分别是60米/分，40米/分，故选：C．
【点睛】本题考查一元一次函数的应用、函数的图象，解答的关键是理解题型，能从图象中获取有效信息列出方程．
7．（2021·河南南阳市·九年级一模）数学课上，李老师出示了明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．给出四种设未知数及列方程（组）的思路：①设有x人分银子，据题意得；②设所分银子有y两，据题意得；③设所分银子有t两，据题意得；④设有m人分银子，所分银子有n两，根据题意得，其中正确的是（
）
隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．（算法统宗）
A．①和②
B．①和③
C．②和④
D．③和④
【答案】A
【分析】根据题意和一元一次方程，二元一次方程组的定义对各个选项进行分析得出答案即可．
【详解】解：①设有x人分银子，据题意得则表示第一种分法的总人数，表示第二种分法的总人数，两次总人数是一样的，故，此说法正确；
②设所分银子有y两，据题意得表示第一次参与分银子的人数，表示第二次参与分银子的人数，两次总人数是一样的，故，此说法正确；
③设所分银子有t两，据题意得，由②得结论可以判断此说法错误；
④设有m人分银子，所分银子有n两，根据题意得此说法错误；
故正确答案为①②，故选A．
【点睛】本题主要考查学生对一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于理清题意和熟练相关的知识点．
8．（2021·北京人大附中九年级开学考试）某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出A、B、C三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下：A类年票：每张120元，持票入园无须再购票；
B类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元；
C类年票：每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元．
小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了C类年票，小华选择了A类年票，以下说法正确的是（　　）
A．小军的年入园需求可能是25次
B．小华的年入园次数需求多于小军
C．小华的年入园需求可能是25次
D．小华的年入园次数需求少于小军
【答案】B
【分析】需分类计论，设入园次数为x次，则购A类票所需费用为120元；购B类票所需费用为（60+2x）元；购C类票所需费用为（40+3x）元，通过计算分别算出当x为多少时哪种购票方式更合算，再对选项逐一判断即可．
【详解】解：设入园次数为x次，则购A类票所需费用为120元；购B类票所需费用为（60+2x）元；购C类票所需费用为（40+3x）元，则依题意得：
①当（60+2x）>120时，即x>30时，选A种购票方式更合算；
②当x=30时，A，B两种购票方式一样；
③当（40+3x）>60+2x且（60+2x）>120时，即30>x>20时，选B种购票方式更合算；
④当x=20时，B，C两种购票方式一样；
⑤当（40+3x）<60+2x时，即x<20时，选C种购票方式更合算；
所以，如果小军的年入园需求可能是25次，那么小军应选B种购票方式更合算，而题中已知小军选的是C种购票方式，故A错误；
因为小华选了A种购票方式，故小华的入园次数最多并且应多于30次，故B选项正确，C选项错误；
小华的入园次数一定大于或等于30次，而小军的入园次一定小于等于20次，故小华的入园次数一定大于小军的入园次数，故D选项错误．故选B．
【点睛】本题主要考查了不等式的应用，方案选择问题，对问题进行分类讨论是解题的关键．
9.（2020·吉林中考真题）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？
设快马天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
【答案】（240-150）x=150×12
【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：题中已设快马x天可以追上慢马，
则根据题意得：（240-150）x=150×12．
故答案为：（240-150）x=150×12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2020·浙江金华市·九年级二模）2020
年新冠肺炎疫情影响全球各国感染人数持续攀升．医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来．长沙某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的1.5倍．两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求乙厂房每天生产多少箱口罩？设乙厂房每天生产x箱口罩，依题意可得方程为：_________________
【答案】
【分析】由乙厂房每天生产x箱口罩可得出甲厂房每天生产1.5x箱口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵乙厂房每天生产x箱口罩，∴甲厂房每天生产1.5x箱口罩．
依题意，得：．故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．（2021·浙江杭州市·九年级一模）到2020年末，我国高铁运营里程约为3.8万公里，超过世界高铁总里程的60%，现有某高铁平均速度提升50km/h后，行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，求提速后该高铁的平均速度_________km/h．
【答案】350
【分析】设这次列车提速后的平均速度为，利用行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，列方程即可求出答案．
【详解】解：设这次列车提速后的平均速度为，则列车提速前的平均速度为，．
由题意列方程得，解得，经检验得是原方程的解．
∴这次列车提速后的平均速度为km/h．故答案为：350．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
12．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
【答案】
【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，，故答案为：
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
13．（2021·浙江台州市·九年级一模）一种笔记本售价为6.3元/本，若一次性购买超过20本，则让利优惠，所买笔记本每本均按元销售，要使让利后的销售额大于20本的销售额，则的取值范围为_______．
【答案】．
【分析】若一次性购买超过m本，
，根据题意列不等式，，
确定解集即可
【详解】解：若一次性购买超过m本，
列不等式得：，∴∴∴故答案为：
【点睛】本题考查不等式应用题，掌握列不等式解应用题的方法与步骤是解题关键
14．（2021·重庆九龙坡区·九年级一模）重庆市某服装厂配套生产一批校服，有领带、衬衫、丁恤三样．3月份，该厂家生产的领带、衬衫、丁恤的数量比是．进入4月份，春暖花开，气温上升，该厂家立刻又生产了一批这三样配套校服，其中衬衫增加的数量占总增加数量的，此时衬衫的总数量将达到三种服装总数量的，领带与T恤的数量比是．已知领带、衬衫、T恤这三样的成本价格分别是15元，60元，45元，厂家决定领带有作为促销礼物赠送，领带剩余部分按成本价格卖出，其余产品全部售出，最后三种服装的总利润率是50%，其中T恤的利润率为，则衬衫的售价是______．元．（附：利润率=（售价-成本）÷成本×100%）
【答案】107
【分析】适当引进未知数，化比值为含有未知数的代数式表示，运用方程的思想求解
【详解】设生产前，共有服装件，则领带有件，衬衫有件，T恤有件，设总共增加了件服装．则∴
∵衬衫占总数量的，领带与T恤的数量比是，∴领带占总数量的，T恤占总数量的，
∴生产后共件服装，衬衫为，领带为，T恤为
设衬衫利润为元，T恤利润为元，则
T恤的利润率为，
∴∴，∴衬衫的售价为：．
【点睛】本题考查了销售中的利润问题，灵活运用方程思想，把生活问题转化为数学的方程模型求解是解题的关键．
15．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期末）小李和小张大学毕业后准备合伙开一家工作室创业．他们在某写字楼租了一间空高为3米的房间作办公地点（如图），准备装修后开始办公．小李和小张分别提出两套装修方案（如表格）．其中，每平方米木地板的裝修费用与每平方米木质吊顶的装修费用之和等于每平方米复合材料墙面的装修费用；每平方米地砖的装修费用与每平方米乳胶漆的装修费用之和等于每平方米木质墙面的装修费用，以上各项装修单价均为整数．每平方米木地板、木质墙面、木质吊顶的装修费用之和不少于600元；每平方米复合材料墙面比木质墙面的装修费用多，且差价不大于90元，不少于80元．经测算，小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元．若x，y均为整数，且满足y地面
墙面（含门窗）
房顶
小李
木地板
木质墙面
木质吊顶
小张
地砖
复合材料墙面
乳胶漆
【答案】
【分析】设每平方米木地板a元，木制吊顶b元，地砖m元，乳胶漆n元，则复合材料墙面元，木质墙面元，根据题意列出不等式组，得到，根据“小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元”列式即可求解．
【详解】解：设每平方米木地板a元，木制吊顶b元，地砖m元，乳胶漆n元，
则复合材料墙面元，木质墙面元，
根据题意可得，解得，
小李的总花费，
小张的总花费，
∴，
∵，∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的实际应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
16．（2020·浙江九年级其他模拟）新冠肺炎疫情爆发后，国内口罩需求激增，某地甲、乙两个工厂同时接到200万个一次性医用外科口罩的订单，已知甲厂每天比乙厂多生产2万个口罩，且甲厂生产50万个口罩所用的时间与乙厂生产40万个口罩所用的时间相同．
（1）求甲、两厂每天各生产多少万个一次性医用外科口罩．
（2）已知甲、乙两个工厂每天生产这种口罩的原料成本分别是4万元和3万元，若两个工厂一起生产这400万个口罩，生产一段时间后，乙停产休整，剩下订单由甲单独完成若本次生产过程中，原料总成本不超过156万元，那么两厂至少一起生产了多少天？
【答案】（1）乙厂每天生产8万个口罩，甲厂每天生产10万个；（2）两厂至少一起生产了20天．
【分析】（1）设乙厂每天生产x万个口罩，则甲厂每天生产（x+2）万个，根据甲厂生产50万个口罩所用的时间与乙厂生产40万个口罩所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设两厂一起生产了a天，甲一共生产b天，根据原料总成本不超过156万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】（1）设乙厂每天生产x万个口罩，则甲厂每天生产（x+2）万个，
由题意可得：，解得：x=8，
经检验得：x=8是原方程的根，故x+2=10（万个），
答：乙厂每天生产8万个口罩，甲厂每天生产10万个；
（2）设两厂一起生产了a天，甲一共生产b天，由题意可得：
，解方程得：，
代入得：，
答：两厂至少一起生产了20天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
17．（2020·浙江嘉兴市·九年级二模）为了更好地做好复课准备，某班家委会讨论决定购买两种型号的口罩供班级学生使用，已知型口罩每包价格元，型口罩每包价格比型少4元，180元钱购买的型口罩比型口罩少12包．
（1）求的值；（2）经与商家协商，购买型口罩价格可以优惠，其中每包价格（元）和购买数量（包）的函数关系如图所示，型口罩一律按原价销售．①求关于的函数解析式；②若家委会计划购买型、型共计100包，其中型不少于30包，且不超过60包．问购买型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？
【答案】（1）；（2）①当时，；当时，；当时，；②当购买型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元
【分析】（1）由总价÷每包单价=包数，根据“180元钱购买的型口罩比型口罩少12包”，列分式方程即可求解；（2）由图像信息可得函数关系，其中当时，与之间满足一次函数关系，由待定系数法即可求解，（3）设型口罩购买包，分两种情况讨论，当和时，求出购买口罩的总金额与型口罩包数的函数关系，并利用函数的性质求解．
【详解】解：（1）根据题意可得：．
解得，，经检验，是原方程的解，
但不符合题意，舍去．∴．
（2）①根据图像信息得：当时，．
当时，与之间满足一次函数关系，
设函数表达式为．取点，
代入得，解得．∴．
当时，．
综上所述：当时，；当时，；当时，．
②设型口罩购买包，则型口罩为包，购买两种口罩的总金额为元．
（Ⅰ）当，，
当时，取最大值722.5，当时，取最小值700元，
∴当时，．
（Ⅱ）当时，由题意得，，随的增大而增大，
∴．综上：当购买型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数、二次函数的应用，解题的关键是根据型口罩包数与单价关系分类分情况讨论．
18．（2021·浙江宁波市·九年级二模）用21张长，宽的硬纸板，做长、宽、高分别是的长方体盒子（如图1），如图2，长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的矩形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线阴影部分表示．硬纸板有如图的三种裁剪方法（边角料不再利用）．方法：剪2个盒身；方法：剪1个盒身和5个底面；方法：剪2个盒身和1个底面（2个灰色部分拼成1个盒身）（1）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？
（2）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？
【答案】（1）30个；（2）31个．
【分析】（1）设张硬纸板用方法，则张用方法，根据长方形的性质及底面的个数关系列一元一次方程即可解题；（2）根据题意，由盒底与盒身的数量关系解题．
【详解】解：（1）设张硬纸板用方法，则张用方法，则
∴，∴．
答：最多可以做30个盒子．
（2）一张用方法，一张用方法，可以做3个盒子，这样算一组21张纸共有10组，可以做30个盒子，还剩一张做方法可以做1个盒子，故一共可以做31个盒子．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找出等量关系是解题关键．
19．（2020·浙江温州市·九年级二模）某自行车经营店销售型，型两种品牌自行车，今年进货和销售价格如下表：(今年1年内自行车的售价与进价保持不变)
型车
型车
进货价格(元/辆)
1000
1100
销售价格(元/辆)
1500
今年经过改造升级后，型车每辆销售价比去年增加400元．已知型车去年1月份销售总额为3.6万元，今年1月份型车的销售数量与去年1月份相同，而销售总额比去年1月份增加．
（1）若设今年1月份的型自行车售价为元/辆，求的值？(用列方程的方法解答)
（2）该店计划8月份再进一批型和型自行车共50辆，且型车数量不超过型车数量的2倍，应如何进货才能使这批自行车获利最多？
（3）该店为吸引客源，准备增购一种进价为500元的型车，预算用8万元购进这三种车若干辆，其中型与型的数量之比为，则该店至少可以购进三种车共多少辆？
【答案】（1）今年1月份的型自行车售价为1200元；（2）型进17辆，型进33辆时获利最多；（3）该店至少可以共购进92辆．
【分析】（1）设今年1月份的型自行车售价为元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设购买型自行车辆，根据型车数量不超过型车数量的2倍列出不等式求出a的范围，再列出W和a的关系式，据此求出W的最大值即可；（3）设购进型辆，则型辆，型辆，列出n和a的方程，解出，得到当时，最小值为92.
【详解】解：（1）设今年1月份的型自行车售价为元，
则去年行自行车售价为元．
根据题意，得，解得：，
经检验，是所列分式方程的解，∴今年1月份的型自行车售价为1200元；
（2）设购买型自行车辆，则型自行车辆，解得：，且为整数
所以利润
因为，所以随的增大而减小，
∴当时，即型进17辆，型进33辆时获利最多．
（3）设购进型辆，则型辆，型辆，
根据题意，得：解得：，
因为，所以，且为整数，
因为为整数，所以为5的倍数，∴当时，最小值为92，
答：该店至少可以共购进92辆.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的实际应用，二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，列出相应的关系式.
20．（2020·浙江中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一
甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二
乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；（2）①乙车间需临时招聘5名工人；②选择方案一能更节省开支．
【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可；②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答．
【详解】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
，解得．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
=，解得m=5．
经检验，m=5是原方程的解，且符合题意，∴乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：=18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）．
∵17700＜18000，∴选择方案一能更节省开支．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
21．（2021·浙江九年级专题练习）某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方方形“图中阴影部分”区域摆放作品．
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽；
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为和．①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，试求的值，
【答案】（1）小长方形的长和宽分别为20米、5米；（2）①1个小长方形周长与大长方形周长之比是；②．
【分析】（1）设小长方形的长和宽分别为米、米，根据大长方形的长和宽可建立二元一次方程组，然后解方程即可得；（2）①先参照题（1）的方法，建立一个二元一次方程组，然后结合长方形的周长公式，解方程即可得；②先根据面积公式可得与的等式关系，再根据①建立的方程组，代入求解即可得．
【详解】（1）设小长方形的长和宽分别为米、米
则解得
答：小长方形的长和宽分别为20米、5米；
（2）①设小长方形的长和宽分别为米、米
则
①②得
则1个小长方形周长与大长方形周长之比为，即1个小长方形周长与大长方形周长之比是；
②由题意得：
由①建立的方程组可得：
化简得，即．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，还涉及到整体代换的数学思想．依据图形，正确建立方程组是解题关键．
22．（2020·浙江杭州市·九年级期末）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲?乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本?售价如下表：
（1）若该公司三月份的销售额为300万元，求生产甲?乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只?
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲?乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大?并求出最大利润．
型号价格（元/只）
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
【答案】（1）生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是15万只和5万只；（2）安排生产甲种型号的防疫口罩17万只，乙种型号的防疫口罩3万只，最大利润为108万元．
【分析】（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，由“某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只和该公司三月份的销售收入为300万元”列出方程组，可求解；
（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20-a）万只，利润为w万元，由“四月份投入成本不超过216万元”列出不等式，可求a的取值范围，找出w与a的函数关系式，由一次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，
由题意可得：，解得：，
答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分