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2020-2021学年高二人教A版数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程常考题2
一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．(本题3分)（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二月考（理））已知坐标平面上的两点和，动点到A、两点距离之和为常数2，则动点的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．线段
【答案】D
【分析】
依题意得到，即判断动点在线段上运动，即得结果.
【详解】
由题意可知，与的距离为，而动点到A、两点距离之和为常数2，即，故动点在线段上运动，即动点的轨迹是线段.
故选：D.
2．(本题3分)（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的点，，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设，根据题意在直角三角形解出，得到，即求得.
【详解】
设，因为，所以，
所以，故．
故选：D.
3．(本题3分)（2021·上海普陀区·高三二模）设，则双曲线的焦点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
确定双曲线的焦点位置，求出的值，即可得出双曲线的焦点坐标.
【详解】
，则，，所以，双曲线的标准方程为，
所以该双曲线的焦点在轴上，且，，则，
因此该双曲线的焦点坐标为.
故选：B.
4．(本题3分)（2021·上海高三二模）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“友善点”，那么下列结论中正确的是（
）
A．直线上的所有点都是“友善点”
B．直线上仅有有限个点是“友善点”
C．直线上的所有点都不是“友善点”
D．直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”
【答案】A
【分析】
设，由，表示点B的坐标，再由A，B都在抛物线上，转化为关于x的方程，利用判别式法判断.
【详解】
设，
因为，
所以
，
因为A，B都在抛物线上，
所以
，
消去n得
，
因为，
所以方程恒有实数解，
故选：A
5．(本题3分)（2021·四川省内江市第六中学高二月考（理））已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.当的面积为时，则的值为（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据顶点和离心率求得椭圆方程，椭圆与直线联立求得两交点间的关系，然后把三角形面积用交点坐标表示出来，即可求得参数k.
【详解】
由知椭圆焦点在x轴上，故，，椭圆方程为
设，则B在直线上，，
联立，化简得
则，
则的面积为
解得
故选：C.
【点睛】
方法点睛：联立直线方程与圆锥曲线方程，把问题转化为使用韦达定理表示的关系，从而解得参数问题.
6．(本题3分)（2021·江西上饶市·高三二模（理））双曲线：的右焦点为，和为双曲线上关于原点对称的两点，且在第一象限.连结并延长交双曲线于点，连结，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据对称关系可知四边形为平行四边形，设，利用双曲线定义可用表示出，在中，利用余弦定理可构造方程得到之间关系；在中，利用余弦定理可化简得到关于的齐次方程，由此求得离心率.
【详解】
关于原点对称且为中点，四边形为平行四边形，
又为等边三角形，，；
设，由双曲线定义知：，，
在中，由余弦定理得：，
即，解得：；
在中，由余弦定理得：，
即，，解得：.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够根据长度关系，利用余弦定理构造关于的齐次方程，从而求得离心率的大小.
7．(本题3分)（2021·湖南高三月考）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于点，且，，则（
）
A．3
B．2
C．4
D．6
【答案】A
【分析】
过作于，过作于，利用抛物线定义及可求解.
【详解】
解：如图，设准线为，与轴交点为H，过作于，过作于.
，
是的中点，所以.
在中，
，
，即.
在中，
，，
，且，
，即，解得.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：涉及抛物线上的点到焦点的距离，常结合抛物线的定义与简单几何性质求解.
8．(本题3分)（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.
【详解】
由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
9．(本题3分)（2021·江苏南通市·高三月考）在平面直角坐标系中，点，分别是双曲线：(，)的左，右焦点，过点且与直线：垂直的直线交的右支于点，设直线上一点(在第二象限)满足，且，则双曲线的离心率的值为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】
设直线的方程为，设，，由化为数量积为0得，再根据可得，从而得，代入双曲线方程即可求解离心率．
【详解】
由题意可知，设直线的方程为，则设，，
因为，，且，所以，
即，解得，所以，所以，
，，则
，即
，解得，所以，
因为点在双曲线上，所以代入双曲线方程可得，，即，解得，，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键在于利用数量积为0建立坐标方程式求得参数，从而求得离心率．
10．(本题3分)（2021·浙江高三专题练习）已知点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为，则抛物线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由已知得，设，，，求得，，进而得到，从而求得，利用，求点坐标，代入抛物线方程即可求解.
【详解】
由题意可知过所作圆的两条切线关于直线对称，所以，
设，，，则，
同理可得，，
则，得，得，
所以，故，
将代入抛物线方程，得，得，故抛物线方程为．
故选：A
【点睛】
结论点睛：本题考查圆的切线的对称性，及抛物线的性质，有关抛物线的重要结论：过抛物线上任意一点（不与原点重合）作两条倾斜角互补的直线，分别交抛物线于点，，连接，则．
二、认真填一填（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆，若两定点的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为___________.
【答案】.
【分析】
建立平面直角坐标系，根据，求得点的轨迹方程，结合圆的面积公式，即可求解.
【详解】
以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，
因为两定点的距离为3，可得，
设，因为动点满足，可得，
整理得，即，
所以点的轨迹围成区域的面积为.
故答案为：.
12．(本题3分)（2021·湖南娄底市·高三月考）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则__________.
【答案】
【分析】
由椭圆的光学性质得到直线平分，可得，然后可算出答案.
【详解】
由椭圆的光学性质得到直线平分，所以，
由，得到，故
故答案为：
13．(本题3分)（2020·全国高二课时练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上不同于A1，A2的任意一点，若与的面积之比为，则双曲线C的离心率为__．
【答案】
【分析】
根据与的面积之比为，可得，列关于的等式，即可求解出离心率.
【详解】
设双曲线的半焦距为，因为与的面积之比为，
可得，即，所以.
故答案为：．
14．(本题3分)（2021·江西鹰潭市·高三二模（文））已知抛物线的焦点为圆的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线线C于A、B两点，则______.
【答案】16
【分析】
求出圆心，可求出p=2，得到直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式即可求解.
【详解】
圆的圆心为（0,1）可得：，即，所以抛物线.
∵直线的倾斜角为60°，∴斜率，故直线AB的方程：.
联立直线与抛物线,可得：，
设，则有，
则.
故答案为：16
【点睛】
求圆锥曲线的弦长：
（1）“设而不求法”，利用弦长公式求弦长，这是求弦长的一般方法；
（2）特别的：圆中求弦长用垂径定理；抛物线求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式：
15．(本题3分)（2021·湖南高三月考）已知双曲线：的左?右焦点分别为，，过作直线分别与双曲线及其一条渐近线交于，两点，且，若是等腰三角形，且，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
设出点的坐标，结合等腰三角形的性质，根据两点间距离公式，求出点的坐标，代入双曲线渐近线方程中，最后求出离心率.
【详解】
设，因为，所以为的中点.因为，所以.
因为是等腰三角形，且，所以.
由，可得，.因为点在渐近线上，
所以，平方整理得，
即，故离心率.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：利用等腰三角形的性质结合已知求出点的坐标是解题的关键.
16．(本题3分)（2021·浙江舟山市·高二期末）已知为椭圆上两点，线段的中点在圆上，则直线在轴上截距的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
设，，中点，直线：，代入椭圆方程消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理求出，，即可求出，用表示，再将其代入中，看成关于的方程由二次函数根的分布即可求的范围.
【详解】
设直线：，，，中点，
由
可得：，即，
所以，，
，
所以，，
因为点在圆上，
所以，整理可得：，
设，则在有解，
所以
，整理得：，
解得：或，
①对称轴，解得：或，此时方程在一定有解；
②由，可得或，
综上所述：或
所以直线在轴上截距的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：设直线：，，，中点，将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可以将，用表示，再将，代入圆的方程看成关于的方程由解即可.
17．(本题3分)（2021·福建龙岩市·高二期末）已知抛物线：的焦点恰好是双曲线的右焦点，且与的交点的连线过点，设双曲线的渐近线的斜率为，则的值为___________.
【答案】
【分析】
设与交点为.则轴，由焦点重合可得，求得，可得，平方后化简，结合换元法可得的值，进而可得答案.
【详解】
设与交点为.则轴
，∴，∴，
时可得，
由得
∴，∴
∴
∴
令∴
∴∴
∴
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中“共焦点”问题，能考查两种曲线的性质，是高考命题的热点，此类题目综合性较强，解答过程一定注意应用曲线的定义，同时要根据两种曲线的性质，挖掘隐含条件.
三、全面答一答（本题共6小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．(本题7分)（2020·四川绵阳市·绵阳中学高二月考（理））已知圆经过点，圆心在直线上，直线被圆截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若点，动点在圆上运动，点是坐标原点，以，为两边作平行四边形，求动点的轨迹．
【答案】（1）；（2）动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆且除去两点和．
【分析】
（1）根据圆的弦长公式进行求解即可；
（2）根据平行四边形的向量性质，结合点在圆上运动进行求解即可.
【详解】
解：（1）由已知可设圆心，圆心到直线的距离为，
则，，
于是，整理得，解得．
∴圆心为，，
∴圆的标准方程为．
（2）∵四边形为平行四边形，∴，
设点，，
则由可得，，
∴，即，
若，，共线，
∵直线的方程为，
联立，可解得或
∴此时，，
于是可得和．
又当与共线时，，，，不能构成平行四边形，
故动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆且除去两点和．
19．(本题7分)（2021·湖南高三月考）已知椭圆：长轴的顶点与双曲线：实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为.
（1）求与的方程；
（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且经过点，与交于，两点，与交于，两点，求.
【答案】（1）椭圆的方程为，双曲线的方程为；（2）.
【分析】
（1）根据条件分别求出，便可求得的方程；
（2）先根据条件求出直线的斜率，进而求得的方程，将的方程分别与的方程联立，用弦长公式分别求出，，相比可得结果.
【详解】
解：（1）因为椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，
所以，①
双曲线的渐近线为，即，
所以右焦点到渐近线的距离为，②
又，③
由①②③解得，，
所以椭圆的方程为，双曲线的方程为.
（2）设直线倾斜角为，则，
所以，
所以直线的方程为，
设，，，，
联立，得，
所以，，
所以，
联立，得，
所以，，
所以，
所以.
20．(本题8分)（2021·山东高三专题练习）已知椭圆的离心率，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于两点．
①求证：直线的斜率为定值；
②求面积的最大值（其中为坐标原点）．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.
【分析】
（1）由离心率、椭圆过点和椭圆关系可求得，由此得到椭圆方程；
（2）①由直线与圆相切可知两直线斜率满足，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得和，由两点连线斜率公式整理可得定值；
②设，与椭圆方程联立后可得韦达定理的形式，利用弦长公式和点到直线距离公式表示出和，由，结合基本不等式可求得最大值，验证后可得结果.
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为，由得：，
过点，，又，解得：，，
椭圆方程为：；
（2）①由题意知：两直线的斜率存在，设为，设，，
直线与圆相切，，
直线的方程为，
联立方程组得：，
为直线与椭圆的交点，，
同理可得：当与椭圆相交时，，
，而，
直线的斜率，即直线的斜率为定值；
②设直线的方程为，
联立方程组得：，
，解得：，
，，
，
又原点到直线的距离，
（当且仅当时取等号），
当时，满足，且存在使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点，
面积的最大值为.
【点睛】
思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；
④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.
21．(本题8分)（2021·上海杨浦区·高三二模）焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点.
（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；
（2）是轴上一定点.
若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围；
（3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4
，求线段的长.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据抛物线的定义求出点的坐标，然后就可以求斜率；
（2）根据两点间的距离公式表达出，再根据满足最值的条件就可以求出的范围；
（3）讨论所在的位置，再结合面积建立等式就可以求出.
【详解】
（1），，∴
∴
，
所以
.
（2）由得
，∴
设，则
，
由题意最大，所以对称轴，
∴.
（3）是的圆心
.设
（i）若都位于上，则，(舍)
（ii）若都位于上，则
①
②
将①式代入②式，得：
或
代入①得：或
（舍）
（iii）若分别位于与上，
则，得
∴，∴
综上：.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键一是抛物线定义的使用，二是恒成立时，取最值的条件，三是要分类讨论，并要做正确的取舍.
22．(本题9分)（2021·浙江台州市·高三二模）已知点为椭圆的左焦点，记点到直线的距离为，且.
（?）求动点的轨迹方程；
（??）过点作椭圆的两条切线PA，PB，设切点分别为，连接AF，BF.
（i）求证：直线PA方程为；
（ii）求证：AF⊥FB．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）设出点坐标，利用列方程，化简求得的轨迹方程.
（Ⅱ）（i）将的坐标代入椭圆方程，由此判断直线经过点，联立直线与椭圆，计算得，由此确定直线方程为.
（ii）求得直线的方程，由此求得直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，计算，由此证得.注意判断直线斜率不存在的情况也满足.
【详解】
（Ⅰ）设点，
由，，
化简得，
所以点轨迹方程为；
（Ⅱ）（i）点在椭圆上，得，
所以直线经过点，
由
消去，得，
又
得，
由，
直线与椭圆只有一个公共点，
所以直线方程为；
（ii）设点，由（i）知直线方程为，
同理，直线方程为，
得所以直线方程为，
当时，由
得，
，，
又，
所以；
当时，直线方程为，，，
，；
综上，.
【点睛】
要证明两条直线垂直，可利用向量计算两条直线的方向向量的数量积为零，由此来证得两条直线垂直.
23．(本题10分)（2021·全国高三专题练习）设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F距离；
（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，．
【分析】
（1）方法一：设出点坐标，根据两点间距离公式求解出的值，
方法二：根据抛物线的定义，即可求得的值；
（2）根据抛物线的性质，求得点坐标，即可求得的中点坐标，即可求得直线的方程，代入抛物线方程，即可求得点坐标，则的面积可求；
（3）设坐标，根据求得直线的方程和点坐标，再根据求得点坐标，则根据可求得点坐标.
【详解】
解：（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；
法二：由题意设，由抛物线的性质可知：，∴；
（2），，，，则，
∴，∴，设的中点，
∴，，则直线方程：，
联立，整理得：，解得：，（舍去），
∴的面积；
（3）存在，设，，则且，∴，
直线方程为，∴，，
又因为四边形为矩形，所以，则，
∴，解得：，即，
∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．
【点睛】
关键点点睛：解答本题第三问的关键在于利用矩形的两个特点去分析问题：（1），由此可知，利用坐标完成计算；（2）平行四边形法则，由此可知向量关系式.
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一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．(本题3分)（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二月考（理））已知坐标平面上的两点和，动点到A、两点距离之和为常数2，则动点的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．线段
2．(本题3分)（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的点，，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
3．(本题3分)（2021·上海普陀区·高三二模）设，则双曲线的焦点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
4．(本题3分)（2021·上海高三二模）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“友善点”，那么下列结论中正确的是（
）
A．直线上的所有点都是“友善点”
B．直线上仅有有限个点是“友善点”
C．直线上的所有点都不是“友善点”
D．直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”
5．(本题3分)（2021·四川省内江市第六中学高二月考（理））已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.当的面积为时，则的值为（
）.
A．
B．
C．
D．
6．(本题3分)（2021·江西上饶市·高三二模（理））双曲线：的右焦点为，和为双曲线上关于原点对称的两点，且在第一象限.连结并延长交双曲线于点，连结，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．(本题3分)（2021·湖南高三月考）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于点，且，，则（
）
A．3
B．2
C．4
D．6
8．(本题3分)（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．(本题3分)（2021·江苏南通市·高三月考）在平面直角坐标系中，点，分别是双曲线：(，)的左，右焦点，过点且与直线：垂直的直线交的右支于点，设直线上一点(在第二象限)满足，且，则双曲线的离心率的值为（
）
A．
B．
C．
D．2
10．(本题3分)（2021·浙江高三专题练习）已知点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为，则抛物线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、认真填一填（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆，若两定点的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为___________.
12．(本题3分)（2021·湖南娄底市·高三月考）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则__________.
13．(本题3分)（2020·全国高二课时练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上不同于A1，A2的任意一点，若与的面积之比为，则双曲线C的离心率为__．
14．(本题3分)（2021·江西鹰潭市·高三二模（文））已知抛物线的焦点为圆的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线线C于A、B两点，则______.
15．(本题3分)（2021·湖南高三月考）已知双曲线：的左?右焦点分别为，，过作直线分别与双曲线及其一条渐近线交于，两点，且，若是等腰三角形，且，则双曲线的离心率为___________.
16．(本题3分)（2021·浙江舟山市·高二期末）已知为椭圆上两点，线段的中点在圆上，则直线在轴上截距的取值范围为__________.
17．(本题3分)（2021·福建龙岩市·高二期末）已知抛物线：的焦点恰好是双曲线的右焦点，且与的交点的连线过点，设双曲线的渐近线的斜率为，则的值为___________.
三、全面答一答（本题共6小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．(本题7分)（2020·四川绵阳市·绵阳中学高二月考（理））已知圆经过点，圆心在直线上，直线被圆截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若点，动点在圆上运动，点是坐标原点，以，为两边作平行四边形，求动点的轨迹．
19．(本题7分)（2021·湖南高三月考）已知椭圆：长轴的顶点与双曲线：实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为.
（1）求与的方程；
（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且经过点，与交于，两点，与交于，两点，求.
20．(本题8分)（2021·山东高三专题练习）已知椭圆的离心率，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于两点．
①求证：直线的斜率为定值；
②求面积的最大值（其中为坐标原点）．
21．(本题8分)（2021·上海杨浦区·高三二模）焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点.
（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；
（2）是轴上一定点.
若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围；
（3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4
，求线段的长.
22．(本题9分)（2021·浙江台州市·高三二模）已知点为椭圆的左焦点，记点到直线的距离为，且.
（?）求动点的轨迹方程；
（??）过点作椭圆的两条切线PA，PB，设切点分别为，连接AF，BF.
（i）求证：直线PA方程为；
（ii）求证：AF⊥FB．
23．(本题10分)（2021·全国高三专题练习）设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F距离；
（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
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