人教A版2019必修二立体几何之点线面的位置关系课后练习（含解析）

人教A版2019必修二立体几何之点线面的位置关系课后练习
一、单选题（共8题；共40分）
1.已知 α ， β 表示不同平面，则 α//β 的充分条件是（??? ）
A.?存在直线 a ， b ，且 a,b?α ， a//β ， b//β
B.?存在直线 a ， b ，且 a?α ， b?β ， a//β ， b//α
C.?存在平面 γ ， α⊥γ ， β⊥γ
D.?存在直线 a,a⊥α ， a⊥β
2.在空间中，下列命题是真命题的是（??? ）
A.?经过三个点有且只有一个平面
B.?平行于同一平面的两直线相互平行
C.?如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D.?如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
3.已知下列四个命题，其中真命题的个数为（??? ）
①空间三条互相平行的直线 a ， b ， c ，都与直线 d 相交，则 a ， b ， c 三条直线共面；②若直线 m⊥ 平面 α ，直线 n// 平面 α ，则 m⊥n ；③平面 α∩ 平面 β= 直线 m ，直线 a// 平面 α ，直线 a// 平面 β ，则 a//m ；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
4.若直线 l 与平面 α 不平行，且直线 l 也不在平面 α 内，则 （??? ）
A.?α 内不存在与 l 异面的直线?????????????????????????????????B.?α 内存在与 l 平行的直线
C.?α 内存在唯一的直线与 l 相交?????????????????????????????D.?α 内存在无数条与 l 垂直的直线
5.已知m，n表示两条不同的直线， α,β 表示两个不同的平面，且 m⊥α,n?β ，则“ α⊥β ”是“ m//n ”的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
6.已知 α ， β ， γ 为三个互不重合的平面，l为一条直线，则下列命题中错误的是（??? ）
A.?l//α ， l⊥β?α⊥β?????????????????????????????????????B.?α⊥γ ， β// γ?α⊥β
C.?α⊥γ ， β⊥γ?α⊥β????????????????????????????????????D.?l⊥α ， β∩γ=l?α⊥β
7.设l为一条直线， α,β 是两个不同的平面，下列命题正确的是（??? ）
A.?若 α⊥β,l//α ，则 l⊥β
B.?若 l//α ， l//β ，则 α//β
C.?若 l⊥α,l⊥β ，则 α//β
D.?若 l⊥α,l//β ，则 α//β
8.已知m，n为两条不同的直线， α，β 是两个不同的平面，给出下列4个命题：
① m⊥n,m//α?n⊥α ；② n//β,β⊥α?n⊥α ；③ m//n,m⊥β?n⊥β ；④ m//α,n⊥α?m⊥n .其中所有真命题的序号是（??? ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?②④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?③④
二、多选题（共4题；共14分）
9.对于两条不同直线 m,n 和两个不同平面 α,β ，下列选项中正确的为（??? ）
A.?若 m⊥α,n⊥β,α⊥β ，则 m⊥n??????????????????B.?若 m//α,n//β,α⊥β ，则 m⊥n 或 m//n
C.?若 m//α,α//β ，则 m//β 或 m?β??????????????D.?若 m⊥α,m⊥n ，则 n//α 或 n?α
10.设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是（??? ）
A.?若m∥l，且m⊥α，则l⊥α????????????????????????????????B.?若m∥l，且m∥α，则l∥α
C.?若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n??????D.?若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m
11.已知 m,?n 表示直线， α,?β 表示平面，下列正确的是（???? ）
A.?α//β,?m?α,?n?β?m//n??????????????????????????B.?α⊥β,?n//α,?m⊥β?n⊥m
C.?m//n,m⊥α?n⊥α??????????????????????????????????????D.?m//n,?m//α?n//α 或 n?α
12.下列说法正确的是（???? ）
A.?若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直
B.?若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行
C.?垂直于同一直线的两条直线相互平行
D.?若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直
三、填空题（共4题；共20分）
13.
14.已知 α，β 是两个不同的平面， l，m 是两条不同的直线， l⊥α，m?β .给出下列命题：
① α//β?l⊥m ；② α⊥β?l//m ；③ m//α?l⊥β ；④ l⊥β?m//α .
其中正确的命题是________.
15.已知平面 α ， β ，直线 l ，若 α//β ， l?α ，则直线 l 与平面 β 的位置关系为________.
16.若 P∈l ， P∈α ， Q∈l ， Q?α ，则直线l与平面 α 有________个公共点；
四、解答题（共4题；共40分）
17.???????????
（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：
①直线 l 在平面 α 内；
②直线m不在平面 α 内；
③直线m与平面 α 交于点A；
④直线l不经过点A.
（2）如图，在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中， E 为棱 BB1 的中点，F为棱 CC1 的三等分点，画出由 D1,E,F 三点所确定的平面 β 与平面 ABCD 的交线.(保留作图痕迹)
18.如图,四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA⊥ 底面 ABCD , AB=PA=1 , AD=3 , F,F 分别为棱 PD,PA 的中点.
（1）求证: B 、 C 、 E 、 F 四点共面；
（2）求异面直线 PB 与 AE 所成的角.
19.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别是 AA1 、 AB 的中点，
（1）证明点E、F、C、 D1 共面
（2）证明 D1E 、 DA 、 CF 三线交于一点
20.已知平面 α 与平面 β 的交线为直线 l ， m 为平面 α 内一条直线； n 为平面 β 内一条直线，且直线 l,m,n 互不重合.
（1）若直线 m 与直线 n 交于点 P ，判断点 P 与直线 l 的位置关系并证明；
（2）若 m//n ，判断直线 l 与直线 m 的位置关系并证明.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】对于A中，只有当 a 与 b 相交才满足条件，所以A不正确；
对于B中，当 a//b 时，此时 α 不一定平行 β ，所以B不正确；
对于C中，根据垂直同一平面的两个平面不一定平行，可得若 α⊥γ,β⊥γ ，则平面 α 不一定平行 β ，所以C不正确；
对于D中，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得若 a⊥α,a⊥β ，则 α//β ，所以D符合题意.
故答案为：D.

【分析】 根据题意由平面与平面平行的判定判断A；举例说明B、C错误；由直线与平面垂直的性质判断D，由此得到答案。
2.【答案】 D
【解析】【解答】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，A不符合题意；
平行于同一平面的两直线可能相交，B不符合题意；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，C不符合题意；
如果两个相交平面 α,β 垂直于同一个平面 γ ，且 α∩β=l ，则在平面 α 、 β 内分别存在直线 m,n 垂直于平面 γ ，由线面垂直的性质可知 n//m ，再由线面平行的判定定理得 m//β ，由线面平行的性质得出 m//l ，则 l⊥γ ，D符合题意；
故答案为：D

【分析】 由平面的基本性质判定A；由平行于同一平面的两直线的位置关系判定B；由等角定理判定C；直接证明D正确．
3.【答案】 C
【解析】【解答】①若 a ， b ， c 三条直线不共面，由平行的直线 a ， b 与直线 d 相交，即 a ， b 、 d 共面，而 b ， c 平行，则 c 、 d 不可能相交，与题设矛盾，正确；
② n// 面 α ，若 l? 面 α 且 n//l ，又 m⊥ 面 α 即 l⊥m ，则 n⊥m ，正确；
③过直线 a 作面 γ ，若面 γ/ 面 β ，面 γ∩ 面 α=l ，而 a// 面 α ，则有 l/ 面 β ， a//l ，又面 α∩ 面 β= m ，即 l//m ，所以 a//m ，正确；
④垂直于同一平面的两个平面不一定平行，错误；
故答案为：C.

【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．
4.【答案】 D
【解析】【解答】对于A，如下图长方体中， α 内存在与 l 异面的直线 a ，错误；
对于B，如果 α 内存在与 l 平行的直线 a ，则 l//a ，由于 l?α ， a?α ，
所以 l//α ，与已知直线 l 与平面 α 不平行矛盾，错误；
对于C， 如下图长方体中， α 内直线 a、b 与 l 都相交，错误；
对于D，如下图，设 l∩α=A ，在 α 内过A点做与 l 垂直的直线 a ， α 内可以做无数条与直线 a 平行，且都与 l 垂直，正确.
故答案为：D.

【分析】利用空间中线线，线面，面面间的位置关系逐项进行判断，即可得出答案。
5.【答案】 B
【解析】【解答】若 m//n ，则由 m⊥α ，可知 n⊥α ，又 n?β ，故 α⊥β
若 m⊥α,n?β ， α⊥β ，则 m ， n 位置关系不确定.
“ α⊥β ”是“ m//n ”的必要不充分条件
故答案为：B

【分析】根据题意由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理即可得出n⊥α以及α⊥β ， 再由线面和面面垂直的性质定理不能得出m ， n 的唯一位置关系，结合充分必要条件的定义即可得出结果。
6.【答案】 C
【解析】【解答】对于A， l//α ， l⊥β ，则 α⊥β ，正确；
对于B， α⊥γ ， β// γ ，则 α⊥β ，正确；
对于C， α⊥γ ， β⊥γ ，则 α,β 可以相交，可以平行，错误；
对于D， β∩γ=l?l?β ，又 l⊥α ，由面面垂直的判定定理可得 α⊥β ，正确；
故答案为：C

【分析】根据题意由空间里平面与平面的位置关系结合面面垂直的定义以及判定定理对选项逐一判断即可得出答案。
7.【答案】 C
【解析】【解答】对于A， 如下图正方体中， α⊥β,l//α ， l//β ，不一定 l⊥β ，错误；
对于B，如下图正方体中，若 l//α ， l//β ， α⊥β ，不一定 α//β ，错误；
对于C， 若 l⊥α,l⊥β ，由线面垂直的性质判断 α//β ，正确；
对于D， 如下图正方体中，若 l⊥α,l//β ， α⊥β ，不一定 α//β ，错误.
故答案为：C.

【分析】 根据题意选项A中，l与β相交、平行或l?β；选项B中，α与β相交或平行；选项C中，α与β相交或平行；选项D中，由面面平行的判定定理得α∥β；由此即可得出答案。
8.【答案】 D
【解析】【解答】对①，若 m⊥n,m//α ，则 n 与 α 平行、相交或在平面内，故①错误；
对②，若 n//β,β⊥α ，则 n 与 α 平行、相交或在平面内，故②错误；
对③，若 m//n,m⊥β ，则由线面垂直的性质可得 n⊥β ，故③正确；
对④，若 m//α,n⊥α ，则 m⊥n ，故④正确.
故答案为：D.

【分析】根据线面平行和垂直的判定定理和性质，即可得出答案。
二、多选题
9.【答案】 A,C,D
【解析】【解答】若 m⊥α,n⊥β ， m 的方向向量是 α 的法向量， n 的方向向量是 β 的法向量， α⊥β ，则 α,β 的方向向量垂直，所以 m 的方向向量与 n 的方向向量垂直，则 m⊥n ，A符合题意；
若 m//α,n//β,α⊥β ， m,n 可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B不符合题意；
若 m//α,α//β ，则 m//β 或 m?β ， m 与 β 不相交，C符合题意；
若 m⊥α,m⊥n ，则 n//α 或 n?α ， n 与 α 不相交，D符合题意．
故答案为：ACD．

【分析】利用已知条件结合线线垂直的判断方法、线线平行的判断方法、线面平行的判定定理合直线与平面的位置关系判断方法，进而找出选项正确的选项。
10.【答案】 A,D
【解析】【解答】A. 若m∥l，且m⊥α，则l⊥α,A符合题意；
B. 直线l可能平行于α也可能在α内，B不符合题意；
C. 直线l，m，n可能平行也可能相交于一点，C不符合题意；
D.因为 n//β ， n?α ， α∩β=m ，所以 n//m ，同理， n//l ，所以 l//m ，D符合题意.
故答案为：AD

【分析】利用空间中的线线，线面，面面间的位置关系即可得到答案。
11.【答案】 C,D
【解析】【解答】对A项，若 α//β,?m?α,?n?β ，则m与n可能异面或平行，A不符合题意；
对B项，若 α⊥β,?n//α,?m⊥β ，则 m 与 n 可能异面，平行，相交，B不符合题意；
对C项，由线面垂直的性质可得，若 m//n,m⊥α ，则 n⊥α ，C符合题意；
对D项，当 m//n,?m//α 时，根据线面平行的判定定理可知，若 n 在平面 α 外，则 n//α ，若 n 在平面 α 内，则 n?α ，D符合题意；
故答案为：CD
【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.
12.【答案】 A,D
【解析】【解答】对A项，由面面垂直的判定定理可得，A符合题意；
对B项，由面面平行的判定定理可知，当这两条直线平行时，这两个平面不一定平行，B不符合题意；
对C项，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，C不符合题意；
对D项，根据面面垂直的性质定理可知，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】由面面垂直的判定定理以及性质判断AD，由面面平行的判定定理判断B，由直线与直线的位置关系判断C.
三、填空题
13.【答案】 ②④
【解析】【解答】在如图所示的正方体中，
直线 共点 ，此时三条直线不在同一平面内， 为真命题；
平面 、 和 两两相交，但交线 不互相平行， 为假命题；
设直线 为直线 ，平面 为平面 ，则 ；设直线 为直线 ，此时 ，且 ， 为假命题；
不共线的三点确定唯一的一个平面， 若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合，即 为真命题；
为假命题，①错误； 为真命题，②正确； 为假命题，③错误； 为真命题，④正确.
故答案为：②④

【分析】 根据空间点线面位置关系分别进行判断四个命题的真假，然后结合复合命题真假关系进行判断即可．
14.【答案】 ①④
【解析】【解答】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;
由 l⊥α,α⊥β 可得 l//β 或 l?β ,又 m?β ,则m,l的位置关系是平行相交或异面,②错误;
由 l⊥α,m//α得l⊥m ,又 m?β ,由线面垂直的判定定理可知, l与β 的位置关系可能不垂直,故③错误;
由 l⊥α,l⊥β得α//β ,又 m?β ,所以 m//α ,故④正确.
故答案为①④

【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在②中l与m相交、平行或异面；在③中，l与β 相交或平行；在④中，由已知得α//β ， 从而m//α。
15.【答案】 l//β
【解析】【解答】若 α//β ，则 α 与 β 没有公共点，
l?α ，则 l 与 β 没有公共点，故 l//β .
故答案为： l//β .
【分析】根据面面平行的性质即可判断.
16.【答案】 1
【解析】【解答】由于 P∈l ， P∈α ，所以直线 l 与平面 α 有公共点，而 Q∈l ， Q?α ，所以直线 l 与平面 α 相交，故直线l与平面 α 的公共点个数为 1 个.
故答案为：1
【分析】根据已知条件判断出直线l与平面 α 相交，由此确定直线l与平面 α 的公共点个数.
四、解答题
17.【答案】 （1）解： l?α ； m?α ； m∩α=A ； A?l ；示意图如下：
（2）解：如图，直线IL即为所求.
【解析】【分析】（1）根据题意，作出示意图即可；（2）根据题意，作出示意图即可.
18.【答案】 （1）证明： ∵ 在 ΔPAD 中,由 E 、 F 为 PD 、 PA 中点得: EF 为中位线,
∴ EF ∥ AD
又 ∵ 底面为矩形, AD ∥ BC ,
∴ EF ∥ BC
∴ 由平行线确定唯一平面得 E 、 F 、 B 、 C 在同一平面上
（2）解：以 A 为原点建立坐标系,其中 AB 、 AD 、 AP 分别为 x 、 y 、 z 轴,
如图:
可得 A(0,0,0) , B(1,0,0) , P(0,0,1) , E(0,32,12)
∴ PB=(1,0,?1) , AE=(0,32,12) ,
故: cosθ=|PB?AE||PB?||AE|=122?1=24
∴ 异面直线 PB 与 AE 夹角: arccos24 .
【解析】【分析】（1）因为在 ΔPAD 中,由 E 、 F 为 PD 、 PA 中点得: EF 为中位线,可得 EF ∥ AD ,结合底面为矩形,即可求得答案;（2）以 A 为原点建立坐标系,其中 AB 、 AD 、 AP 分别为 x 、 y 、 z 轴,求得 PB 和 AE , cosθ=|PB?AE||PB?||AE| ,即可求得答案.
19.【答案】 （1）解：连接 A1B ，根据正方体的几何性质可知 A1B//CD1 .由于 E,F 分别是 AA1,AB 的中点，所以 EF//A1B ，所以 EF//CD1 ，所以 E,F,C,D1 四点共面.
（2）解：由于 EF//CD1,EF≠CD1 ，所以 D1E 与 CF 延长后必相交，设交点为 P ，由于 P∈D1E? 平面 ADD1A1 ， P∈CF? 平面 ABCD ，根据公理3可知， P 在平面 ADD1A1 与平面 ABCD 的交线 DA 上，所以 D1E 、 DA 、 CF 三线交于一点
【解析】【分析】（1）通过证明 EF//CD1 ，证得 E,F,C,D1 四点共面.（2）根据公理 3 ，证得 D1E 、 DA 、 CF 三线交于一点.
20.【答案】 （1）解： P∈l ，证明如下：
∵m?α ， n?β ， m∩n=P ∴P∈α 且 P∈β
又 α∩β=l ∴P∈l
（2）解： m//l ，证明如下：
∵m//n ， m?β ， n?β ∴m//β
又 α∩β=l ， m?α ∴m//l
【解析】【分析】（1）由题意知 P∈α 且 P∈β ，由 α∩β=l 可知 P∈l ；（2）由线面平行判定定理知 m//β ，由线面平行的性质可证得 m//l .