人教B版数学2019高中数学必修四综合练习附答案第11章立体几何初步Word含解析

人教B版2019高中数学必修四第11章立体几何初步
一、选择题
对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．
角的直观图为
角
C．与
轴平行的线段长度变为原来的一半
D．原来平行的线段仍然平行
已知
和
是两条不同的直线，
和
是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出
的是
A．
，且
B．
，且
C．
，且
D．
，且
设
，，
为三个不同的平面，，
为两条不同的直线，则下列命题是假命题的是
A．当
时，若
，则
B．当
，
时，若
，则
C．当
，
时，若
，则
，
是异面直线
D．当
，
时，若
，则
已知正三棱柱
的侧棱长为
，地面边长为
．若点
是线段
的中点，则直线
与底面
所成角的正切值为
A．
B．
C．
D．
表面积为
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
B．
C．
D．
已知三棱锥
中，，，，，，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为
A．
B．
C．
D．
如图，在边长为
的正方形
中，点
，
分别为边
，
的中点，将
沿
所在的直线进行翻折，将
沿
所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是
A．无论翻折到什么位置，，
两点都不可能重合
B．存在某个位置，使得直线
与直线
所成的角为
C．存在某个位置，使得直线
与直线
所成的角为
D．存在某个位置，使得直线
与直线
所成的角为
等体积的球和正方体的表面积的大小关系是
A．
B．
C．
D．无法确定
在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑
中，，，且
，
为
的中点，则异面直线
与
夹角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
已知棱长为
的正方体
内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线
为轴，则该圆柱侧面积的最大值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
已知一圆锥的侧面展开图是半径为
的半圆，则该圆锥的表面积为
，体积为
．
已知正四棱锥的侧棱长为
，侧棱与底面所成的角为
，则该四棱锥的高为
．
如图所示，，点
在平面
的另一侧，点
，线段
，，
分别交平面
于点
，，．若
，，，则
．
如图，在长方形
中，，，
是
的中点，沿
将
向上折起，使
到
的位置，且
，则直线
与平面
所成角的正弦值为
．
三、解答题
一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度
也相等，用
将
表示出来．
已知正方体
．
(1)
证明：；
(2)
求异面直线
与
所成角的大小．
如图，三棱柱
中，，，．
(1)
证明
；
(2)
若
，，求三棱柱
的体积．
如图，在三棱柱
中，侧面
是边长为
的正方形，点
是棱
的中点．
(1)
证明：；
(2)
若三棱锥
的体积为
，求点
到平面
的距离．
如图，在四棱锥
中，
是正三角形，四边形
是正方形．
(1)
求证：；
(2)
若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
如图所示，在斜三棱柱
中，底面是等腰三角形，，
是
的中点，．
(1)
求证：；
(2)
过侧面
的对角线
的平面交侧棱
于点
，若
，求证：；
(3)
若
，
成立吗？请说明理由．
四、多选题
如图所示，在四个正方体中，
是正方体的一条体对角线，点
，，
分别为其所在棱的中点，能得出
的图形为
A．
B．
C．
D．
如图，在棱长均相等的四棱锥
中，
为底面正方形的中心，，
分别为侧棱
，
的中点，则下列结论正确的是
A．
B．
C．异面直线
与
所成角的大小为
D．
答案
一、选择题
1.
【答案】B
【解析】A正确，根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形；
B错误，
角的直观图可以是
角，也可以是
角；
由斜二测画法规则知C、D正确．
2.
【答案】B
【解析】A中，，故A错误；易知B正确；
C，D中，
或
或
与
相交，故C，D错误．
3.
【答案】C
【解析】对于A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得A是真命题；
对于B，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得B是真命题；
对于C，，
可能异面，也可能平行，故C是假命题；
对于D，由
，
可知
，又
，所以
，故D是真命题．
4.
【答案】B
【解析】过点
作
于点
，连接
，则
为直线
与底面
所成的角．
由已知，可得
，，
所以
．
5.
【答案】A
【解析】设正八面体棱长为
，则
，解得
．
因为
为正方形，所以球的半径
，于是球的体积为
6.
【答案】C
【解析】已知
，，将三棱锥补成长方体，它的体对角线是其外接球的直径，也是其外接球的内接正方体的体对角线．
因为
，，，
所以三棱锥外接球的直径为
，
所以外接球的内接正方体的体对角线长为
，
所以正方体的棱长为
，
所以正方体的体积为
．
7.
【答案】D
【解析】在A中，点
与点
一定不重合，故A中说法正确；
在B中，存在某个位置，使得直线
与直线
所成的角为
，故B中说法正确；
在C中，当
，
时，直线
与直线
垂直，故C中说法正确；
在D中，直线
与直线
不可能垂直，故D中说法错误．
故选D．
8.
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为
，球的半径为
，
由题意得
，
所以
，．
所以
，，
所以
．
9.
【答案】C
【解析】设点
是
的中点，连接
，，
由于
，
分别是
，
的中点，所以
是三角形
的中位线，故
，所以
（或其补角）是异面直线
与
所成的角．根据鳖臑的几何性质可知
，．故
，，，在三角形
中，由余弦定理的推论得
．
10.
【答案】D
【解析】如图，
由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过
点的三个面相切且切点分别在线段
，，
上，设线段
上的切点为
，，圆柱上底面的圆心为
，半径即为
，记为
，则
，，
由
知，，
则圆柱的高为
，
二、填空题
11.
【答案】
；
【解析】设圆锥的底面半径为
，根据题意，得
，解得
，
根据勾股定理，得圆锥的高为
，
所以圆锥的表面积
，体积
．
12.
【答案】
【解析】如图，过点
作
，连接
，
就是侧棱与底面所成的角，
则
，
所以
，
故答案为：．
13.
【答案】
【解析】因为
，
所以点
与直线
确定一个平面，即平面
．
因为
，且
，
所以
，即
，
所以
．
于是
．
14.
【答案】
【解析】由题意，知
为等腰直角三角形，
因为
，
所以
在底面的射影在
上，
所以
为直线
与平面
所成的角，且
，其正弦值为
，
故答案为
．
三、解答题
15.
【答案】由题意，得
，
，
由已知得
，
所以
．
16.
【答案】
(1)
在正方体
中，
因为
，，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，
因为
，，
所以
．
(2)
由（）知，，
所以异面直线
与
所成的角为
（或其补角）．
易知
为等边三角形，
所以
，
即异面直线
与
所成角的大小为
．
17.
【答案】
(1)
取
的中点
，连接
，，．
因为
，所以
．
由于
，，故
为等边三角形，所以
．
因为
，所以
平面
．
又
平面
，故
．
(2)
由题设知
与
都是边长为
的等边三角形，所以又
，则
，故
．
因为
，所以
平面
，
为三棱柱
的高．
又
的面积故三棱柱
的体积
18.
【答案】
(1)
连接
，与
交于点
，连接
．
因为侧面
是平行四边形，
所以点
是
的中点．
因为点
是棱
的中点，
所以
．
因为
，，
所以
．
(2)
因为三棱锥
的体积为
，
所以三棱柱
的体积为
，
则四棱锥
的体积为
．
因为侧面
是边长为
的正方形，
所以侧面
的面积为
．
设点
到平面
的距离为
，
则
，解得
．
故点
到平面
的距离为
．
19.
【答案】
(1)
如图，取
的中点
及
的中点
，连接
，，．
由
是正三角形，四边形
是正方形，得
，．
又
，
所以
．
因为
所以
，
又
，
所以
，
因为
是
的中点，
所以
．
(2)
过点
作
，垂足为
，连接
，
为直线
与平面
所成的角，．
过点
作
于点
，
由
及
，得
．
又
，，，得
．
由
，，，得
．
于是点
到平面
的距离
等于点
到平面
的距离等于
．
设
，则
，，计算得
，，
在等腰三角形
中可算得
，
所以直线
与平面
所成的角的正弦值等于
．
20.
【答案】
(1)
因为
，
是
的中点，
所以
．
因为
，，
所以
．
又
，
所以
．
(2)
如图，延长
，与
的延长线交于点
，连接
．
因为
，
所以
．
因为
，
所以
，
所以
，
所以
．
所以
．
(3)
成立，理由如下：
过点
作
于点
连接
．
因为
，
所以
．
又
，
所以
，
所以
，，，
四点共面．
因为
，
所以
，
所以四边形
是平行四边形．
又
，
所以
．
所以
是
的中点，
所以
，
所以
，
所以
．
四、多选题
21.
【答案】A；D
【解析】如图所示，正方体
．连接
，．
因为
，
分别为其所在棱的中点，
所以
，
因为四边形
为正方形，
所以
，
因为
，，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，同理，可证
，，
因为
，，，
所以
，即
，故A正确．
在D中，由A中证明同理可证
，，
又因为
，
所以
．
故D正确．故选AD．
22.
【答案】A；B；D
【解析】选项A，连接
，显然
为
的中点，又
为
的中点，所以
，由线面平行的判定定理可得，，A正确；
选项B，由
，
分别为侧棱
，
的中点，得
，又底面为正方形，所以
，由线面平行的判定定理可得，，由选项A得
，由面面平行的判定定理可得，，B正确；
选项C，因为
，所以
（或其补角）为异面直线
与
所成的角，又因为所有棱长都相等，所以
，故异面直线
与
所成角的大小为
，C错误；
选项D，因为底面为正方形，所以
，又所有棱长都相等，所以
，故
，又
，所以
，D正确．