高中数学新课标人教B版选修1-1解析几何练习卷（答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学新课标人教B版选修1-1解析几何练习卷（答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 66.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-03-16 23:19:27 | ||
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文档简介
解析几何练习卷（答案）
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
2．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( )
A．(0，) B．(，0)
C．(1,0) D．(0,1)
3．双曲线9y2－25x2＝169的渐近线方程是( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝±x D．y＝±x
4．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A．关于y轴对称 B．关于x＋y＝0对称
C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称
5．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1或－＝1 D．以上都不对
6．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
7．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
A. B．2
C. D．3
8．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF1Q＝，则双曲线的离心率e等于( )
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
9．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2，则k的值是( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．以上都不是
10．设k>1，则关于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1表示的曲线是( )
A．长轴在y轴上的椭圆
B．长轴在x轴上的椭圆
C．实轴在y轴上的双曲线
D．实轴在x轴上的双曲线
11．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
12．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)
13．已知抛物线经过点P(4，－2)，则其标准方程是________．
14．在平面直角坐标系中，有三角形ABC，且A(－3,0)，B(3,0)，顶点C到点A与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为________．
15．过原点的直线与椭圆＋＝1交于A、B两点，F1、F2为椭圆的焦点，则四边形AF1BF2面积的最大值是________．
16．已知双曲线C：－＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．
①直线y＝x＋1与双曲线有两个交点；
②双曲线C与－＝1有相同的渐近线；
③双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3；
④双曲线右支上任一点到左焦点的距离与它到直线x＝－的距离之比为常数．
三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求以椭圆＋＝1短轴的两个顶点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
18．椭圆的中心为坐标原点，长、短轴长之比为，一个焦点是(0，－2)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)求椭圆的方程．
19．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
20．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
21．设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
22．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
答案
1.解析：选D.点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－3＝7.选D.
2.解析：选A.∵抛物线过点(1,4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为(0，)．
3.解析：选C.由9y2－25x2＝169，令9y2－25x2＝0，得y＝±x.
4.解析：选C.x与y同时换成－x与－y，方程不变，方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．
5.解析：选C.当顶点为(±4,0)时，a＝4，
c＝8，b＝4，－＝1；
当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，
b＝3，－＝1.选C.
6.解析：选A.由抛物线方程y2＝－4x，
得焦点坐标为(－1,0)，所以c＝1.
又离心率e＝＝，所以a＝2.所以b＝.
故所求椭圆的方程为＋＝1，即＋＝1.
7.解析：选B.由题知tan ＝＝，即3c2＝4b2＝4(c2－a2)，解得e＝＝2.故选B.
8.解析：选C.△PF1F2是等腰直角三角形，
|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c，
|PF1|－|PF2|＝2a,2c－2c＝2a，
即e＝＝＝＋1.
9.解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝8x1，y＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，
由已知y1＋y2＝4，
∴＝＝2.故选B.
10.解析：选C.原方程可化为－＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>2，则为实轴在y轴上的双曲线，故选C.
11.解析：选B.如图，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
则
∴∴mn＝4.∴|PF1|·|PF2|＝4.
12.解析：选B.抛物线y2＝8x上的点到准线x＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．
13.解析：可设标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p>0)，将P点坐标代入求出p的值．
答案：y2＝x或x2＝－8y
14.解析：依题意顶点C的轨迹方程是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，不包括与x轴交点，易求方程为－＝1(x>2)．
答案：－＝1(x>2)
15.
解析：如图四边形AF1BF2的面积等于两全等三角形△AF1F2和△BF1F2的面积之和，当A、B分别与短轴端点重合时，它们的面积最大(F1F2为底)，则四边形面积的最大值为2××2c×b＝2bc＝8.
答案：8
16.解析：①错误，因为直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y＝±x；③正确，右焦点为(，0)到渐近线y＝x的距离为3；④正确，这一常数为双曲线的离心率．
答案：②③④
17.解：由＋＝1得a＝4，b＝3，
所以短轴两顶点为(0，±3)，
又双曲线过A点，由双曲线定义得
2a＝－
＝2，
得a＝，又c＝3，
从而b2＝c2－a2＝4，又焦点在y轴上，
.所以双曲线方程为－＝1.
18解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
c2＝a2－b2(c>0)．
由已知得＝，故e2＝1－＝，e＝.
(2)∵c＝2，则a＝＝，得b2＝a2－c2＝.
故椭圆的标准方程为＋＝1.
19.解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则y＝2px1，y＝2px2，
又|OA|＝|OB|，
∴x＋y＝x＋y，
即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1.
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1－x2＝0，即x1＝x2.
由此可知|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，
∴x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°.
∴＝tan30°＝.
∵x1＝，∴y1＝2p，|AB|＝2y1＝4p.
∴这个正三角形的边长为4p.
20.解：(1)由题意知b＝1，＝，且c2＝a2＋b2，
解得a＝，c＝1.
易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2.
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则.
∴|CD|＝ |x1－x2|
＝·
＝·＝.
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
21.解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A、B两点的坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|，
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝.
22.解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为
x＝－1，焦点为F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，
|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，得，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
2．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( )
A．(0，) B．(，0)
C．(1,0) D．(0,1)
3．双曲线9y2－25x2＝169的渐近线方程是( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝±x D．y＝±x
4．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A．关于y轴对称 B．关于x＋y＝0对称
C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称
5．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1或－＝1 D．以上都不对
6．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
7．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
A. B．2
C. D．3
8．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF1Q＝，则双曲线的离心率e等于( )
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
9．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2，则k的值是( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．以上都不是
10．设k>1，则关于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1表示的曲线是( )
A．长轴在y轴上的椭圆
B．长轴在x轴上的椭圆
C．实轴在y轴上的双曲线
D．实轴在x轴上的双曲线
11．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
12．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)
13．已知抛物线经过点P(4，－2)，则其标准方程是________．
14．在平面直角坐标系中，有三角形ABC，且A(－3,0)，B(3,0)，顶点C到点A与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为________．
15．过原点的直线与椭圆＋＝1交于A、B两点，F1、F2为椭圆的焦点，则四边形AF1BF2面积的最大值是________．
16．已知双曲线C：－＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．
①直线y＝x＋1与双曲线有两个交点；
②双曲线C与－＝1有相同的渐近线；
③双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3；
④双曲线右支上任一点到左焦点的距离与它到直线x＝－的距离之比为常数．
三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求以椭圆＋＝1短轴的两个顶点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
18．椭圆的中心为坐标原点，长、短轴长之比为，一个焦点是(0，－2)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)求椭圆的方程．
19．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
20．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
21．设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
22．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
答案
1.解析：选D.点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－3＝7.选D.
2.解析：选A.∵抛物线过点(1,4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为(0，)．
3.解析：选C.由9y2－25x2＝169，令9y2－25x2＝0，得y＝±x.
4.解析：选C.x与y同时换成－x与－y，方程不变，方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．
5.解析：选C.当顶点为(±4,0)时，a＝4，
c＝8，b＝4，－＝1；
当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，
b＝3，－＝1.选C.
6.解析：选A.由抛物线方程y2＝－4x，
得焦点坐标为(－1,0)，所以c＝1.
又离心率e＝＝，所以a＝2.所以b＝.
故所求椭圆的方程为＋＝1，即＋＝1.
7.解析：选B.由题知tan ＝＝，即3c2＝4b2＝4(c2－a2)，解得e＝＝2.故选B.
8.解析：选C.△PF1F2是等腰直角三角形，
|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c，
|PF1|－|PF2|＝2a,2c－2c＝2a，
即e＝＝＝＋1.
9.解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝8x1，y＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，
由已知y1＋y2＝4，
∴＝＝2.故选B.
10.解析：选C.原方程可化为－＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>2，则为实轴在y轴上的双曲线，故选C.
11.解析：选B.如图，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
则
∴∴mn＝4.∴|PF1|·|PF2|＝4.
12.解析：选B.抛物线y2＝8x上的点到准线x＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．
13.解析：可设标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p>0)，将P点坐标代入求出p的值．
答案：y2＝x或x2＝－8y
14.解析：依题意顶点C的轨迹方程是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，不包括与x轴交点，易求方程为－＝1(x>2)．
答案：－＝1(x>2)
15.
解析：如图四边形AF1BF2的面积等于两全等三角形△AF1F2和△BF1F2的面积之和，当A、B分别与短轴端点重合时，它们的面积最大(F1F2为底)，则四边形面积的最大值为2××2c×b＝2bc＝8.
答案：8
16.解析：①错误，因为直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y＝±x；③正确，右焦点为(，0)到渐近线y＝x的距离为3；④正确，这一常数为双曲线的离心率．
答案：②③④
17.解：由＋＝1得a＝4，b＝3，
所以短轴两顶点为(0，±3)，
又双曲线过A点，由双曲线定义得
2a＝－
＝2，
得a＝，又c＝3，
从而b2＝c2－a2＝4，又焦点在y轴上，
.所以双曲线方程为－＝1.
18解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
c2＝a2－b2(c>0)．
由已知得＝，故e2＝1－＝，e＝.
(2)∵c＝2，则a＝＝，得b2＝a2－c2＝.
故椭圆的标准方程为＋＝1.
19.解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则y＝2px1，y＝2px2，
又|OA|＝|OB|，
∴x＋y＝x＋y，
即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1.
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1－x2＝0，即x1＝x2.
由此可知|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，
∴x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°.
∴＝tan30°＝.
∵x1＝，∴y1＝2p，|AB|＝2y1＝4p.
∴这个正三角形的边长为4p.
20.解：(1)由题意知b＝1，＝，且c2＝a2＋b2，
解得a＝，c＝1.
易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2.
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则.
∴|CD|＝ |x1－x2|
＝·
＝·＝.
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
21.解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A、B两点的坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|，
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝.
22.解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为
x＝－1，焦点为F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，
|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，得，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.