6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（word含答案）
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 373.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-12 18:24:47 | ||
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文档简介
1087120-198755第六章计数原理
第六章计数原理
762000156845 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
134620175260 知识点1-----分类加法计数原理
知识点1-----分类加法计数原理
任务
分类
完成一件事
有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成这件事共有N种='m+n种不同的方法
计数
任务
分类
完成一件事
有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成这件事共有N种='m+n种不同的方法
计数
233362522860基本原理 N=m+n
原理推广 N=false+false...+false
基本原理 N=m+n
原理推广 N=false+false...+false
知识点2-----分步乘法计数原理
任务
分类
完成一件事
需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法
完成这件事共有N种='m×n种不同的方法
计数
任务
分类
完成一件事
需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法
完成这件事共有N种='m×n种不同的方法
计数
2364740-96520基本原理 N=m×n，
原理推广 N=false·false...·false
基本原理 N=m×n，
原理推广 N=false·false...·false
-6350062230 知识点3------分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
知识点3------分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
(1)联系：都是涉及做一件事的不同方法的种数问题.
(2)区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方
法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.
-88265117475 知识点4-----使用分类加法计数原理计数的两个条件
知识点4-----使用分类加法计数原理计数的两个条件
(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类.
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.
2.利用分类加法计数原理计数时的解题流程
-102870395605 知识点5-----使用分步乘法计数原理计数的两个注意点
知识点5-----使用分步乘法计数原理计数的两个注意点
一是:要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；
二是:各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法.
(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
(3)混合问题一般是先分类再分步.
-40005121285【防范措施】明确“分类”与“分步”
“分类”是其中任何一类中的任何一种方法均可独立完成所给事情，而“分步”必须是把各个步骤均完成才能完成所给事情.在解题过程中要能高效地得到正确结论必须将要计的数准确进行“分类”或是“分步”，如本例是“分步”，而非“分类”问题.
【防范措施】明确“分类”与“分步”
“分类”是其中任何一类中的任何一种方法均可独立完成所给事情，而“分步”必须是把各个步骤均完成才能完成所给事情.在解题过程中要能高效地得到正确结论必须将要计的数准确进行“分类”或是“分步”，如本例是“分步”，而非“分类”问题.
7175564770 要点探究
要点探究
分类加法计数原理
对分类加法计数原理的三点说明
核心：原理的核心是“分类”，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互独立，并且用任何一类中任何一种方法都可以单独完成这件事，因此在应用原理时一定要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的标准下进行分类，其次还要注意分类不能重复，不能遗漏.
(2)目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同方法数”，因此在应用原理解题时要有问题意识，明确并努力思考两个问题，即问题要求我们完成一件什么事，如何完成这件事.
(3)推广：原理可以推广到n类不同的方案
分步乘法计数原理
使用分步乘法计数原理的三个关注点
明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.
(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.
(3)推广
两个计数原理的区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
每类办法都能独立完成这件事.它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的，并列的，独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
212090-62865经典例题
经典例题
例题1.某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．
（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
【答案】 （1）解：选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；
第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．
（2）解：完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：
第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；
第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．
【解析】（1）根据分类计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求和即可；（2）根据分步计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求积即可；
例题2.用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.
?
（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；
（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.
【答案】 （1）解：对区域A,B,C,D按顺序着色，
共有6×5×4×4=480（种）
（2）解：对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0
n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5
【解析】（1）根据分步计数原理进行计算即可；
（2） 对区域A,B,C,D按顺序着色 ， 由分步乘法计数原理 ，列出方程求解即可。
例题3. 5名男生3名女生参加升旗仪式：
（1）站两横排，3名女生站前排，5名男生站后排有多少种站法？
（2）站两纵列，每列4人，每列都有女生且女生站在男生前面，有多少种排列方法？
【答案】 （1）解：分两步求解：
①先排前排的3名女生，有 A33=6 种不同的方法；
②再排后排的5名男生，有 A55=120 种不同的方法．
由分步乘法计数原理可得共有 A33A55=6×120=720 种不同的站法．
（2）解：将3名女生分为两组，有 C31 种方法，然后选择其中的一列将1名女生排在最前的一个位置上，有 C21 种方法，然后再从5名男生中选取3名排在该女生的后边，有 A53 种方法；然后再排另外一列，将剩余的2名女生排再该列的前边有 A22 种方法，再将剩余的2名男生排在这2名女生的后边，有 A22 种方法．
由分步乘法计数原理可得不同的排列方法有 C31C21A53A22A22=1440 种．
【解析】（1）利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，得出3名女生站前排，5名男生站后排的站法种数。
（2）利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，得出站两纵列，每列4人，每列都有女生且女生站在男生前面的排列方法种数。
例题4.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
（1）若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?
（2）恰有一个空盒的放法共有多少种?
【答案】（1）解：每个盒子放一个球,共有 A44 =24种不同的放法
（2）解：先选后排,分三步完成:
第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;
第二步:选两球为一个元素,有 C42=6 种选法;
第三步:三个元素放入三个盒中,有 A33=6 种放法.
故共有4×6×6=144种放法
【解析】（1）每个小球都有4种放法，利用排列公式即可；
（2）先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子有2个小球，从4个小球中选2个作为一个元素，与另外两个元素一球在三个位置全排列，根据分布计数原理即可.
95250373380随堂练习
随堂练习
练习1. 6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定．
练习2.在一次合唱中有6个女生（其中有1个领唱）和2个男生分成两排表演．
（1）每排4人，问共有多少种不同的排法？
（2）领唱站在前排，男生站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？
练习3.由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数．
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由．
练习4.排列组合
（1）7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
（3）7位同学站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种？
142240-100965参考答案
参考答案
练习1【答案】 解：（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，A1010A33=A107种
【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，问题得以解决．
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，问题得以解决，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，问题得以解决，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，问题得以解决，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决．
练习2【答案】 解：（1）每排4人，和排成一排的站法一样，故有A88=40320种，
（2）从另外的5个女生选3个和领唱全排，其余的4人也全排，根据分步计数原理可得，C53A44A44=5760=5 760种不同的排法．
【解析】（1）由题意可知每排4人，和排成一排的站法一样，故把8人全排即可，
）从另外的5个女生选3个和领唱全排，其余的4人也全排，根据分步计数原理可得．
练习3【答案】 （1）解：由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55=120个五位数
（2）解：∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，
∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果，
其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，
根据分步计数原理得到共有C31A44=72
（3）解：根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55=120种情况，即一共有120个五位数，
再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：
①5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44=24个，
②4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33=6个，
③4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22=2个，
④43215，43251，43152，共3个
故不大于43251的五位数有120﹣（24+6+2﹣3）=85个，
即43125是第85项．
【解析】（1）利用全排列，可得结论；（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，第五位是有限制条件的元素，第五个数字必须从1、3、5中选出，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列；（3）根据题意，先有排列数公式求出用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数的个数，再分4种情况讨论分析大于43125的数个数，由间接法分析可得答案．
练习4【答案】 （1）解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；
再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22=1440种
（2）解：将甲、乙和丙三个同学插入到除甲、乙和丙之外4人全排所形成的5个空中的3个，故有A44A53=1440种
（3）解：甲站排头，或乙站排尾有2A66﹣A55种不同的排法，
∴甲不站排头，且乙不站排尾有： A77-2A66+A55=3720 种不同的排法
【解析】对这几个事件不同排法和数的计算，根据分步原理与分类原理直接计算即可．
第六章计数原理
762000156845 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
134620175260 知识点1-----分类加法计数原理
知识点1-----分类加法计数原理
任务
分类
完成一件事
有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成这件事共有N种='m+n种不同的方法
计数
任务
分类
完成一件事
有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成这件事共有N种='m+n种不同的方法
计数
233362522860基本原理 N=m+n
原理推广 N=false+false...+false
基本原理 N=m+n
原理推广 N=false+false...+false
知识点2-----分步乘法计数原理
任务
分类
完成一件事
需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法
完成这件事共有N种='m×n种不同的方法
计数
任务
分类
完成一件事
需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法
完成这件事共有N种='m×n种不同的方法
计数
2364740-96520基本原理 N=m×n，
原理推广 N=false·false...·false
基本原理 N=m×n，
原理推广 N=false·false...·false
-6350062230 知识点3------分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
知识点3------分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
(1)联系：都是涉及做一件事的不同方法的种数问题.
(2)区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方
法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.
-88265117475 知识点4-----使用分类加法计数原理计数的两个条件
知识点4-----使用分类加法计数原理计数的两个条件
(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类.
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.
2.利用分类加法计数原理计数时的解题流程
-102870395605 知识点5-----使用分步乘法计数原理计数的两个注意点
知识点5-----使用分步乘法计数原理计数的两个注意点
一是:要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；
二是:各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法.
(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
(3)混合问题一般是先分类再分步.
-40005121285【防范措施】明确“分类”与“分步”
“分类”是其中任何一类中的任何一种方法均可独立完成所给事情，而“分步”必须是把各个步骤均完成才能完成所给事情.在解题过程中要能高效地得到正确结论必须将要计的数准确进行“分类”或是“分步”，如本例是“分步”，而非“分类”问题.
【防范措施】明确“分类”与“分步”
“分类”是其中任何一类中的任何一种方法均可独立完成所给事情，而“分步”必须是把各个步骤均完成才能完成所给事情.在解题过程中要能高效地得到正确结论必须将要计的数准确进行“分类”或是“分步”，如本例是“分步”，而非“分类”问题.
7175564770 要点探究
要点探究
分类加法计数原理
对分类加法计数原理的三点说明
核心：原理的核心是“分类”，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互独立，并且用任何一类中任何一种方法都可以单独完成这件事，因此在应用原理时一定要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的标准下进行分类，其次还要注意分类不能重复，不能遗漏.
(2)目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同方法数”，因此在应用原理解题时要有问题意识，明确并努力思考两个问题，即问题要求我们完成一件什么事，如何完成这件事.
(3)推广：原理可以推广到n类不同的方案
分步乘法计数原理
使用分步乘法计数原理的三个关注点
明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.
(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.
(3)推广
两个计数原理的区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
每类办法都能独立完成这件事.它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的，并列的，独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
212090-62865经典例题
经典例题
例题1.某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．
（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
【答案】 （1）解：选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；
第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．
（2）解：完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：
第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；
第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．
【解析】（1）根据分类计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求和即可；（2）根据分步计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求积即可；
例题2.用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.
?
（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；
（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.
【答案】 （1）解：对区域A,B,C,D按顺序着色，
共有6×5×4×4=480（种）
（2）解：对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0
n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5
【解析】（1）根据分步计数原理进行计算即可；
（2） 对区域A,B,C,D按顺序着色 ， 由分步乘法计数原理 ，列出方程求解即可。
例题3. 5名男生3名女生参加升旗仪式：
（1）站两横排，3名女生站前排，5名男生站后排有多少种站法？
（2）站两纵列，每列4人，每列都有女生且女生站在男生前面，有多少种排列方法？
【答案】 （1）解：分两步求解：
①先排前排的3名女生，有 A33=6 种不同的方法；
②再排后排的5名男生，有 A55=120 种不同的方法．
由分步乘法计数原理可得共有 A33A55=6×120=720 种不同的站法．
（2）解：将3名女生分为两组，有 C31 种方法，然后选择其中的一列将1名女生排在最前的一个位置上，有 C21 种方法，然后再从5名男生中选取3名排在该女生的后边，有 A53 种方法；然后再排另外一列，将剩余的2名女生排再该列的前边有 A22 种方法，再将剩余的2名男生排在这2名女生的后边，有 A22 种方法．
由分步乘法计数原理可得不同的排列方法有 C31C21A53A22A22=1440 种．
【解析】（1）利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，得出3名女生站前排，5名男生站后排的站法种数。
（2）利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，得出站两纵列，每列4人，每列都有女生且女生站在男生前面的排列方法种数。
例题4.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
（1）若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?
（2）恰有一个空盒的放法共有多少种?
【答案】（1）解：每个盒子放一个球,共有 A44 =24种不同的放法
（2）解：先选后排,分三步完成:
第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;
第二步:选两球为一个元素,有 C42=6 种选法;
第三步:三个元素放入三个盒中,有 A33=6 种放法.
故共有4×6×6=144种放法
【解析】（1）每个小球都有4种放法，利用排列公式即可；
（2）先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子有2个小球，从4个小球中选2个作为一个元素，与另外两个元素一球在三个位置全排列，根据分布计数原理即可.
95250373380随堂练习
随堂练习
练习1. 6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定．
练习2.在一次合唱中有6个女生（其中有1个领唱）和2个男生分成两排表演．
（1）每排4人，问共有多少种不同的排法？
（2）领唱站在前排，男生站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？
练习3.由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数．
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由．
练习4.排列组合
（1）7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
（3）7位同学站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种？
142240-100965参考答案
参考答案
练习1【答案】 解：（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，A1010A33=A107种
【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，问题得以解决．
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，问题得以解决，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，问题得以解决，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，问题得以解决，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决．
练习2【答案】 解：（1）每排4人，和排成一排的站法一样，故有A88=40320种，
（2）从另外的5个女生选3个和领唱全排，其余的4人也全排，根据分步计数原理可得，C53A44A44=5760=5 760种不同的排法．
【解析】（1）由题意可知每排4人，和排成一排的站法一样，故把8人全排即可，
）从另外的5个女生选3个和领唱全排，其余的4人也全排，根据分步计数原理可得．
练习3【答案】 （1）解：由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55=120个五位数
（2）解：∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，
∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果，
其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，
根据分步计数原理得到共有C31A44=72
（3）解：根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55=120种情况，即一共有120个五位数，
再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：
①5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44=24个，
②4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33=6个，
③4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22=2个，
④43215，43251，43152，共3个
故不大于43251的五位数有120﹣（24+6+2﹣3）=85个，
即43125是第85项．
【解析】（1）利用全排列，可得结论；（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，第五位是有限制条件的元素，第五个数字必须从1、3、5中选出，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列；（3）根据题意，先有排列数公式求出用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数的个数，再分4种情况讨论分析大于43125的数个数，由间接法分析可得答案．
练习4【答案】 （1）解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；
再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22=1440种
（2）解：将甲、乙和丙三个同学插入到除甲、乙和丙之外4人全排所形成的5个空中的3个，故有A44A53=1440种
（3）解：甲站排头，或乙站排尾有2A66﹣A55种不同的排法，
∴甲不站排头，且乙不站排尾有： A77-2A66+A55=3720 种不同的排法
【解析】对这几个事件不同排法和数的计算，根据分步原理与分类原理直接计算即可．