6.2排列与组合-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（word含答案）
文档属性
| 名称 | 6.2排列与组合-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 88.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-12 18:25:06 | ||
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文档简介
1079500-198755第六章计数原理
第六章计数原理
20002501028706.2排列与组合
6.2排列与组合
0210820 知识点1-----排列
知识点1-----排列
排列的定义-----一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的 顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数的定义:
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号false表示
排列数公式:
排列数公式：false=n（n-1）（n-2）...（n-m+1）
（2）全排列：false=n（n-1）（n-2）×...×3×2×1
（3）阶乘：false=n！规定0！=1
（4）排列数的性质：false=nfalse，false=mfalse+false
683260172720注意：(1)排列定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”
(2)两个排列相同,需要满足两个条件:一是元素完全相同,二是元素的排列顺序相同.
注意：(1)排列定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”
(2)两个排列相同,需要满足两个条件:一是元素完全相同,二是元素的排列顺序相同.
128270186055 知识点2-----组合
知识点2-----组合
组合的定义
一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合数的定义
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号false表示
组合数公式
（1）组合数公式：false=false=false还可以写成
false=false 规定false=1
（2）组合数的两个性质
性质1：false=false 性质2：false=false+false
27813063500注意：
(1)组合与排列都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
注意：
(1)组合与排列都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
31750118745 要点探究
要点探究
排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
?排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.?以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）
插空法（解决相间问题）?间接法和去杂法等等
958853425190经典例题
经典例题
229870307975在求解排列与组合应用问题时，应注意：
?(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
(4)列出式子计算和作答
在求解排列与组合应用问题时，应注意：
?(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
(4)列出式子计算和作答
例题1.从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表．
（1）共有多少种不同的选派方法？
（2）若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同的选派方法？
（3）若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？
（注意：用文字简要叙述解题思路，然后列出算式求值．）
【答案】 （1）解：先选后排.所以有 C53?C42?A55=7200 种
（2）解：先满足女生甲担任语文科代表，然后再选3男1女，担任其它学科课代表.有 C31?C53?A55=720 种.
（3）解：要分两类研究：一是选出男生乙，满足条件应该有 A41C42C42A44 种.
二是没选出男生乙 C43C42A55 种.所以共有 C43C42A55+A41C42C42A44C=6336 种方法
【解析】 （1）利用从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表，先选后拍了得到结论；
（2）根据女生甲必须担任语文科代表，先定特殊元素，然后剩余的任意选择即可；
（3）男生乙不能担任英语科代表，先定英语课代表，然后其余任意排列即可。
?
?
例题2.在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
【答案】 （1）解：第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有 A77=5040 种方法；
第二步再松绑，给4个节目排序，有 A44=24 种方法.根据分步乘法计数原理，一共有 5040×24=120960 种
（2）解：第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有 A66=720 种方法.
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“×”选4个来排，一共有 A74=7×6×5×4=840 种，根据分步乘法计数原理，一共有 720×840=604800 种
（3）解：若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 A1212 种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 A1212A1010=A122=132 种排法
【解析】（1）相邻问题利用捆绑法；（2）不相邻问题采用插空法；（3）使用倍分法分析：先求出10个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案；
例题3. 7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种.
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
【答案】 （1）解：根据题意，先选出A，B，再从剩下的10人中选3人即可.
共有 C22C103=120 种
（2）解：根据题意，A，B都不选，只需从10人中选5人即可.
共有 C105=252 种
（3）解：根据题意分成两类，第一类：A，B都不选，共有 C105=252 种情况.
第二类：A，B中有一人当选，共有 C21C104=420 种情况.
所以共有 252+420=672 种
（4）解：根据题意12人选 5 人共有 C125 种情况，
没有女生入选共有 C75 种，只有1名女生入选共有 C74C51 种情况，
所以至少有2名女生当选共有 C125?C75?C74C51=596 种情况
（5）解：选出一名男生担任体育委员共有 C71 种情况，
选出一名女生担任班长共有 C51 种情况.
剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，
共有 C62×C41×A33 种情况.
根据分步计数原理得到共有 C71×C51×C62×C41×A33=12600 种
【解析】（1）先选出A，B，再从剩下的10人中选3人即可.（2）A，B都不选，只需从10人中选5人即可.（3）根据题意分成两类，第一类：A，B都不选，第二类：A，B中有一人当选，再利用分类计数原理计数即可.（4）根据题意用间接法，先计算12人选5人共有多少种情况，然后计算没有女生入选和只有1名女生入选共有多少种，再相减即可.（5）根据题意分3步，第一步计算选出一名男生担任体育委员的情况，第二步计算选出一名女生担任班长共的情况，第三步再从剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委的情况，最后利用分步计数原理计数即可.
例题4. 7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）
（1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾．
（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起．
（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻．
（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）．
（5）7人分成2人，2人，3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习．
【答案】 （1）解： A51A66=3600
（2）解： A33A55=720
（3）解： A44A53=1440
（4）解： A77A33=840
（5）解： C72C52A22A33=630
【解析】(1)由排列的概念以及分步计数原理计算出答案即可。
(2)由排列的概念以及分步计数原理计算出答案即可。
(3)由排列的概念以及分步计数原理计算出答案即可。
(4)由排列的定义即可计算出结果。
(5)由排列组合以及分步计数原理计算出结果即可。
207010-331470随堂练习
随堂练习
练习1.如图，从左到右有5个空格.
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
练习2.小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照．
（1）若小张和小徐必须相邻．则共有多少种排队种数？
（2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？
（3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？
练习3.有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.
（1）甲不在两端；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；
（4）甲不在排头，乙不在排尾。
练习4.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
142240-497205参考答案
参考答案
练习1【答案】 （1）解：利用排除法： A55?A44=96 种.
（2）解：根据乘法原理得到：共有 3×2×2×2×2=48 种涂法.
（3）解：若分成 2?2?1?1?1 的 5 组，则共有 C72?C52A22 种分法；
若分成 3?1?1?1?1 的 5 组，则共有 C73 种分法，
故共有 (C72?C52A22+C73)?A55=16800 种放法.
【解析】 （1）根据题意，分2步进行分析：①、分析0，易得0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步计数原理计算可得答案，
（2）根据题意，依次分析5个格子的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：即分成2-2-1-1-1的5组或分成3-1-1-1-1的5组，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，由分步计数原理计算可得答案．
练习2【答案】 （1）解：若小张和小徐必须相邻．则共有 A22A55=240 种；
（2）解：先将除大魏和小刘外的四人全排，则有 A44 种情况，可产生5个空，再将大魏和小刘插空，则共有 A44A52=480 种；
（3）解：因为小张和小徐必须相邻，则这两人有 A22=2 种情况；
若先排大魏和小刘，再排小平和老金，则有 A22A42=24 种情况；
若先排小平和老金，再排大魏和小刘，则有 A22A42=24 种情况；
因此共有 2×(24+24)=96 种排队种数.
【解析】（1）利用已知条件结合排列数公式，进而求出小张和小徐必须相邻时共有的排队种数 。
（2）利用已知条件结合排列数公式，再利用分步乘法计数原理，进而求出大魏和小刘不能相邻时的共有排队种数。
（3）利用已知条件结合排列数公式，再利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，进而求出小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻时的共有排队种数。
练习3【答案】 （1）解：假设8个人对应8个空位，甲不站两端，有6个位置可选，则其他7个人对应7个位置，故有： 6A77=30240 种情况
（2）解：把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有 2A77=10080 种情况；
（3）解：把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空，故有 A55A63=14400 种情况；
（4）解：利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，故有 A88?2A77+A66=30960 种情况
【解析】（1）先把甲安排到中间6个位置的一个，再对剩下位置全排列；（2）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；（3）把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空，结合公式求解；（4）可采用间接法得到；
练习4【答案】 （1）解：先从6本书中选1本，有 C61 种分配方法；
再从剩余5本书中选择2本，有 C52 种分配方法
剩余的就是2本书，有 C33 种分配方法
所以总共有 C61C52C33=60 种分配方法。
（2）解：由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有
C61C52C33A33=360 种。
（3）解：从6本书中选择2本书，有 C62 种分配方法；
再从剩余4本书中选择2本书，有 C42 种分配方法；
剩余的就是2本书，有 C22 种分配方法;
所以有 C62C42C22=90 种分配方法。
但是，该过程有重复。假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是 (AB),(CD),(EF) 。则所有情况为 (AB,CD,EF) ， (AB,EF,CD) ， (CD,AB,EF) ， (CD,EF,AB) ， (EF,AB,CD) ， (EF,CD,AB) 。
所以分配方式共有 C62C42C22A33=15 种
（4）解：由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为
C62C42C22A33×A33=90 种
（5）解：从6本书中选4本书的方法有 C64 种
从剩余2本书中选1本书有 C21 种
因为在最后两本书选择中发生重复了 A22
所以总共有 C64C21A22=15 种
（6）解：由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即
C64C21A22×A33=90 种
【解析】（1）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配方法；
（2）根据排列组合，采用消序法，求出相应的方法数即可；
（3）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配方式；
（4）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法；
（5）采用消序法，结合排列组合进行运算即可；
（6）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法.
第六章计数原理
20002501028706.2排列与组合
6.2排列与组合
0210820 知识点1-----排列
知识点1-----排列
排列的定义-----一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的 顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数的定义:
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号false表示
排列数公式:
排列数公式：false=n（n-1）（n-2）...（n-m+1）
（2）全排列：false=n（n-1）（n-2）×...×3×2×1
（3）阶乘：false=n！规定0！=1
（4）排列数的性质：false=nfalse，false=mfalse+false
683260172720注意：(1)排列定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”
(2)两个排列相同,需要满足两个条件:一是元素完全相同,二是元素的排列顺序相同.
注意：(1)排列定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”
(2)两个排列相同,需要满足两个条件:一是元素完全相同,二是元素的排列顺序相同.
128270186055 知识点2-----组合
知识点2-----组合
组合的定义
一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合数的定义
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号false表示
组合数公式
（1）组合数公式：false=false=false还可以写成
false=false 规定false=1
（2）组合数的两个性质
性质1：false=false 性质2：false=false+false
27813063500注意：
(1)组合与排列都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
注意：
(1)组合与排列都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
31750118745 要点探究
要点探究
排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
?排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.?以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）
插空法（解决相间问题）?间接法和去杂法等等
958853425190经典例题
经典例题
229870307975在求解排列与组合应用问题时，应注意：
?(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
(4)列出式子计算和作答
在求解排列与组合应用问题时，应注意：
?(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
(4)列出式子计算和作答
例题1.从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表．
（1）共有多少种不同的选派方法？
（2）若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同的选派方法？
（3）若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？
（注意：用文字简要叙述解题思路，然后列出算式求值．）
【答案】 （1）解：先选后排.所以有 C53?C42?A55=7200 种
（2）解：先满足女生甲担任语文科代表，然后再选3男1女，担任其它学科课代表.有 C31?C53?A55=720 种.
（3）解：要分两类研究：一是选出男生乙，满足条件应该有 A41C42C42A44 种.
二是没选出男生乙 C43C42A55 种.所以共有 C43C42A55+A41C42C42A44C=6336 种方法
【解析】 （1）利用从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表，先选后拍了得到结论；
（2）根据女生甲必须担任语文科代表，先定特殊元素，然后剩余的任意选择即可；
（3）男生乙不能担任英语科代表，先定英语课代表，然后其余任意排列即可。
?
?
例题2.在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
【答案】 （1）解：第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有 A77=5040 种方法；
第二步再松绑，给4个节目排序，有 A44=24 种方法.根据分步乘法计数原理，一共有 5040×24=120960 种
（2）解：第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有 A66=720 种方法.
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“×”选4个来排，一共有 A74=7×6×5×4=840 种，根据分步乘法计数原理，一共有 720×840=604800 种
（3）解：若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 A1212 种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 A1212A1010=A122=132 种排法
【解析】（1）相邻问题利用捆绑法；（2）不相邻问题采用插空法；（3）使用倍分法分析：先求出10个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案；
例题3. 7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种.
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
【答案】 （1）解：根据题意，先选出A，B，再从剩下的10人中选3人即可.
共有 C22C103=120 种
（2）解：根据题意，A，B都不选，只需从10人中选5人即可.
共有 C105=252 种
（3）解：根据题意分成两类，第一类：A，B都不选，共有 C105=252 种情况.
第二类：A，B中有一人当选，共有 C21C104=420 种情况.
所以共有 252+420=672 种
（4）解：根据题意12人选 5 人共有 C125 种情况，
没有女生入选共有 C75 种，只有1名女生入选共有 C74C51 种情况，
所以至少有2名女生当选共有 C125?C75?C74C51=596 种情况
（5）解：选出一名男生担任体育委员共有 C71 种情况，
选出一名女生担任班长共有 C51 种情况.
剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，
共有 C62×C41×A33 种情况.
根据分步计数原理得到共有 C71×C51×C62×C41×A33=12600 种
【解析】（1）先选出A，B，再从剩下的10人中选3人即可.（2）A，B都不选，只需从10人中选5人即可.（3）根据题意分成两类，第一类：A，B都不选，第二类：A，B中有一人当选，再利用分类计数原理计数即可.（4）根据题意用间接法，先计算12人选5人共有多少种情况，然后计算没有女生入选和只有1名女生入选共有多少种，再相减即可.（5）根据题意分3步，第一步计算选出一名男生担任体育委员的情况，第二步计算选出一名女生担任班长共的情况，第三步再从剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委的情况，最后利用分步计数原理计数即可.
例题4. 7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）
（1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾．
（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起．
（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻．
（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）．
（5）7人分成2人，2人，3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习．
【答案】 （1）解： A51A66=3600
（2）解： A33A55=720
（3）解： A44A53=1440
（4）解： A77A33=840
（5）解： C72C52A22A33=630
【解析】(1)由排列的概念以及分步计数原理计算出答案即可。
(2)由排列的概念以及分步计数原理计算出答案即可。
(3)由排列的概念以及分步计数原理计算出答案即可。
(4)由排列的定义即可计算出结果。
(5)由排列组合以及分步计数原理计算出结果即可。
207010-331470随堂练习
随堂练习
练习1.如图，从左到右有5个空格.
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
练习2.小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照．
（1）若小张和小徐必须相邻．则共有多少种排队种数？
（2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？
（3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？
练习3.有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.
（1）甲不在两端；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；
（4）甲不在排头，乙不在排尾。
练习4.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
142240-497205参考答案
参考答案
练习1【答案】 （1）解：利用排除法： A55?A44=96 种.
（2）解：根据乘法原理得到：共有 3×2×2×2×2=48 种涂法.
（3）解：若分成 2?2?1?1?1 的 5 组，则共有 C72?C52A22 种分法；
若分成 3?1?1?1?1 的 5 组，则共有 C73 种分法，
故共有 (C72?C52A22+C73)?A55=16800 种放法.
【解析】 （1）根据题意，分2步进行分析：①、分析0，易得0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步计数原理计算可得答案，
（2）根据题意，依次分析5个格子的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：即分成2-2-1-1-1的5组或分成3-1-1-1-1的5组，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，由分步计数原理计算可得答案．
练习2【答案】 （1）解：若小张和小徐必须相邻．则共有 A22A55=240 种；
（2）解：先将除大魏和小刘外的四人全排，则有 A44 种情况，可产生5个空，再将大魏和小刘插空，则共有 A44A52=480 种；
（3）解：因为小张和小徐必须相邻，则这两人有 A22=2 种情况；
若先排大魏和小刘，再排小平和老金，则有 A22A42=24 种情况；
若先排小平和老金，再排大魏和小刘，则有 A22A42=24 种情况；
因此共有 2×(24+24)=96 种排队种数.
【解析】（1）利用已知条件结合排列数公式，进而求出小张和小徐必须相邻时共有的排队种数 。
（2）利用已知条件结合排列数公式，再利用分步乘法计数原理，进而求出大魏和小刘不能相邻时的共有排队种数。
（3）利用已知条件结合排列数公式，再利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，进而求出小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻时的共有排队种数。
练习3【答案】 （1）解：假设8个人对应8个空位，甲不站两端，有6个位置可选，则其他7个人对应7个位置，故有： 6A77=30240 种情况
（2）解：把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有 2A77=10080 种情况；
（3）解：把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空，故有 A55A63=14400 种情况；
（4）解：利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，故有 A88?2A77+A66=30960 种情况
【解析】（1）先把甲安排到中间6个位置的一个，再对剩下位置全排列；（2）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；（3）把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空，结合公式求解；（4）可采用间接法得到；
练习4【答案】 （1）解：先从6本书中选1本，有 C61 种分配方法；
再从剩余5本书中选择2本，有 C52 种分配方法
剩余的就是2本书，有 C33 种分配方法
所以总共有 C61C52C33=60 种分配方法。
（2）解：由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有
C61C52C33A33=360 种。
（3）解：从6本书中选择2本书，有 C62 种分配方法；
再从剩余4本书中选择2本书，有 C42 种分配方法；
剩余的就是2本书，有 C22 种分配方法;
所以有 C62C42C22=90 种分配方法。
但是，该过程有重复。假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是 (AB),(CD),(EF) 。则所有情况为 (AB,CD,EF) ， (AB,EF,CD) ， (CD,AB,EF) ， (CD,EF,AB) ， (EF,AB,CD) ， (EF,CD,AB) 。
所以分配方式共有 C62C42C22A33=15 种
（4）解：由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为
C62C42C22A33×A33=90 种
（5）解：从6本书中选4本书的方法有 C64 种
从剩余2本书中选1本书有 C21 种
因为在最后两本书选择中发生重复了 A22
所以总共有 C64C21A22=15 种
（6）解：由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即
C64C21A22×A33=90 种
【解析】（1）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配方法；
（2）根据排列组合，采用消序法，求出相应的方法数即可；
（3）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配方式；
（4）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法；
（5）采用消序法，结合排列组合进行运算即可；
（6）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法.