3.5 确定圆的条件 一课一练（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.5 确定圆的条件 一课一练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-12 08:58:34 | ||
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文档简介
初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.5 确定圆的条件
一、单选题
1.给定下列条件可以确定一个圆的是（?? ）
A.?已知圆心??????????????????????B.?已知半径??????????????????????C.?已知直径??????????????????????D.?不在同一直线上三点
2.若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（??? ）.
A.?锐角三角形????????????????????????B.?直角三角形????????????????????????C.?钝角三角形????????????????????????D.?不能确定
3.三角形的外心具有的性质是（ ???）
A.?到三边距离相等???????????B.?到三个顶点距离相等???????????C.?外心在三角形外???????????D.?外心在三角形内
4.下列条件中，能确定圆的是（? ?）
A.?以已知点O为圆心???????????????????????????????????????????????B.?以1cm长为半径
C.?经过已知点A，且半径为2cm??????????????????????????????D.?以点O为圆心，1cm为半径
5.如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(?? )
A.?△ACD的外心????????????????????B.?△ABC的外心????????????????????C.?△ACD的内心????????????????????D.?△ABC的内心
6.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（? ）
A.?100°?????????????????????????????????????B.?130°?????????????????????????????????????C.?50°?????????????????????????????????????D.?65°
7.已知：不在同一直线上的三点A,B,C
求作：⊙O，使它经过点A,B,C
作法：如图，
⑴连接AB ,作线段AB的垂直平分线DE；
⑵连接BC ,作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O；
⑶以O为圆心，OB 长为半径作⊙O．
⊙O就是所求作的圆.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（?? ）
A.?连接AC, 则点O是△ABC的内心????????????????????????????B.?
C.?连接OA,OC，则OA, OC不是⊙O的半径?????????????D.?若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上
8.现有如下4个命题：
①过两点可以作无数个圆．②三点可以确定一个圆．③任意一个三角形有且只有一个外接圆．④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有 ??
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题
9.中，两条直角边的长分别是6cm和8cm，则 的外接圆的半径是________cm.
10.已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．
11.如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标分别是 是 的外接圆，则圆心 的坐标为________， 的半径为________．
12.已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为________．
13.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径=________．
三、解答题
14.如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
15.如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.
16.如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
17.如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=， 求阴影部分的面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：A、不能确定.因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定.因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
D.不在同一直线上三点可以确定一个圆.故符合题意；
故答案为：D.
2.【答案】 B
解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为：B.
3.【答案】 B
解：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点
∴外心到三角形的顶点的距离相等。
故答案为：B.
4.【答案】 D
解：∵圆心确定，半径确定后就可以确定圆，
∴D选项符合题意，
故答案为：D.
5.【答案】 B
解：由图可得：OA=OB=OC= ，
所以点O在△ABC的外心上，
故答案为：B.
6.【答案】 B
解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：B．
7.【答案】 D
解：A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故 A不符合题意；
B: 根据题意无法证明 ，故 B不符合题意；
C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙O的半径，故 C不符合题意
D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故 D符合题意
故答案为：D.
8.【答案】 B
解：①过两点可以作无数个圆，是真命题．
②不在同一直线上的三点可以确定一个圆，是假命题．
③任意一个三角形有且只有一个外接圆，是真命题．
④任意一个圆有无数个一个内接三角形，是假命题；
故选：
二、填空题
9.【答案】 5
解：由勾股定理得： 的斜边长为 ，
直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，
的外接圆的半径为 ，
故答案为：5.
10.【答案】 钝角三角形
解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，
∴△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
11.【答案】 （3,3）；
解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，
∴M点的坐标为（3，3），
∵ ，
∴⊙M的半径为 ．
故答案为（3，3）， ．
12.【答案】 2
解：如图，
连接OB，
∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∵OC＝OD，∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝45°，
∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO＝15°，
∴∠BOC＝150°，
∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD＝OD＝2．
故答案为2．
13.【答案】
解： ∵a+b2+|c-6|+28=4 +10b，
∴（a-1-4 +4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（ -2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴ ?2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2 ，
解得，r= ，
故答案为： ．
三、解答题
14.【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF． ∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
15.【答案】解：如图所示：
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC外接圆的半径为8.
16.【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF． ∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， ?BC为半径的圆上．
17.【答案】 解：（1）证明：如图1所示：∵O是等边△ABC的外心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD，∵四边形OADC为平行四边形，∴四边形OADC为菱形，∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC，∠2=∠3，∴OB=OC，∴点O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，∵四边形OADC为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，∴AD=OB，在△BOC和△CDA中，， ∴△BOC≌△CDA（SAS）；（2）解：作OH⊥AB于H，如图2所示，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH⊥AB，∴BH=AH=AB=， OH=BH=1，OB=2OH=2，∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣××1=π﹣．
一、单选题
1.给定下列条件可以确定一个圆的是（?? ）
A.?已知圆心??????????????????????B.?已知半径??????????????????????C.?已知直径??????????????????????D.?不在同一直线上三点
2.若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（??? ）.
A.?锐角三角形????????????????????????B.?直角三角形????????????????????????C.?钝角三角形????????????????????????D.?不能确定
3.三角形的外心具有的性质是（ ???）
A.?到三边距离相等???????????B.?到三个顶点距离相等???????????C.?外心在三角形外???????????D.?外心在三角形内
4.下列条件中，能确定圆的是（? ?）
A.?以已知点O为圆心???????????????????????????????????????????????B.?以1cm长为半径
C.?经过已知点A，且半径为2cm??????????????????????????????D.?以点O为圆心，1cm为半径
5.如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(?? )
A.?△ACD的外心????????????????????B.?△ABC的外心????????????????????C.?△ACD的内心????????????????????D.?△ABC的内心
6.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（? ）
A.?100°?????????????????????????????????????B.?130°?????????????????????????????????????C.?50°?????????????????????????????????????D.?65°
7.已知：不在同一直线上的三点A,B,C
求作：⊙O，使它经过点A,B,C
作法：如图，
⑴连接AB ,作线段AB的垂直平分线DE；
⑵连接BC ,作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O；
⑶以O为圆心，OB 长为半径作⊙O．
⊙O就是所求作的圆.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（?? ）
A.?连接AC, 则点O是△ABC的内心????????????????????????????B.?
C.?连接OA,OC，则OA, OC不是⊙O的半径?????????????D.?若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上
8.现有如下4个命题：
①过两点可以作无数个圆．②三点可以确定一个圆．③任意一个三角形有且只有一个外接圆．④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有 ??
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题
9.中，两条直角边的长分别是6cm和8cm，则 的外接圆的半径是________cm.
10.已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．
11.如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标分别是 是 的外接圆，则圆心 的坐标为________， 的半径为________．
12.已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为________．
13.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径=________．
三、解答题
14.如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
15.如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.
16.如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
17.如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=， 求阴影部分的面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：A、不能确定.因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定.因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
D.不在同一直线上三点可以确定一个圆.故符合题意；
故答案为：D.
2.【答案】 B
解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为：B.
3.【答案】 B
解：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点
∴外心到三角形的顶点的距离相等。
故答案为：B.
4.【答案】 D
解：∵圆心确定，半径确定后就可以确定圆，
∴D选项符合题意，
故答案为：D.
5.【答案】 B
解：由图可得：OA=OB=OC= ，
所以点O在△ABC的外心上，
故答案为：B.
6.【答案】 B
解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：B．
7.【答案】 D
解：A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故 A不符合题意；
B: 根据题意无法证明 ，故 B不符合题意；
C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙O的半径，故 C不符合题意
D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故 D符合题意
故答案为：D.
8.【答案】 B
解：①过两点可以作无数个圆，是真命题．
②不在同一直线上的三点可以确定一个圆，是假命题．
③任意一个三角形有且只有一个外接圆，是真命题．
④任意一个圆有无数个一个内接三角形，是假命题；
故选：
二、填空题
9.【答案】 5
解：由勾股定理得： 的斜边长为 ，
直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，
的外接圆的半径为 ，
故答案为：5.
10.【答案】 钝角三角形
解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，
∴△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
11.【答案】 （3,3）；
解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，
∴M点的坐标为（3，3），
∵ ，
∴⊙M的半径为 ．
故答案为（3，3）， ．
12.【答案】 2
解：如图，
连接OB，
∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∵OC＝OD，∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝45°，
∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO＝15°，
∴∠BOC＝150°，
∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD＝OD＝2．
故答案为2．
13.【答案】
解： ∵a+b2+|c-6|+28=4 +10b，
∴（a-1-4 +4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（ -2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴ ?2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2 ，
解得，r= ，
故答案为： ．
三、解答题
14.【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF． ∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
15.【答案】解：如图所示：
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC外接圆的半径为8.
16.【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF． ∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， ?BC为半径的圆上．
17.【答案】 解：（1）证明：如图1所示：∵O是等边△ABC的外心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD，∵四边形OADC为平行四边形，∴四边形OADC为菱形，∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC，∠2=∠3，∴OB=OC，∴点O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，∵四边形OADC为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，∴AD=OB，在△BOC和△CDA中，， ∴△BOC≌△CDA（SAS）；（2）解：作OH⊥AB于H，如图2所示，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH⊥AB，∴BH=AH=AB=， OH=BH=1，OB=2OH=2，∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣××1=π﹣．