3.3 垂径定理 一课一练（含解析）
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初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.3 垂径定理
一、单选题
1.如图，⊙O的弦AB＝16，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的直径等于（ ）
A.?12?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?24
2.如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD=2 ，EM=5，则⊙O的半径为（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?6
3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，水面宽 ，则截面圆心 到水面的距离 是（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2.5
4.如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=8cm，则油面的深度为（?? ）
A.?2cm?????????????????????????????????B.?2．5cm?????????????????????????????????C.?3cm?????????????????????????????????D.?3．5cm
5.如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（?? ）
A.?3cm????????????????????????????????B.?3 cm????????????????????????????????C.?4cm????????????????????????????????D.?3 cm
6.已知⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM为3，则弦AB的长是（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
7.如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，且BE：AE=1：4，则CD的长为（??? ）
A.?10??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?8??????????????????????????????????????????D.?9
8.如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?5个???????????????????????????????????????C.?6个???????????????????????????????????????D.?7个
二、填空题
9.如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为________cm.
10.如图，AB为圆O的弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2?，AB=8?，则圆O的半径为________．
11.运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图），其中AB为8cm，小坑的最大深度为3cm，则该铅球的半径为________cm．
12.如图，AB是 的直径，弦 于点E， ， ，则 ________cm.
13.工程上常用钢珠来测量零件口宽，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠的顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个零件的口宽AB的长度是________
三、解答题
14.⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离.
15.往直径为 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 ，求油的最大深度．
16.如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有64m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
17.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 中点， 为拱门最高点，圆心 在线段 上， 分米，求拱门所在圆的半径．
18.一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB ．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
解：连接OA，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，且AM= =8，
在Rt△OAM中，OA= =10，
∴圆的直径为20.
故答案为：C.
2.【答案】 B
解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2 ，
∴CM=DM= ，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2 ，
R2=（5-R）2+（ ）2 ，
解得R=3.
故答案为：B.
3.【答案】 B
解： ， 过圆心 点，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为：B.
4.【答案】 A
解：过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=8cm，
∴AD= AB=4cm，
在Rt△AOD中，OD= = =3（cm），
∴油面深度为：5-3=2（cm）
故答案为：A．
5.【答案】 B
解：如图所示，
由题意知 ，且 ，
，
，
则 .
故答案为： .
6.【答案】 D
解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM= AB，
由勾股定理可得，AM= =4，
所以AB=2AM=8.
故答案为：D.
7.【答案】 A
解：连接OC
∵ BE：AE=1：4?，设BE=x，AE=4x
∴AB= BE+AE=5x
∵ AB=10
∴5x=10，即x=2
∵OC=OB=5
∴OE=OB-BE=5-2=3
∴在Rt△OCE中，
∴
∴CD=2CE=8
故答案为：C
8.【答案】 D
解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝16，∴AP＝BP＝8，
在直角三角形AOP中，OA＝10，AP＝8，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ＝6，即OP的最小值为6；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝10，
∴6≤OP＜10，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝6，7，8，9
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有7个
故答案为：D.
二、填空题
9.【答案】 2
解：过O作OE⊥AB，垂足为E，
根据垂径定理，AE＝ AB＝ ×10＝5cm，
CE＝ CD＝ ×6＝3cm，
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm，
故答案为：2.
10.【答案】
解：如图，连接OA；
设OA=OC=x，则OE=OC-CE=x-2?；
∵OC⊥AB，
∴AE=BE= ；
在Rt△AOE中：?? ，
解得：??
故答案为：．
11.【答案】
解：如图所示：作OD⊥AB于D，
∵AB＝8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为3cm，
∴AD＝ AB＝4cm．
设OA＝rcm，则OD＝（r?3）cm，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2 ， 即r2＝（r?3）2＋42 ，
解得r＝ ，即该铅球的半径为 cm，
故答案为 ．
12.【答案】 9
解： ，AB是直径，
，
在 中， ，
，
故答案为9.
13.【答案】 8 mm
解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm.
故答案为：8 mm.
三、解答题
14.【答案】 解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm.
15.【答案】 解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．
∵OC⊥AB于点D
∴BD＝ AB＝ ×60＝30cm，
∵⊙O的直径为68cm
∴OB=OC＝34cm
∵在Rt△ODB中，OD= （cm），
∴DC＝OC﹣OD＝34﹣16＝18（cm）；
答：油的最大深度为18cm．
16.【答案】 解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM? A’N=B’N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x-18)2+302 ， 解得x=34
∴ON=OP-PN=34-4=30（m)
在△A'ON中，由勾股定理可得
A'N= = =16(m)
A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施。
17.【答案】 解：连接
过圆心， 为 中点，
，
为 中点，
，
设半径为 分米，则 ，
，
，
在 中， ，
，
．
拱门所在圆的半径是 分米．
18.【答案】 解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= =4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
答：这个孔道的直径为8mm．
一、单选题
1.如图，⊙O的弦AB＝16，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的直径等于（ ）
A.?12?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?24
2.如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD=2 ，EM=5，则⊙O的半径为（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?6
3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，水面宽 ，则截面圆心 到水面的距离 是（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2.5
4.如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=8cm，则油面的深度为（?? ）
A.?2cm?????????????????????????????????B.?2．5cm?????????????????????????????????C.?3cm?????????????????????????????????D.?3．5cm
5.如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（?? ）
A.?3cm????????????????????????????????B.?3 cm????????????????????????????????C.?4cm????????????????????????????????D.?3 cm
6.已知⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM为3，则弦AB的长是（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
7.如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，且BE：AE=1：4，则CD的长为（??? ）
A.?10??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?8??????????????????????????????????????????D.?9
8.如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?5个???????????????????????????????????????C.?6个???????????????????????????????????????D.?7个
二、填空题
9.如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为________cm.
10.如图，AB为圆O的弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2?，AB=8?，则圆O的半径为________．
11.运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图），其中AB为8cm，小坑的最大深度为3cm，则该铅球的半径为________cm．
12.如图，AB是 的直径，弦 于点E， ， ，则 ________cm.
13.工程上常用钢珠来测量零件口宽，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠的顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个零件的口宽AB的长度是________
三、解答题
14.⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离.
15.往直径为 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 ，求油的最大深度．
16.如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有64m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
17.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 中点， 为拱门最高点，圆心 在线段 上， 分米，求拱门所在圆的半径．
18.一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB ．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
解：连接OA，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，且AM= =8，
在Rt△OAM中，OA= =10，
∴圆的直径为20.
故答案为：C.
2.【答案】 B
解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2 ，
∴CM=DM= ，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2 ，
R2=（5-R）2+（ ）2 ，
解得R=3.
故答案为：B.
3.【答案】 B
解： ， 过圆心 点，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为：B.
4.【答案】 A
解：过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=8cm，
∴AD= AB=4cm，
在Rt△AOD中，OD= = =3（cm），
∴油面深度为：5-3=2（cm）
故答案为：A．
5.【答案】 B
解：如图所示，
由题意知 ，且 ，
，
，
则 .
故答案为： .
6.【答案】 D
解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM= AB，
由勾股定理可得，AM= =4，
所以AB=2AM=8.
故答案为：D.
7.【答案】 A
解：连接OC
∵ BE：AE=1：4?，设BE=x，AE=4x
∴AB= BE+AE=5x
∵ AB=10
∴5x=10，即x=2
∵OC=OB=5
∴OE=OB-BE=5-2=3
∴在Rt△OCE中，
∴
∴CD=2CE=8
故答案为：C
8.【答案】 D
解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝16，∴AP＝BP＝8，
在直角三角形AOP中，OA＝10，AP＝8，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ＝6，即OP的最小值为6；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝10，
∴6≤OP＜10，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝6，7，8，9
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有7个
故答案为：D.
二、填空题
9.【答案】 2
解：过O作OE⊥AB，垂足为E，
根据垂径定理，AE＝ AB＝ ×10＝5cm，
CE＝ CD＝ ×6＝3cm，
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm，
故答案为：2.
10.【答案】
解：如图，连接OA；
设OA=OC=x，则OE=OC-CE=x-2?；
∵OC⊥AB，
∴AE=BE= ；
在Rt△AOE中：?? ，
解得：??
故答案为：．
11.【答案】
解：如图所示：作OD⊥AB于D，
∵AB＝8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为3cm，
∴AD＝ AB＝4cm．
设OA＝rcm，则OD＝（r?3）cm，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2 ， 即r2＝（r?3）2＋42 ，
解得r＝ ，即该铅球的半径为 cm，
故答案为 ．
12.【答案】 9
解： ，AB是直径，
，
在 中， ，
，
故答案为9.
13.【答案】 8 mm
解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm.
故答案为：8 mm.
三、解答题
14.【答案】 解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm.
15.【答案】 解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．
∵OC⊥AB于点D
∴BD＝ AB＝ ×60＝30cm，
∵⊙O的直径为68cm
∴OB=OC＝34cm
∵在Rt△ODB中，OD= （cm），
∴DC＝OC﹣OD＝34﹣16＝18（cm）；
答：油的最大深度为18cm．
16.【答案】 解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM? A’N=B’N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x-18)2+302 ， 解得x=34
∴ON=OP-PN=34-4=30（m)
在△A'ON中，由勾股定理可得
A'N= = =16(m)
A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施。
17.【答案】 解：连接
过圆心， 为 中点，
，
为 中点，
，
设半径为 分米，则 ，
，
，
在 中， ，
，
．
拱门所在圆的半径是 分米．
18.【答案】 解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= =4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
答：这个孔道的直径为8mm．