3.8 圆内接正多边形 一课一练（含解析）

初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.8 圆内接正多边形
一、单选题
1.圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为(??? )
A.?3???????????????????????????????????????B.?3 ???????????????????????????????????????C.?3 ???????????????????????????????????????D.?6
2.⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?2
3.若一个正六边形的边心距为2 ，则该正六边形的周长为（?? ）
A.?24 ??????????????????????????????????????B.?24??????????????????????????????????????C.?12 ??????????????????????????????????????D.?4
4.下列命题:①等弧所对的圆周角相等;②平分弦的直径垂直于弦;③等边三角形的外心也是它的内心;④正五边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.其中正确的命题是(??? )
A.?①③?????????????????????????????????B.?②④?????????????????????????????????C.?①②③?????????????????????????????????D.?①②③④
5.一个半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（　　）
A.?24cm2????????????????????????????B.?cm2????????????????????????????C.?cm2????????????????????????????D.?cm2
6.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（?? ）
A.?cm????????????????????????????B.?5 cm????????????????????????????C.?3 cm????????????????????????????D.?10 cm
7.半径为 的圆内接正三角形的面积是（ ?）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
8.在圆内接正方形ABCD中，正方形的边长AB是8，则这个正方形的中心角和边心距是（?? ）
A.?90°，4???????????????????????????????B.?90°，1???????????????????????????????C.?45°，4???????????????????????????????D.?45°，1
二、填空题
9.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为________.
10.正方形的边长为6，则该正方形的边心距是________．
11.已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为________．
12.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是________．
13.如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在 ?上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n=________.
三、解答题
14.如图，已知正三角形ABC内接于 ，AD是 的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若 ，求 的半径．
15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
16.如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A =∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
17.如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
18.如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：∵圆内接正六边形的边长为3，
∴该圆的半径为3，
∴直径为2×3=6.
故答案为：D.
2.【答案】 A
3.【答案】 B
解：如图，
在Rt△AOG中，OG＝2 ，∠AOG＝30°，
∴OA＝OG÷cos 30°＝ ．
这个正六边形的周长＝24．
故答案为：B ．
4.【答案】 A
解：①正确；②平分弦的直径不一定垂直于弦，所以②错误；③正确；④正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以④错误；综上，选A. ?
5.【答案】 B
解：连接正六边形的中心与各个顶点,得到六个等边三角形,等边三角形的边长是2,因而面积是.
因而正六边形的面积．
故选B．
6.【答案】 B
解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故答案为：B.
7.【答案】 D
解：如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC= =120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD= ×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD= ，BD=OB?cos30°= ，
∴BC=2BD=2× = ，
∴S△BOC= ×BC×OD= × = ，
∴S△ABC=3× ．
故答案为：D．
8.【答案】 A
解：如图，
正方形的边长为8，
由中心角只有四个可得出 ，
中心角是 ，
正方形的外接圆半径是： ，
， ，
，
边心距为：4.
故答案为： .
二、填空题
9.【答案】 2：
解：设正六边形的半径是r，
则外接圆的半径r，
内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是 r，
因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2： .
故答案为2： .
10.【答案】 3
解：边心距=
11.【答案】 πa2
解：边长是a,则利用特殊三角形知内切圆半径是 , .
故答案为： πa2 .
12.【答案】
解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°= ；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝ ，
则该三角形的三边分别为：, , ，
∵12+( )2=( )2 ，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是： ×1× = .
故答案为 .
13.【答案】 24
解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴
∴
∴
故答案为24；
三、解答题
14.【答案】 解：如图所示，连接OA、O
D、OC ，
等边 内接于 ，AD为内接正十二边形的一边，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即 的半径为6cm ．
15.【答案】 解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2× = ，
∴⊙O的面积=π（ ）2=2π．
16.【答案】证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA
∴弧BDE=弧CDA，
∴弧BDE?弧CDE=弧CDA?弧CDE，即弧BC=AE，
∴BC=AE.
同理可证AB=CD=DE=AE
∴AB=CD=DE=AE=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴五边形ABCDE是正五边形
17.【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，
∴cos30°= = = ，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
18.【答案】 解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=CD?cos45°=5×=5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．