2020-2021学年北师大版七年级数学下册5.3角平分线课堂同步训练(Word版，附答案）

[角平分线]
一、选择题
1.如图,∠1=∠2,PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D,E,则下列结论中错误的是
(　　)
A.PD=PE
B.BD=BE
C.∠BPD=∠BPE
D.BP=BE
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DB=5,BC=8,则DE的长为(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
3.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示,能说明∠AOC=∠BOC的依据是(　　)
A.角平分线上的点到角两边的距离相等
B.ASA
C.SSS
D.AAS
4.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=3,则AB与CD之间的距离为
(　　)
A.3
B.3.5
C.4
D.6
二、填空题
5.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若BC=32,且BD∶CD=9∶7,则点D到AB的距离为　　　　.?
6.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ长的取值范围是　　　　.?
7.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是14
cm2,AB=9
cm,AC=5
cm,则DE的长是　　　　cm.?
8.在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,AB=13,AC=12,BC=5.在△ABC的内部找一点P,使得点P到△ABC的三边的距离相等,则这个距离是　　　　.?
9.如图,l1,l2,l3是三条两两相交的公路,现需修建一个仓库,要求仓库到三条公路的距离相等,则仓库的可能地址有　　　　处.
10.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=8.BD⊥CD,P是BC边上一动点,连接PD.若∠ADB=∠C,则PD长的最小值为　　　　　.?
三、解答题
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,交AC于点E,DE垂直平分AB,垂足为D.试说明:BE+DE=AC.
12.如图,P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD交OP于点E.试说明:CE=DE.
13.把两个同样大小的含30°角的三角尺像如图所示那样放置,其中M是AD与BC的交点.
(1)试说明MC的长度等于点M到AB的距离;
(2)求∠AMB的度数.
14.如图2,点M和点N在∠AOB的内部.
(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等(保留作图痕迹,不写作法);
(2)请说明作图理由.
15.如图所示,已知∠B=∠C=90°,DM平分∠ADC,AM平分∠DAB.试说明:M是BC的中点.
16如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B和∠D都是直角.
(1)试说明:BC=CD;
(2)若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变,猜想:BC与CD的长度是否一定相等?请说明理由.
1.D　2.A　3.C　4.D　
5.[答案]
14
[解析]
如图,过点D作DE⊥AB于点E.
因为BC=32,BD∶CD=9∶7,
所以CD=32×=14.
又因为∠C=90°,AD平分∠BAC,所以DE=CD=14.
即点D到AB的距离为14.故答案为14.
6.PQ≥2　7.2　8.2
9.[答案]
4　
[解析]
如图所示,满足条件的有:(1)三角形两个内角平分线的交点,共1处;(2)任意两条外角平分线的交点,共3处.故答案为4.
10.8
11.解:因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC.
又因为DE⊥AB,BE平分∠ABC,
所以CE=DE.
因为DE垂直平分AB,所以AE=BE.
因为AE+CE=AC,所以BE+DE=AC.
12.解:因为P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,
所以PC=PD,∠POC=∠POD.
因为∠POC+∠CPE=90°,∠POD+∠DPE=90°,所以∠CPE=∠DPE.
在△CPE和△DPE中,
因为PC=PD,∠CPE=∠DPE,PE=PE,
所以△CPE≌△DPE(SAS),所以CE=DE.
13.解:(1)如图,过点M作MN⊥AB于点N.
由题意可得∠CAD=∠DAB=30°.
因为∠C=90°,MN⊥AB,
所以MC=MN(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等),
则MC的长度等于点M到AB的距离.
(2)由题意知∠MAB=∠MBA=30°,所以∠AMB=180°-30°-30°=120°.
14.解:(1)如图所示.
(2)理由:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
15.解:过点M作MN⊥AD于点N.因为DM平分∠ADC,∠C=90°,MN⊥AD,所以MN=MC.因为AM平分∠DAB,∠B=90°,MN⊥AD,所以MN=MB,所以MB=MC,
即M是BC的中点.
[素养提升]
解:(1)因为∠B=∠D=90°,
所以BC⊥AB,CD⊥AD.
又因为AC平分∠BAD,所以BC=CD.
(2)一定相等.
理由:如图,设∠B为锐角,过点C作CE⊥AB于点E,则点E必在线段AB上.
因为∠B和∠ADC互为补角,∠B为锐角,
所以∠ADC是钝角.
过点C作CF⊥AD于点F,则点F必在线段AD的延长线上,所以∠CDF与∠ADC互补,所以∠B=∠CDF.
因为AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,
所以CE=CF.又因为∠CEB=∠CFD=90°,
所以△BCE≌△DCF(AAS),所以BC=CD.
同理可证∠B为钝角时,BC=CD,由(1)可知∠B为直角时,BC=CD.
综上可得,BC与CD的长度一定相等.