北大网校经典试题高三数学终结性测试卷

期末复习（上学期） 高三数学终结性测试卷
班级：___________　　　姓名：___________
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．设z∈C，下列命题中正确命题的个数为
①若|z|≤a则－a≤z≤a；②|z|2=z2；③z·=z2；④|z2|=|z|2．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．设随机变量ξ的分布列由P(ξ=k)=C()k，k=1，2，3，…给出，则常数C等于
A． B．1
C．0 D．2
3．一牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率为0．02，若发病的牛数为ξ头，则Dξ等于
A．0．2 B．0．196
C．0．8 D．0．812
4．若无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，各项和为S，且S=Sn+2an，则{an}的公比为
A．－ B．
C．－ D．
5．首项为1的无穷等比数列{an}的各项之和为S，Sn表示该数列的前n项之和，且 (Sn－aS)=q(q为公比)，则实数a的取值范围为
A．{a|≤a<3且a≠1} B．{a|C．{a|≤a≤3} D．{a|≤a≤3且a≠1}
6．已知 (1+)n=e(e为常数)，则 (1+)n等于
A．1 B．e
C． D．e3
7．若f(x)=在点x=0处连续，则f(0)等于
A． B．
C．1 D．0
8．函数y=的导数是
A．· B．·
C．· D．·
9．函数f(x)=lnx－x在(0，e)上的最大值为
A．1－e B．－1
C．－e D．0
10．下列结论中，正确的是
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
11．函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最大值和最小值分别是
A．5，－15 B．5，－4
C．－4，－10 D．5，－16
12．若随机变量ξ~B(10，)，则概率最大时ξ的取值为
A．5 B．6
C．7 D．8
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知y= lnx，则y′|x=1=___________．
14．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=___________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________．
15．函数y=exlnx的微分是___________．
16．某保险公司开办了一项保险业务，若在一年内事件E发生，则公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使保险公司收益的期望值等于a的10%，则保险公司要求参保者交保险金___________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分）
17．设两个复数集M={z|z=t+i(4－t2)，t∈R}，N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}的交集为非空集，求实数λ的取值范围．
18．设数列{an}首项a1=1，前n项和Sn，满足3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t>0，n≥2)
(1)设t为常数，求证：{an}是等比数列；
(2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1，bn=f()(n≥2)，求；
(3)求b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1．
19．一水渠的横截面如图所示，它的曲边是抛物线形，口宽AB=2米，渠深OC=1．5米，水面EF距AB 0．5米．
(1）求截面图中水面宽度；
(2）如果把此水渠改造为横截面是等腰梯形，并要求渠深不变，不准往回填土，只能挖土，试求当截面梯形的下底边长为多少时，才能使所挖的土最少？
参考答案
一、1．B　2．A　3．B　4．B　5．A　6．B　7．A　8．A　9．B　10．B　11．A　12．C
二、13．　14．　25　 15．dy=ex(lnx+)dx　16．(p+0．1)a元
三、17．解：由M得消去t，得y=4－x2
由N得消去θ，得9x2+4(y－λ)2－36=0
由消去x，得
9(4－y)+4(y－λ)2－36=0
36－9y+4y2－8λy+4λ2－36=0
4y2－(9+8λ)y+4λ2=0
Δ=(9+8λ)2－64λ2≥0
(9+16λ)×9≥0
∴λ≥－
18．解：(1）∵3tSn－(2t+3)Sn－1=3t ①
∴3tSn+1－(2t+3)Sn=3t ②
②－①得3t(Sn+1－Sn)－(2t+3)(Sn－Sn－1)=0
∴3tan+1－(2t+3)an=0，∵t>0
∴
∴{an}是首项为a1=1，公比为q=的等比数列．
(2）∵f(t)= =+
bn=f()
∴bn=+bn－1
∴bn－bn－1= (n≥2)
∴{bn}是首项为b1=1，公差为d=的等差数列，于是bn=1+(n－1)=(2n+1)
又an=()n－1
∴=
(3)因为bn=，b2n=
所以{b2n}成等差数列，公差为
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)=－ (b2+b4+…+b2n)
=－
19．解：建立直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x2=2p(y+)
∵点B(1，0）在抛物线上，∴12=2p(0+)，
∴p=
∴抛物线方程为x2= (y+) ①
(1）把F点的坐标(a，－)代入①得a=
∴EF=米
∴水面宽度为米．
(2）设M(t， t2－)是抛物线上一点(t>0)，因改造水渠不能填土只能挖土，还要求挖的土最少，所以只能沿过M点与抛物线相切的切线挖土．
由y=x2－得y′=3x
y′|x=t=3t
∴过点M的切线方程为y=3t(x－t)+( t2－)
当y=0时，x1= (t+)
当y=－时，x2=
∴截面梯形的面积为(2t+)(t>0)
∵ (2t+)≥
∴当2t=，即t=时，截面面积有最小值．
此时梯形下底边长为t=米