人教版 八年级数学下册 第18章 平行四边形 中位线 章末专题复习训练（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 八年级数学下册 第18章 平行四边形 中位线 章末专题复习训练（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 612.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-12 06:06:32 | ||
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文档简介
人教版八年级下册第18章《平行四边形》章末专题复习
《中位线》相关训练
一．选择题
1．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE等于（ ）
A．AB B．AC C．AB D．AC
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，F，G为BC上的点，连接DG、EF，若AB＝5cm，BC＝8cm，FG＝4cm，则△HFG的面积为（ ）
A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2
3．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（ ）
A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
4．如图，在三边互不相等的△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，连接DE，过点C作CM∥AB交DE的延长线于点M，连接CD、EF交于点N，则图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
5．如图，在△ABC中，动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，则线段CP的中点Q运动的速度为（ ）
A．3cm/s B．2cm/s C．1.5cm/s D．1cm/s
6．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
7．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
8．如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l于点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点 E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上两点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A．10 B．8 C．2 D．20
11．如图，BD、CE是△ABC的两条角平分线，AN⊥BD于点N，AM⊥CE于点M，连接MN，若△ABC的周长为17，BC＝7，则MN的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
12．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
13．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CF⊥AD于点F，AC＝5，AB＝13，则EF的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
15．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
二．填空题（共10小题）
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ ．
17．△ABC中，∠ACB＝90°，BD＝AC，M、N分别为CD、AB的中点，CD＝2，MN＝2，则CN＝ ．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，则∠EPF＝ °．
19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝ ．
20．如图，四边形ABCD中，∠BMF+∠CNF＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，AB＝5，CD＝12，则EF＝ ．
21．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
22．如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC＝6，则HE＝ ．
23．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝ ．
24．如图，△ABC的顶点落在两条平行线上，点D、E、F分别是△ABC三边中点，平行线间的距离是8，BC＝6，移动点A，当CD＝BD时，EF的长度是 ．
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CD与△ABC的两条角平分线AE，BF分别交于H，G两点，点P，Q分别为HE，GF的中点，连接PQ，若AC＝4，BC＝6，则PQ的长为 ．
三．解答题（共7小题）
26．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长分别与BA、CD的延长线交于点M、N，∠BME与∠CNE的大小关系如何？试说明理由．
27．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD中点，连EF交BD、AC于P、Q求证：OP＝OQ．
28．（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG＝（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线BC相交]
（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
29．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）
（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．
30．如图，在△ABC中，D为AC上一点，AB＝CD，F是AD的中点，M为BC的中点，连接MF并延长交BA延长线于点E，G为EF的中点，求证：AG⊥ME．
31．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．
32．如图，在四边形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC＝270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF＝4，求AB2+CD2的值．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC＝∠DEF．
又∵点D是AB的中点，
∴EF＝AE．
∵∠DEF＝∠BFC＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+∠C）＝90°﹣∠C，
∴∠FBC＝∠BFC，
∴BC＝FC，
∴BC+2AE＝AC．
故选：B．
2．解：连接，作AK⊥BC于K．
∵AB＝AC，
∴BK＝CK＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABK中，AK＝＝＝3，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE是中位线，即平分三角形的高且DE＝8÷2＝4，
∴DE＝BC＝FG，
∴△DEH≌△GFH，H也是DG，EF的中点，
∴△HFG的高是AK÷2＝1.5÷2＝0.75，
∴S△HFG＝4×0.75÷2＝1.5．
故选：B．
3．解：连接AQ，
∵点Q是边BC上的定点，
∴AQ的大小不变，
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EF＝AQ，
∴线段EF的长度保持不变，
故选：A．
4．解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠EDC＝∠FCD，
∵F是BC边的中点，
∴CF＝BC，
∴DE＝CF，
在△DNE和△CNF中，
∴△DNE≌△CNF（AAS），
同理△AED≌△CEM，
∵E、F分别是AC、BC边的中点，
∴EF∥AB，又CM∥AB，
∴CM∥EF，
∵DE∥BC，CM∥EF，
∴四边形EFCM是平行四边形，
∴△EFC≌△CME，△BCD≌△MDC，
∴△EFC≌△ADE，
∴图中全等三角形共有5对
故选：C．
5．解：取AC的中点H，连接QH，
当点P与点A重合时，点Q与点H重合，
∵点Q是线段CP的中点，点H为AC的中点，
∴QH＝AP，
∵动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，
∴点Q运动的速度为1.5cm/s，
故选：C．
6．解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DE＝AM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴AN＝AC?sin∠ACN＝，
∴AM＝，
∵BD＝DA，BE＝EM，
∴DE＝，
故选：B．
7．解：延长BD交CA的延长线于E，
∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，
∴∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADB＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（ASA），
∴BD＝DE，AB＝AE＝6，
∴CE＝AC+AE＝9+6＝15，
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴DM是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝×15＝7.5．
故选：D．
8．解：由题意得，BA⊥MN，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，点E是线段BC的中点，
∴AE＝BE＝BC＝5，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠FDA＝∠B，
∴∠FDA＝∠EAB，
∴DF∥AE，
∵点D、E分别是线段AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC＝4，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF的周长＝2×（4+5）＝18，
故选：D．
9．解：延长AF交BC于G，
在△BFA和△BFG中，
，
∴△BFA≌△BFG（ASA）
∴BG＝AB＝8，AF＝FG，
∴GC＝BC﹣BG＝6，
∵AD＝DB，AF＝FG，
∴DF∥BC，由AD＝DB，
∴AE＝EC，
∵AF＝FG，AE＝EC，
∴EF＝GC＝3，
故选：B．
10．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD＝BF＝6，PD∥BC，
∴∠PDA＝∠CBA，
同理，QD＝AE＝8，∠QDB＝∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴PQ＝＝10，
故选：A．
11．解：∵△ABC的周长为17，BC＝7．
∴AB+AC＝17﹣BC＝10．
如图，分别延长AM、AN交BC于点G，F．
∵∠BNA＝∠BNF＝90°，BN＝BN，∠NBA＝∠NBF
∴△BNA≌△BNF（ASA）
∴AN＝FN，AB＝FB
同理，AM＝MG，AC＝GC，
即 MN为△AGF的中位线，
∴MN＝GF，
而 FB+GC＝AB+AC，
即 BC+GF＝AB+AC，
∵BC＝7，AB+AC＝10，
∴GF＝3，
∴MN＝GF＝，
故选：A．
12．解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE＝DE，
在△AEB和△KED中，，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，
∴EG＝BC，
又FG为△ACD的中位线，
∴FG＝AD，
∴EG+GF＝（AD+BC），
∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，
∴EG+GF＝6，FE＝3，
∴△EFG的周长是6+3＝9．
故选：B．
13．解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠ABQ＝∠EBQ，
∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，
∴∠BAQ＝∠BEQ，
∴AB＝BE，同理：CA＝CD，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，
∴PQ＝DE＝4．
故选：B．
14．解：延长CF交AB于G，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
在△AGF和△ACF中，，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝5，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝13﹣5＝8．
又∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝4．
故选：D．
15．解：延长BC 到E 使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝DE＝AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝＝＝5，
∴CM＝，
故选：C．
二．填空题（共10小题）
16．解：连接CF并延长交AB于G，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠FBG，
在△FDC和△FBG中，
，
∴△FDC≌△FBG（ASA）
∴BG＝DC＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，
∵CE＝EA，CF＝FG，
∴EF＝AG＝3，
故答案为：3．
17．解：过点N作NE⊥BC于点E，
则NE∥AC，
又N是AB的中点，
∴NE＝AC，BE＝（2+BD）＝ （2+AC）＝1+AC，
∴EM＝MD+DE＝1+BD﹣BE＝AC，
∴NE＝ME，
由勾股定理得，MN2＝ME2+NE2，即（2）2＝ME2+NE2，
解得，NE＝ME＝2，
∴CN＝＝＝．
故答案为：．
18．解：∵四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，
∴∠BAD+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，
∵E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PE∥BC，PF∥AD，
∴∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，
∴∠APE+∠BPF＝∠BAD+∠ABC＝140°，
∴∠EPF＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
19．解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，
∴NF∥BE，MF∥AD，NF＝BE＝5，MF＝AD＝12，
∵∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵MF∥AD，
∴MF⊥BC，
∵NF∥BE，
∴NF⊥MF，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN＝＝＝13；
故答案为：13．
20．解：连接BD，取BD 的中点H，连接EH，HF，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB＝，HF∥CD，HF＝CD＝6，
∴∠HEF＝∠BMF，∠HFE＝∠CNF，
∵∠BMF+∠CNF＝90°，
∴∠HEF+∠HFE＝90°，
∴∠EHF＝90°，
∴EF＝＝＝，
故答案为：．
21．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AB，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠BDE＝∠MAN＝90°，
∴∠BDE＝∠A'EF，
∴AB∥A'E，
∴∠ABC＝∠A'EB，
∴∠A'BC＝∠A'EB，
∴A'B＝A'E，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC＝2A'E，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，
∴AE′＝，
∴AB＝；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝2；
综上所述，AB的长为或2；
故答案为：或2．
22．解：连接PQ．
∵BD＝DC＝3，BE＝BC＝，EC＝，
∵AQ＝QE，AP＝PC，
∴PQ∥EC，PQ＝EC＝，
∵∠QPG＝∠GHD，∠QGP＝∠DGH，QG＝GD，
∴△PQG≌△HDG（AAS），
∴PQ＝HD＝，BH＝BD﹣DH＝3﹣＝，
∴HE＝BE﹣BH＝﹣＝，
故答案为．
23．解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EG∥AC且EG＝AC＝×4＝2，FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝．
故答案为：2
24．解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵过点D作DH⊥BC于点H，BC＝6，
∴BH＝CH＝3．
又平行线间的距离是8，点D是AB的中点，
∴DH＝4，
∴在直角△BDH中，由勾股定理知，BD＝＝＝5．
∵点D是AB的中点，
∴AB＝2BD＝10．
又点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝5．
故答案是：5．
25．解：延长CP交AB于K，延长CQ交AB于L，
△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝＝2，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵CD⊥AB，
∴∠CGF＝∠BGD＝90°﹣∠ABF＝90°﹣∠CBF＝∠CFB，
∴CG＝CF．
又∵Q是GF的中点，
∴CQ⊥GF，
∴∠CQB＝∠LQB＝90°，
∴∠BCQ＝∠BLQ，
∴BL＝BC＝6，
∴CQ＝LQ，
同理得：CE＝CH，
∵P是EH的中点，
∴CP⊥EH，
∴AP⊥CK，同理得AK＝AC＝4，CP＝PK，
∵CP＝PK，CQ＝LQ，
∴PQ＝LK＝（BL+AK﹣AB）＝（6+4﹣2）＝5﹣；
故答案为：5﹣．
三．解答题（共7小题）
26．解：∠BME＝∠CNE，理由如下：
连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴HF∥BM．HF＝AB，HE∥CD，HE＝CD，
∴∠1＝∠BME，∠2＝∠ENC，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠1＝∠2，
∴∠BME＝∠CNE．
27．证明：取BC中点G，连EG、FG，
∵E，G为AB、BC中点，
∴EG＝AC，EG∥AC，
∴∠FEG＝∠OQP，
同理，FG＝BD，FG∥BD，
∴∠EFG＝∠OPQ，
∵AC＝BD，
∴EG＝FG，
∴∠FEG＝∠EFG，
∴∠OPQ＝∠OQP，
∴OP＝OQ．
28．解：（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
在△ABF和△MBF中，
，
∴△ABF≌△MBF（ASA），
∴MB＝AB，
∴AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG＝MN，
＝（MB+BC+CN），
＝（AB+BC+AC）．
（2）猜想：FG＝（AB+AC﹣BC），
证明：如图2，延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，
∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，
∴NB＝AB，AF＝NF，
同理CM＝AC，AG＝MG，
∴FG＝MN，
∴MN＝2FG，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG，
∴FG＝（AB+AC﹣BC）．
29．解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE＝，
PE∥AB，
∴∠PEF＝∠ANF，
同理PF＝，
PF∥CD，
∴∠PFE＝∠CME，
又PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．
（2）判断出△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF＝AB，
同理，HE∥CD，HE＝CD，
∵AB＝CD
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∵∠EFC＝60°，
∴∠HEF＝60°，
∴∠HEF＝∠HFE＝60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF＝FD，
∴GF＝FD，
∴∠FGD＝∠FDG＝30°
∴∠AGD＝90°
即△AGD是直角三角形．
30．证明：
连接BD，取BD的中点为O，连接FO，MO，
∵F是AD的中点，M为BC的中点，
∴MO是△BCD的中位线，FO是△ABD的中位线，
∴MO＝CD，FO＝AB，MO∥AC，OF∥AB，
∵AB＝CD，
∴MO＝FO，
∴∠OFM＝∠OMF，
∵OF∥AB，
∴∠OFM＝∠AEF，
∵OM∥AC，
∴∠OMF＝∠CFM＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵G为EF的中点，
∴AG⊥ME．
31．（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别是AD，BD的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB，
∴∠BME＝∠HEF，
∵F，H分别是BC，BD的中点，
∴FH∥CD，FH＝CD，
∴∠CNE＝∠HFE，
∵AB＝CD
∴HE＝FH，
∴∠HEF＝∠HFE
∴∠BME＝∠CNE；
（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC，
∴∠HFE＝∠FEC＝45°，
∵AB＝CD＝2，
∴HF＝HE＝1，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°，
∴．
32．解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，
∵∠BAD+∠ADC＝270°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM∥AB，FM∥CD，EM＝AB，FM＝CD，
∴∠MNF＝∠ABC，∠MFN＝∠C，
∴∠MNF+∠MFN＝90°，即∠NMF＝90°，
由勾股定理得，ME2+MF2＝EF2＝16，
∴AB2+CD2＝（2ME）2+（2MF）2＝64．
《中位线》相关训练
一．选择题
1．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE等于（ ）
A．AB B．AC C．AB D．AC
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，F，G为BC上的点，连接DG、EF，若AB＝5cm，BC＝8cm，FG＝4cm，则△HFG的面积为（ ）
A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2
3．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（ ）
A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
4．如图，在三边互不相等的△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，连接DE，过点C作CM∥AB交DE的延长线于点M，连接CD、EF交于点N，则图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
5．如图，在△ABC中，动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，则线段CP的中点Q运动的速度为（ ）
A．3cm/s B．2cm/s C．1.5cm/s D．1cm/s
6．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
7．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
8．如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l于点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点 E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上两点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A．10 B．8 C．2 D．20
11．如图，BD、CE是△ABC的两条角平分线，AN⊥BD于点N，AM⊥CE于点M，连接MN，若△ABC的周长为17，BC＝7，则MN的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
12．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
13．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CF⊥AD于点F，AC＝5，AB＝13，则EF的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
15．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
二．填空题（共10小题）
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ ．
17．△ABC中，∠ACB＝90°，BD＝AC，M、N分别为CD、AB的中点，CD＝2，MN＝2，则CN＝ ．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，则∠EPF＝ °．
19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝ ．
20．如图，四边形ABCD中，∠BMF+∠CNF＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，AB＝5，CD＝12，则EF＝ ．
21．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
22．如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC＝6，则HE＝ ．
23．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝ ．
24．如图，△ABC的顶点落在两条平行线上，点D、E、F分别是△ABC三边中点，平行线间的距离是8，BC＝6，移动点A，当CD＝BD时，EF的长度是 ．
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CD与△ABC的两条角平分线AE，BF分别交于H，G两点，点P，Q分别为HE，GF的中点，连接PQ，若AC＝4，BC＝6，则PQ的长为 ．
三．解答题（共7小题）
26．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长分别与BA、CD的延长线交于点M、N，∠BME与∠CNE的大小关系如何？试说明理由．
27．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD中点，连EF交BD、AC于P、Q求证：OP＝OQ．
28．（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG＝（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线BC相交]
（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
29．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）
（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．
30．如图，在△ABC中，D为AC上一点，AB＝CD，F是AD的中点，M为BC的中点，连接MF并延长交BA延长线于点E，G为EF的中点，求证：AG⊥ME．
31．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．
32．如图，在四边形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC＝270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF＝4，求AB2+CD2的值．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC＝∠DEF．
又∵点D是AB的中点，
∴EF＝AE．
∵∠DEF＝∠BFC＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+∠C）＝90°﹣∠C，
∴∠FBC＝∠BFC，
∴BC＝FC，
∴BC+2AE＝AC．
故选：B．
2．解：连接，作AK⊥BC于K．
∵AB＝AC，
∴BK＝CK＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABK中，AK＝＝＝3，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE是中位线，即平分三角形的高且DE＝8÷2＝4，
∴DE＝BC＝FG，
∴△DEH≌△GFH，H也是DG，EF的中点，
∴△HFG的高是AK÷2＝1.5÷2＝0.75，
∴S△HFG＝4×0.75÷2＝1.5．
故选：B．
3．解：连接AQ，
∵点Q是边BC上的定点，
∴AQ的大小不变，
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EF＝AQ，
∴线段EF的长度保持不变，
故选：A．
4．解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠EDC＝∠FCD，
∵F是BC边的中点，
∴CF＝BC，
∴DE＝CF，
在△DNE和△CNF中，
∴△DNE≌△CNF（AAS），
同理△AED≌△CEM，
∵E、F分别是AC、BC边的中点，
∴EF∥AB，又CM∥AB，
∴CM∥EF，
∵DE∥BC，CM∥EF，
∴四边形EFCM是平行四边形，
∴△EFC≌△CME，△BCD≌△MDC，
∴△EFC≌△ADE，
∴图中全等三角形共有5对
故选：C．
5．解：取AC的中点H，连接QH，
当点P与点A重合时，点Q与点H重合，
∵点Q是线段CP的中点，点H为AC的中点，
∴QH＝AP，
∵动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，
∴点Q运动的速度为1.5cm/s，
故选：C．
6．解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DE＝AM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴AN＝AC?sin∠ACN＝，
∴AM＝，
∵BD＝DA，BE＝EM，
∴DE＝，
故选：B．
7．解：延长BD交CA的延长线于E，
∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，
∴∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADB＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（ASA），
∴BD＝DE，AB＝AE＝6，
∴CE＝AC+AE＝9+6＝15，
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴DM是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝×15＝7.5．
故选：D．
8．解：由题意得，BA⊥MN，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，点E是线段BC的中点，
∴AE＝BE＝BC＝5，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠FDA＝∠B，
∴∠FDA＝∠EAB，
∴DF∥AE，
∵点D、E分别是线段AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC＝4，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF的周长＝2×（4+5）＝18，
故选：D．
9．解：延长AF交BC于G，
在△BFA和△BFG中，
，
∴△BFA≌△BFG（ASA）
∴BG＝AB＝8，AF＝FG，
∴GC＝BC﹣BG＝6，
∵AD＝DB，AF＝FG，
∴DF∥BC，由AD＝DB，
∴AE＝EC，
∵AF＝FG，AE＝EC，
∴EF＝GC＝3，
故选：B．
10．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD＝BF＝6，PD∥BC，
∴∠PDA＝∠CBA，
同理，QD＝AE＝8，∠QDB＝∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴PQ＝＝10，
故选：A．
11．解：∵△ABC的周长为17，BC＝7．
∴AB+AC＝17﹣BC＝10．
如图，分别延长AM、AN交BC于点G，F．
∵∠BNA＝∠BNF＝90°，BN＝BN，∠NBA＝∠NBF
∴△BNA≌△BNF（ASA）
∴AN＝FN，AB＝FB
同理，AM＝MG，AC＝GC，
即 MN为△AGF的中位线，
∴MN＝GF，
而 FB+GC＝AB+AC，
即 BC+GF＝AB+AC，
∵BC＝7，AB+AC＝10，
∴GF＝3，
∴MN＝GF＝，
故选：A．
12．解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE＝DE，
在△AEB和△KED中，，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，
∴EG＝BC，
又FG为△ACD的中位线，
∴FG＝AD，
∴EG+GF＝（AD+BC），
∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，
∴EG+GF＝6，FE＝3，
∴△EFG的周长是6+3＝9．
故选：B．
13．解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠ABQ＝∠EBQ，
∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，
∴∠BAQ＝∠BEQ，
∴AB＝BE，同理：CA＝CD，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，
∴PQ＝DE＝4．
故选：B．
14．解：延长CF交AB于G，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
在△AGF和△ACF中，，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝5，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝13﹣5＝8．
又∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝4．
故选：D．
15．解：延长BC 到E 使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝DE＝AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝＝＝5，
∴CM＝，
故选：C．
二．填空题（共10小题）
16．解：连接CF并延长交AB于G，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠FBG，
在△FDC和△FBG中，
，
∴△FDC≌△FBG（ASA）
∴BG＝DC＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，
∵CE＝EA，CF＝FG，
∴EF＝AG＝3，
故答案为：3．
17．解：过点N作NE⊥BC于点E，
则NE∥AC，
又N是AB的中点，
∴NE＝AC，BE＝（2+BD）＝ （2+AC）＝1+AC，
∴EM＝MD+DE＝1+BD﹣BE＝AC，
∴NE＝ME，
由勾股定理得，MN2＝ME2+NE2，即（2）2＝ME2+NE2，
解得，NE＝ME＝2，
∴CN＝＝＝．
故答案为：．
18．解：∵四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，
∴∠BAD+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，
∵E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PE∥BC，PF∥AD，
∴∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，
∴∠APE+∠BPF＝∠BAD+∠ABC＝140°，
∴∠EPF＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
19．解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，
∴NF∥BE，MF∥AD，NF＝BE＝5，MF＝AD＝12，
∵∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵MF∥AD，
∴MF⊥BC，
∵NF∥BE，
∴NF⊥MF，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN＝＝＝13；
故答案为：13．
20．解：连接BD，取BD 的中点H，连接EH，HF，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB＝，HF∥CD，HF＝CD＝6，
∴∠HEF＝∠BMF，∠HFE＝∠CNF，
∵∠BMF+∠CNF＝90°，
∴∠HEF+∠HFE＝90°，
∴∠EHF＝90°，
∴EF＝＝＝，
故答案为：．
21．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AB，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠BDE＝∠MAN＝90°，
∴∠BDE＝∠A'EF，
∴AB∥A'E，
∴∠ABC＝∠A'EB，
∴∠A'BC＝∠A'EB，
∴A'B＝A'E，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC＝2A'E，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，
∴AE′＝，
∴AB＝；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝2；
综上所述，AB的长为或2；
故答案为：或2．
22．解：连接PQ．
∵BD＝DC＝3，BE＝BC＝，EC＝，
∵AQ＝QE，AP＝PC，
∴PQ∥EC，PQ＝EC＝，
∵∠QPG＝∠GHD，∠QGP＝∠DGH，QG＝GD，
∴△PQG≌△HDG（AAS），
∴PQ＝HD＝，BH＝BD﹣DH＝3﹣＝，
∴HE＝BE﹣BH＝﹣＝，
故答案为．
23．解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EG∥AC且EG＝AC＝×4＝2，FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝．
故答案为：2
24．解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵过点D作DH⊥BC于点H，BC＝6，
∴BH＝CH＝3．
又平行线间的距离是8，点D是AB的中点，
∴DH＝4，
∴在直角△BDH中，由勾股定理知，BD＝＝＝5．
∵点D是AB的中点，
∴AB＝2BD＝10．
又点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝5．
故答案是：5．
25．解：延长CP交AB于K，延长CQ交AB于L，
△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝＝2，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵CD⊥AB，
∴∠CGF＝∠BGD＝90°﹣∠ABF＝90°﹣∠CBF＝∠CFB，
∴CG＝CF．
又∵Q是GF的中点，
∴CQ⊥GF，
∴∠CQB＝∠LQB＝90°，
∴∠BCQ＝∠BLQ，
∴BL＝BC＝6，
∴CQ＝LQ，
同理得：CE＝CH，
∵P是EH的中点，
∴CP⊥EH，
∴AP⊥CK，同理得AK＝AC＝4，CP＝PK，
∵CP＝PK，CQ＝LQ，
∴PQ＝LK＝（BL+AK﹣AB）＝（6+4﹣2）＝5﹣；
故答案为：5﹣．
三．解答题（共7小题）
26．解：∠BME＝∠CNE，理由如下：
连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴HF∥BM．HF＝AB，HE∥CD，HE＝CD，
∴∠1＝∠BME，∠2＝∠ENC，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠1＝∠2，
∴∠BME＝∠CNE．
27．证明：取BC中点G，连EG、FG，
∵E，G为AB、BC中点，
∴EG＝AC，EG∥AC，
∴∠FEG＝∠OQP，
同理，FG＝BD，FG∥BD，
∴∠EFG＝∠OPQ，
∵AC＝BD，
∴EG＝FG，
∴∠FEG＝∠EFG，
∴∠OPQ＝∠OQP，
∴OP＝OQ．
28．解：（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
在△ABF和△MBF中，
，
∴△ABF≌△MBF（ASA），
∴MB＝AB，
∴AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG＝MN，
＝（MB+BC+CN），
＝（AB+BC+AC）．
（2）猜想：FG＝（AB+AC﹣BC），
证明：如图2，延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，
∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，
∴NB＝AB，AF＝NF，
同理CM＝AC，AG＝MG，
∴FG＝MN，
∴MN＝2FG，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG，
∴FG＝（AB+AC﹣BC）．
29．解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE＝，
PE∥AB，
∴∠PEF＝∠ANF，
同理PF＝，
PF∥CD，
∴∠PFE＝∠CME，
又PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．
（2）判断出△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF＝AB，
同理，HE∥CD，HE＝CD，
∵AB＝CD
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∵∠EFC＝60°，
∴∠HEF＝60°，
∴∠HEF＝∠HFE＝60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF＝FD，
∴GF＝FD，
∴∠FGD＝∠FDG＝30°
∴∠AGD＝90°
即△AGD是直角三角形．
30．证明：
连接BD，取BD的中点为O，连接FO，MO，
∵F是AD的中点，M为BC的中点，
∴MO是△BCD的中位线，FO是△ABD的中位线，
∴MO＝CD，FO＝AB，MO∥AC，OF∥AB，
∵AB＝CD，
∴MO＝FO，
∴∠OFM＝∠OMF，
∵OF∥AB，
∴∠OFM＝∠AEF，
∵OM∥AC，
∴∠OMF＝∠CFM＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵G为EF的中点，
∴AG⊥ME．
31．（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别是AD，BD的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB，
∴∠BME＝∠HEF，
∵F，H分别是BC，BD的中点，
∴FH∥CD，FH＝CD，
∴∠CNE＝∠HFE，
∵AB＝CD
∴HE＝FH，
∴∠HEF＝∠HFE
∴∠BME＝∠CNE；
（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC，
∴∠HFE＝∠FEC＝45°，
∵AB＝CD＝2，
∴HF＝HE＝1，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°，
∴．
32．解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，
∵∠BAD+∠ADC＝270°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM∥AB，FM∥CD，EM＝AB，FM＝CD，
∴∠MNF＝∠ABC，∠MFN＝∠C，
∴∠MNF+∠MFN＝90°，即∠NMF＝90°，
由勾股定理得，ME2+MF2＝EF2＝16，
∴AB2+CD2＝（2ME）2+（2MF）2＝64．