人教版八年级数学下册18.2菱形的性质与判定课后练习
一
、选择题
1.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于( )
A.
5
B.
10
C.
15
D.
20
2.如图，在菱形ABCD中，E，F分别在AB，CD上，且BE=DF，EF与BD相交于点O，连结AO．若∠CBD=35°，则∠DAO的度数为（ ）
A
35°
B.
55°
C.
65°
D.
75°
3.如图，已知在?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC=60°，AD=5，DC=4，则DA′的大小为(
)
A.
1
B.
C.
D.
2
4.依次连接菱形四边中点得到的四边形一定是(
)
A.
矩形
B.
菱形
C.
正方形
D.
三角形
5.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是(
)
A
梯形
B.
矩形
C.
菱形
D.
正方形
6.下列说法中正确的是（
）
A.
四边相等的四边形是菱形
B.
一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C.
对角线互相垂直的四边形是菱形
D.
对角线互相平分的四边形是菱形
7.
如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA＝2，∠AOC＝60°，则B点的坐标是
（
）
A.
（3，）
B.
（1，）
C.
（－1，）
D.
（－3，）
8.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（
）
A.
10cm2
B.
20cm2
C.
40cm2
D.
80cm2
9.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝24°，则∠DAB等于（）
A.
100°
B.
104°
C.
105°
D.
110°
10.如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是(
)
A
8
B.
16
C.
8
D.
16
二
、填空题
11.如图，已知矩形ABCD对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于
cm．
12.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝8cm，则这个菱形的面积是_____cm2．
13.如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为
．
14.如图，连接四边形各边中点得到四边形，还要添加__________才能使四边形是菱形．（只需写出一个即可）
15.如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________.
16.如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是_____．
三、解答题
17.
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=
°时，四边形BFDE是正方形．
18.
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=
时，四边形BFCE是菱形．
19.如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．人教版八年级数学下册18.2菱形的性质与判定课后练习
一
、选择题
1.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于( )
A.
5
B.
10
C.
15
D.
20
【答案】A
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，
∵∠B：∠BCD=1：2，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5．
故选A．
2.如图，在菱形ABCD中，E，F分别在AB，CD上，且BE=DF，EF与BD相交于点O，连结AO．若∠CBD=35°，则∠DAO的度数为（ ）
A.
35°
B.
55°
C.
65°
D.
75°
【答案】B
【解析】
试题分析：由菱形的性质以及已知条件可证明△BOE≌△DOF，所以可得BO=DO，即O为BD的中点，进而可得AO⊥BD，再由∠CBD=35°，则可以求出∠DAO的度数．
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠OEB=∠OFD，∠EBO=∠ODF，
∵BE=DF，
∴在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF，
∴BO=OD，
∴AO⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵∠CBD=35°，
∴∠ADO=35°，
∴∠DAO=55°，
故选B．
点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，证明出AO⊥BD是解题的关键．
3.如图，已知在?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC=60°，AD=5，DC=4，则DA′的大小为(
)
A.
1
B.
C.
D.
2
【答案】C
【解析】
【分析】
过A′作A′F⊥AD，由AE⊥BC可得AE=A′F，根据平行四边形的性质可知AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°，进而可求出BE和AE的长，根据旋转的性质可得AB=A′B，进而可求出A′E的长，即可求出AF的长，进而求出DF的长，利用勾股定理求出DA′的长即可.
【详解】如图：过A′作A′F⊥AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BC，A′F⊥AD，
∴AE=A′F，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB=2，AE=A′F==2，
∵旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴A′B在线段BC上，且A′B=AB=5，
∴A′E=A′B-BE=5-2=3，
∴AF=A′E=3，
∴DF=DA-AF=5-3=2，
在Rt△A′FD中，由勾股定理可得A′D=A′F2+DF2==，
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、旋转的性质及勾股定理的应用，旋转前后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线的夹角是旋转角，熟练掌握相关性质是解题关键.
4.依次连接菱形的四边中点得到的四边形一定是(
)
A.
矩形
B.
菱形
C.
正方形
D.
三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
先连接AC、BD，由于E、H是AB、AD中点，利用三角形中位线定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易证四边形EFGH是平行四边形，而四边形ABCD是菱形，利用其性质有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用EF∥AC以及EH∥BD，两次利用平行线的性质可得∠HEF=∠BME=90°，即可得证．
【详解】如图：连接AC、BD，相交于点O，
∵E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，
同理有FG∥BD，
∴EH∥FG，且EH=FG
同理EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
又∵EF∥AC，
∴∠BME=90°，
∵EH∥BD，
∴∠HEF=∠BME=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质、菱形的性质，证明四边形EFGH是平行四边形以及∠HEF=∠BME=90°是解题的关键.
5.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是(
)
A.
梯形
B.
矩形
C.
菱形
D.
正方形
【答案】C
【解析】
【详解】∵在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∵△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠
FOA=∠EOC，AO=CO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形，
故选C.
6.下列说法中正确的是（
）
A.
四边相等的四边形是菱形
B.
一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C.
对角线互相垂直的四边形是菱形
D.
对角线互相平分的四边形是菱形
【答案】A
【解析】
试题解析：
A.
四边相等的四边形是菱形，正确；
B.
一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形，错误；
C.
对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；
D.
对角线互相平分的四边形是菱形，错误.
故选A.
7.
如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA＝2，∠AOC＝60°，则B点的坐标是
（
）
A.
（3，）
B.
（1，）
C.
（－1，）
D.
（－3，）
【答案】D
【解析】
试题分析：过B作BE⊥CO于E，因为四边形OABC是菱形，且OA＝2，∠AOC＝60°，所以BC=OC＝2，∠BCE＝60°，所以在Rt△BCE中，CE=1，BE=,所以OE=3，所以点B的坐标是（－3，），故选D．
考点：1．菱形的性质；2．直角三角形的性质；3．图形与坐标．
8.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（
）
A.
10cm2
B.
20cm2
C.
40cm2
D.
80cm2
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形=×5×4=10
cm2．
故选A．
考点：1.三角形中位线定理；2.菱形的性质；3.矩形的性质．
9.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝24°，则∠DAB等于（）
A.
100°
B.
104°
C.
105°
D.
110°
【答案】B
【解析】
连接BD，BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA.
∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°,即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=24°，
∴3∠DAC+24°=180°,则∠DAC=52°，
∴∠DAB=2∠DAC=104°.
故选B.
点睛：本题考查了菱形的性质和线段的垂直平分线的性质，根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．
10.如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是(
)
A.
8
B.
16
C.
8
D.
16
【答案】A
【解析】
分析：
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
又∵CD=AC，
∴AD=CD=AC，
即△ADC是等边三角形，
∴
∴
∵菱形ABCD的面积
∴
∴菱形ABCD的周长为
故选A.
点睛：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，也考查了等边三角形的判定，菱形的性质等.
二
、填空题
11.如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于
cm．
【答案】16.
【解析】
【详解】解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，
∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，
故答案为16．
12.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝8cm，则这个菱形的面积是_____cm2．
【答案】16．
【解析】
试题分析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
试题解析：∵AC=4cm，BD=8cm，
∴菱形的面积=×4×8=16cm2．
考点：菱形的性质．
13.如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为
．
【答案】（4，4）．
【解析】
试题分析：连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∴OD=2，BD=8，∴AE=OD=2，DE=4，∴AC=4，∴点C的坐标为：（4，4）；故答案为（4，4）．
考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质．
此处有视频，请去附件查看】
14.如图，连接四边形各边中点得到四边形，还要添加__________才能使四边形是菱形．（只需写出一个即可）
【答案】AC=BD
【解析】
【分析】
易得新四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．
【详解】∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形，
∴根据菱形的性质，只要再有一组邻边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可，
例如AC=BD，
故答案AC=BD.
【点睛】此题考查中点四边形，菱形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
15.如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________.
【答案】6
【解析】
∵菱形ABCD中，AB=4，AD的垂直平分线交AC于点N，
∴CD=AB=4，AN=DN，
∵△CDN的周长=CN+CD+DN=10，
∴CN+4+AN=10，
∴CN+AN=AC=6.
故答案为6.
16.如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是_____．
【答案】15．
【解析】
试题分析：如图，此时菱形ABCD面积最大．设AB=x，EB=9-x，AE=3，由勾股定理得到：，解得x=5，所以菱形的最大面积为5×3=15．
故答案为15．
考点：菱形的面积；勾股定理．
三、解答题
17.
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=
°时，四边形BFDE是正方形．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）20．
【解析】
试题分析：（1）先证∠BAE=∠BCF，又由BA=BC，AE=CF，得到△BAE≌△BCF；
（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．
试题解析：（1）∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∵BA=BC，∠BAE=∠BCF，AE=CF，∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．故答案为20．
考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的判定．
18.
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=
时，四边形BFCE是菱形．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）4．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．
试题解析：（1）∵AB=DC，∴AC=DB，
在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，
∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，
∴当BE=4时，四边形BFCE是菱形，
故答案为4．
【考点】平行四边形的判定；菱形的判定．
19.如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．
【答案】(1)见解析；（2）8.
【解析】
（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AO=4，∴AE=2AO=8．
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．
【答案】（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm2.
【解析】
【分析】
（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积-2个直角三角形的面积．
【详解】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=16-t，
解得t=8．
答：当t=8时，四边形ABQP是矩形；
（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形
当AQ=CQ，即=16-t时，四边形AQCP为菱形．
解得：t=6．
答：当t=6时，四边形AQCP是菱形；
（3）当t=6时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm，
面积为：10×8=80（cm2）．
