2012年河南中考数学备考指导
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(共227张PPT)
中考数学回顾与趋势展望
2012年2月25日
中考数学回顾与趋势展望
中考数学回顾
近几年河南中考数学题目梳理
2011年河南中考试题分析
2012年河南数学中考趋势展望
2012年命题原则
几个主要的名词解释
对河南2012中考数学的内容展望
2012年数学中考复习建议
第一轮
第二轮
第三轮
近几年河南中考数学题目梳理
本部分内容以表格的形式呈现，试图从近几年河南省中考数学试题的命制上发现一些规律性的特点，同时发现哪些重要知识点是命题人员重点关注的，进而反复考查的。
河南中考数学试卷内容结构（1）
七年级 八年级 九年级
11年 27% 49% 24 %
10年 25% 48% 27%
09年 29% 43% 28%
08年 28% 33% 39%
题号 10年 09年 08年 11年
1 相反数 相反数 绝对值 绝对值
2 科学记数法 不等式解集 科学记数法 三线八角
3 众数，极差
数据的收集方式 不等式的解集 幂的计算
4 中位线，相似三角形 一元二次方程的解 立体图形与
三视图 不等式组的解
5 解一元二次方程 旋转与坐标系 对称与坐标系 平均数与方差
6 旋转与坐标系（平移） 三视图到立体图形 中位线，四边形（旋转） 旋转与坐标系（平移）
河南中考数学试卷内容结构（2）
题号 10年 09年 08年 11年
7 有理数的运算 平方根 有理数运算 立方根
8 估计无理数的近似值 平行线与三角形内角和 一次函数的解析式 等腰三角形
9 一次函数的解析式 代数式求值 平行线与三角形内角和 反比例函数
10 三角形的内角和
平行四边形的性质与中位线 众数，中位数 切线性质，圆周角
11 切线的性质，圆周角与圆心角 切线的性质与三角形圆周角 反比例函数的解析式 二次函数增减性
12 用树状图或列表计算概率 反比例函数的性质 圆周角与三角函数，方格纸 用树状图或列表计算概率
13 立体图形与
三视图 用树状图或列表计算概率 一元一次方程打折销售 四边形图形中最小值
题号 10年 09年 08年 11年
14 矩形，特殊三角形（逆向思维） 矩形，轴对称（动态思维） 圆锥的侧面积 三视图表面积
15 特殊三角形，圆（动态思维） 扇形与特殊三角形（联系的观点） 矩形与相似三角形（逆向思维） 直角梯形特殊三角形计算
16 分式运算 分式与二次根式的运算 分式与二次根式的运算 分式运算
17 平行四边形，三角形（轴对称） 全等三角形 （轴对称） 条形、折线统计图的应用 梯形全等三角形与计算
18 扇形、条形统计图的应用 扇形统计图与频数表 全等三角形的（旋转） 扇形、条形统计图的应用
题号 10年 09年 08年 11年
19 特殊四边形（动点，分类讨论） 一次函数与二元一次方程组 用树状图或表格求概率 解直角三角形
20 一元一次方程和一元一次不等式组的应用 解直角三角形的应用 特殊四边形，解直角三角形 一次函数与反比例函数
21 一次函数，反比例函数和等腰梯形 旋转变换中的特殊三角形、梯形、菱形 圆，特殊四边形 不等式与方程组应用
22 矩形，轴对称，勾股定理（图形关系的不变性） 不等式组的应用（图表信息） 二元一次方程组，一元一次不等式与一次函数的应用 四边形动态问题
23 二次函数，特殊四边形，（动点，分类讨论） 二次函数、矩形、三角形 （动点分类讨论思想） 一次函数，三角形，二次函数，一元二次方程（动点，分类讨论） 一、二次函数，特殊四边形，三角形、方程（动点，分类讨论）
河南中考数学压轴题概况
10年 二次函数＋一次方程组＋三角形面积及其极值＋动点与分类讨论（平行四边形）
09年 二次函数＋二元一次方程组＋矩形＋线段长及其极值 ＋动点与分类讨论（等腰三角形）
08年 一次函数＋三角形及其面积＋二次函数＋一元二次方程＋动点与分类讨论（直角三角形）
11年 一、二次函数＋正方形＋ 三角形周长＋一元二次方程
动点坐标问题
河南中考数学试卷内容结构（3）
数与代数 空间与图形 统计与概率
数,式 方 程
不等式 函数 三角形四边形
圆
其他 统计 概率
分值 20 12 17 40 5 11 12 3
10年 41 ％ 47％ 12％
09年 44 ％ 43％ 13％
08年 39％ 43％ 18％
11年 38％ 44％ 18％
从以上表格命题规律大致总结如下：
一、选择题（每小题3分，共18分）
数与代数：3道题，
空间与图形：1-2道题，
统计与概率：1道题，
综合（图形的变换与点的坐标）：1道题
二、填空题（每小题3分，共27分）
数与代数：3-4道题，
空间与图形：4-5道题，
统计与概率：至多1道题
实数的相关概念 倒数、相反数、绝对值
科学记数法 大数的科学记数法
视图 三视图还原几何体
运算 实数运算
圆中相关计算 圆心角与圆周角的关系，切线的性质
阴影部分面积的计算 菱形的性质，扇形，三角形的面积
函数解析式 反比例函数
图形变换求点的坐标 几何变换后求对应点的坐标
动点问题求最值 折叠的性质求距离最短，建立关系式求最值
解一元二次方程 直接求解
相交线、平行线的性质 求角
几何 图形的分割（规律探索）
概率 统计数据的分析
下列考点通常在选择填空题中出现
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
解答题中常考的知识点有：①分式的化简与求值、②全等三角形的判定、③列方程（组）与不等式（组）解决实际问题、④动点问题.⑤对概率考查的难度有降低的趋势，07-08年均有对概率计算的解答题，09、10年、11年对概率的考查均在填空题中，而在对统计图问题进行考查的第三问涉及到了概率的计算。
二次函数的知识点每年都会考查，每年的形式都有变动，具有区域特点，注意与其他省份区别。
分式的化简与求值 一直在考查，形式趋向开放性（第16题）
全等三角形判定 与四边形结合（第17题）增加了计算
统计图表问题 统计图（第18题）增加了概率计算
方程（组）与不等式（组）的应用 一次方程组与不等式的应用（第20、21、22、23题）
特殊四边形的判定 探究型（第22题）
解直角三角形的应用 测量问题（第19题）
函数与几何的综合题 数形结合思想，探究型问题（第20、23题）
动点与分类讨论 问题 函数（二次函数）与几何的综合题，考查分类讨论思想、数形结合思想、函数思想及方程思想（第23题）
下列考点通常在解答题中出现
2011年河南中考试题分析
(一)试题的主要特点
1.关注数学核心内容的考查，体现全面性，较好地保证了试卷的效度
2.试题难度进一步加大
3.加强关于空间与图形合理推理能力及综合能力的考查，体现了较好的区分度
4.试卷在充分把握重点的基础上，突出考查数学思想方法与数学探究活动
5.试卷呈现丰富多彩的情境，贴近生活，体现应用性
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【数与代数】
第6题（3分）如图1，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为【 】
（A）（3，1） （B）（1，3）
（C）（3，－1）（D）（1，1）
【思路点拨】
【答案】 C.
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【数与代数】
【错因分析】
本题得分率为46﹪．错误选项中，选A的最多，约占错误人数的59﹪.
虽然属于基础知识点，但是综合起来，很多考生不能理解和想象变化过程，找不到对应点之间的坐标关系，于是很容易写错坐标的性质符号.
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【概率与统计】
第12题（3分）现有两个不透明的袋子，其中一个装有标号分别为1、2的两个小球，另—个装有标号分别为2、3、4的三个小球，小球除标号外其它均相同，从两个袋子中各随机摸出1个小球，两球标号恰好相同的概率是 ．
【思路点拨】
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【概率与统计】
【答案】 .
【错因分析】
本题得分率为79﹪.错误的答案中，不认真审题、不理解题意，是导致失分的主要原因．
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【概率与统计】
第18题（9分） 为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如图的调查问卷(单选).
在随机调查了奉市全部5 000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图2：
根据以上信息解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并计算扇形统计图中m= ；
(2)该市支持选项B的司机大约有多少人？
(3)若要从该市支持选项B的司机中随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【概率与统计】
【思路点拨】
本题主要考查了统计表和扇形统计图之间的转换关系，以及根据图中的数据进行计算等．
【答案】略.
本题满分率为54﹪．试题不难，计算不繁，但数量关系含混不清，计算不准确还是令不少考生失分．
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【空间与图形】
第15题（3分）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为 .
【思路点拨】
【空间与图形】
第15题（3分）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为 . 【思路点拨】 首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°，
点E是BC边的中点，推出四边形
ABED是矩形，所以得到直角三角形，
所以能求出CD和DE，又由△DEF是
等边三角形，得出DF，由直角三角形△AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．
【答案】3＋
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【空间与图形】
第15题（3分）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为 .
【思路点拨】
【错因分析】本题正确率
为37.6﹪．错误原因主要是
推理与计算的综合能力不强.
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【空间与图形】
第22题（10分）如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
【思路点拨】
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【空间与图形】
【证明与解答】略.
【错因分析】本题满分率大约是2.88﹪；平均分大约是3.61；本题得分率大约是71.9﹪．失分的主要原因是：
（1）概念不清；
（2）综合能力不强；
（3）分类讨论思想把握不准（这是中等偏上的考生失分的主要原因）．
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【课题学习】
第23题（11分）如图5，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.
随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.
当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的
点P的坐标.
【思路点拨】
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【课题学习】
【错因分析】满分率千分之4.72， 得分率50.1﹪，平均分 1.42．
（1）计算出现错误
（2）审题不清
（3）概念认识不够
（4）解题思路混乱
2011年中考试题分析
2011大题数据
见附件1
2012年河南数学中考趋势展望
命题原则：关注《标准》中必须掌握的核心观念和能力；注重进一步学习所必须的数与代数、空间与图形和统计与概率的基础知识和基本技能；注重结果，还要注重过程；既考查思维能力，也考查思维方法；着重考查解决简单的实际问题，还要注意考查创新意识..（考查基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，着意创新 ）
核心观念和能力：数感、符号感、空间观念、统计观念、推理能力和应用意识等.
基础知识：概念、法则、性质、公式、公理、定理及由起内容所反映出来的数学思想和方法
基本技能：按一定的程序与步骤计算、作图或画图、进行简单的推理.
几个主要的名词解释
思维能力：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；会运用数学概念、原理、思想和方法辩明数学关系.
解决简单实际问题的能力：解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题，能够解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题、展开交流.
数学创新意识：对自然界和社会生活中的现象，会从数学角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决.
2012年河南数学中考趋势展望
注重 :基本知识技能、基本思想方法、基本活动经验。
2012年河南中考数学的指导思想仍然会是“狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，有所创新” 。
2012年河南数学中考趋势展望
1、抓住基础：
11年河南中考数学试题中真正困难题目的分值只有14分左右。 2012年数学中考的难度不会有较大变化。
对于《数学课程标准》中“能”、“会”、“掌握”、“运用”后面的内容，应该是考查的对象。例如：相反数、倒数、绝对值和平方根，科学记数法考的几率仍然很大。
要考统计的相关概念，并至少有一道大题是关于统计应用方面的。
有关概率的问题不会难也不会太容易。
有关三视图的问题还可能出现。
对平行线、三角形全等与四边形的简单综合、图形的变换旋转（平移、旋转、轴对称）的简单应用仍然会出现。
有关函数的常规性问题必然要考。
探索规律的问题还可能再次考查。
有关坐标系的问题是考查数形结合工具。
有关整式、分式的运算不超过三步；不单独考查升幂、降幂、添括号。
不出专门考查分母有理化的试题，但在进行二次根式的运算（除式中只含一个二次根式）时，要求同学将结果化简。
有关代数式和方程的计算量不会太大。
一元二次方程中的二次项系数不出现字母；解可化为一元一次方程的分式方程中的分式不超过两个。
对圆和相似图形的考查难以出现难题。
仍然会考方程与不等式的应用问题。
2012年河南数学中考趋势展望
2、突出重点：
中考试题的重点内容在考试中占有较大的比例。
例如：初中数学的主干知识有：方程与不等式、函数、概率与统计、三角形、四边形等，对这些主干知识的考查在12年的试题中所占分值达86分。
尤其是三角形和四边形所占分值达45分。
2012年河南数学中考趋势展望
3、强调应用：
具有应用背景的问题在11年的试题中占30分，这个分值在12年的试题中有望得到增加。
要提高分析题意、将“文字语言”转化为“符号语言”和“图形语言”的能力，和分析图（表）、从题目中抽出“关键词”和“关键数量”的能力．从而有意识地将实际背景剥离掉，并发现问题中的数学关系。
2012年河南数学中考趋势展望
4、关注思想、方法：
11年的试题中涉及数形结合、转化思想、运动思想、分类讨论、图形变换的题目分值为67分。
“难题”的“难”对不同的同学意义是不同的。原因在于其对数学思想、方法和解题策略的掌握运用水平不同，所积累的数学经验不同造成的。
有些同学对未见过的题，无所适从。如不会解坐标系下的问题，其一原因是“数形结合”能力较弱。
基于《数学课程标准》，教材中对“图形变换”的研究过于轻薄，有些同学使用“图形变换”解题的意识和能力不够，增大了中考解题的难度。作为解题的重要方法，需要对“图形变换”进行专项练习。
不能运用“分类讨论思想”和“运动变化思想”是有些同学难以解决压轴题的关键。
2012年中考， “数与代数” ，“图形与几何” ，“统计与概率”试题所占比例会和11年接近。
在第16题中，对“实数的运算”，“代数式（包括“分式”与“二次根式”）的运算”和“解方程”是交替考查的。12年也不会出这个范围。
对河南2012中考数学的内容展望
“二元一次方程组”、“一元一次不等式组”和“一次方程与一次不等式的综合”成为解决实际问题的利器。而“一元二次方程”主要出现在“压轴题”中。还未出现依靠“分式方程”解决的应用题。
对“反比例函数”的考查较少， “压轴题”中的“一次函数”与“二次函数”交替出现不过还是有可能适当调整三种函数的分值比例。
可能讨论“简单实际问题中函数的自变量取值范围” 或“结合函数关系预测变化规律”，“一次函数与二元一次方程的关系，“二次函数与一元二次方程的关系”。
对“线段、角、平行线”的考查主要融入其他问题中，对“特殊三角形”和“特殊四边形”的考查仍然会占据重要的地位。
对“相似形判别及其性质” 较少考查，主要是因为《课标》对此部分内容的要求多为“了解”，而对于特殊情况，用“解直角三角形”解决有关的问题。而对于“解直角三角形” 在数学综合题中应用，还需要加强练习和体会。
对于“圆”，除了计算弧长及扇形的面积其他考查并不多。2012年可能对“垂径定理”,“圆周角定理”和“切线的性质定理”进行的考查。
近年来多对“三视图”进行考查，2012年不大会考查“视点、视角、盲区”。也有可能加入 “展开图”的元素。
仍然会考查“应用统计知识与技能，解决简单的实际问题” ，这是需要同学规范练习的。
2012年数学中考复习建议
如果七、八年级没有为中招做好充分的准备，那么中招备考复习，时间紧，任务多，压力大，要求“快”字当头。这期间，首先要保持清醒的头脑，随时清楚：我应该干什么？我在干什么？我应该怎样干？
我离目标更近了，还是过犹不及呢？每一部分复习后我是否反思总结：复习效果怎样？要知道：“没有最好，必须更好”。
四“要”
技能要训练
习惯要养成
思维要积极
方法要总结
四“想”
一想：怎样进行练习？
二想：怎样进行思考？
三想：怎样进行总结？
四想：怎样进行考试？
三“和谐”
严谨与灵活的和谐统一
思维与自动的和谐统一
快速与准确的和谐统一
复习建议
1. 认真体会往年试题的特征.
2. 注意解题规范性.
3. 建立错题档案.
4.每日进行知识和方法的总结.
5. 按考试的要求进行平时的练习.
6.每天进行调节心态的练习.
第一轮复习
每年的中招试题都没有偏题、怪题，为什么还有那么多同学成绩不理想，连基本题都没有得分呢？
当然是与对知识把握不准确，技能运用不熟练，解题不规范，心态不稳定，没有好的学习习惯，缺乏精益求精、每分必得的勤奋态度有关。
09年中考中出现的错误举例：
2．不等式﹣2x<4的解集是 【 】
（A）x>﹣2 （B）x<﹣2
（C） x>2 （D） x<2
错因： 负迁移，缺乏思维的严谨性，缺乏检验习惯，缺乏警示信号.
3. 下列调查适合普查的是 【 】
（A）调查2010年6月份市场上某品牌饮料的质量
（B）了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况
(C) 环保部门调查5月份黄河某段水域的水质量情况
(D)了解全班同学本周末参加社区活动的时间
错因：未形成准确读题的方法、习惯、能力，缺乏检验意识，未能调节好考试状态。
7. 16的平方根是 .
错因：基础知识把握不准确，第一轮复习辨析工作不深入、具体，忽视生活思维与数学思维的区别，缺乏进行辨析的意识和习惯，不化简.
11.如图，AB为半圆O的直径，
延长AB到点P，使BP=AB，
PC切半圆O于点C，点D是
弧AC上和点C不重合的一点，则∠D的度数为 .
错因：不熟悉“直径”，“切线”的用法，缺乏“特殊化”的思路和猜想意识，不能顺利进行圆和三角形之间的转化。
12.点A(2，1)在反比例函数 的图像上，当1﹤x﹤4时，y的取值范围是 .
错因：缺乏图形结合的思维能力，缺乏特殊化的意识.
13.在一个不透明的袋子中有2个黑球、3个白球，它们除颜色外其他均相同.充分摇匀后,先摸出1个球不放回,再摸出1个球,那么两个球都是黑球的概率为 .
错因：缺乏准确读题的方法、习惯、能力。
解答题
16．先化简，
然后从 中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值.
错因：（1）计算时没有注意符号的确定。
（2）没有注意运算存在的条件。
（3）解答格式不规范.
17.如图，∠BAC=∠ABD,
AC=BD，点O是AD、BC的
交点，点E是AB的中点.试判
断OE和AB的位置关系,并给出证明.
错因：
(1)未注意图形中“边、角、边”的关系应该与书写的字母、符号应该是一致的.
(2)未写公共边这个条件.
(3)格式不规范. 没有将对应点的字母写在对应的位置上 .
18.2008年北京奥运会后，同学们参与体育锻炼的热情高涨.为了解他们平均每周的锻炼时间，小明同学在校内随机调查了50名同学，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图.
组别 锻炼时间(时/周) 频数
A 1.5≤t<3 1
B 3≤t<4.5 2
C 4.5≤t<6 m
D 6≤t<7.5 20
E 7.5≤t<9 15
F t≥9 n
根据上述信息解答下列问题：
(1)m =______，n =_________；
(2)在扇形统计图中，D组所占圆心角的度数为_____________；
(3)全校共有3000名同学，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的同学约有
多少名
错因：（1）计算错误。
（2）没有读懂题意，将144 写成144％.
（3）解题格式不规范，数学语言表述不完整。
l9.暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升.
(1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求y与x的函数关系式；
(2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家 请说明理由.
错因：
对第（1）小题用算术法来求函数的解析式，而没有用待定系数法。少数同学计算错误。
综上所述
数学中考中部分同学存在的问题
1、没有准确把握基本概念、定理或公式的条件和适用范围。缺乏必要的记忆。
2、计算能力弱，影响思维与结果。
3、数学语言素养低，解题格式不规范。
4、只个人的感觉而不善于说理和论证。
5、阅读习惯差、不会审题。
懂了≠会了≠对了≠快了
牢固地掌握基础知识和基本技能是在中考中取得好成绩的前提。 这些问题的解决，主要靠第一轮复习来完成。
对应策略一：提高知识理解力的策略
要回顾好知识背景,抓住概念、定理叙述中的关键词。
要进行文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化。
对教材内容进行归类,熟悉典型例题, 分析例题结构特征,归纳解题思路、方法,为例题的迁移做好准备。
在几何复习中要概括出中考必备的“基本图形”，如“平行线＋角平分线＝等腰三角形”等等。要总结：“角平分线有什么作用？中点怎么用？折叠问题怎样处理？轴对称会产生什么图形？旋转变换在什么情况下使用，旋转的结果是什么？”
对部分难点问题，要概括出题目的特点。
如：对“函数”学习的三个关键词“对应与定义，运动与特征，图形与方法”。
对“圆”学习的四个条件反射“弦与垂径，角与弧，直径与直角，切线与垂直”。
要总结一些习惯性的错误
1.对数的认识停留在小学阶段.
2.忽视公式成立的条件.
3.随意省略过程导致计算错误.
4.将解方程和代数式的运算混淆.
5.做题只考虑目的和个人愿望不考虑必须遵守规则.
6.懒得写必须的文字.
7.错误的迁移（如解不等式）.
8.只会机械地背诵公式中的字母而不能用文字语言解释公式的结构特征.
9.缺乏化简意识导致的错误.
10.不做基本的检验.
11.不考虑实际问题的具体限制.
12.注意细节和结构（如：边边角），
13. 找到一个答案后不深入思考（如：三角形的高或中垂线，弦所对的圆周角）.
14.随意增加自己想要或题目中好像有的条件.
15.仅仅凭直观就做出判断.
16.受到“假定理”的干扰.
17.画图不认真导致错误的判断.
对应策略二： 数学技能的熟练化策略
要使每类问题的解决：操作化、程序化、自动化。如：方程问题的求解步骤，函数问题的解法，几何图形的分析方法。提高解题的速度和准确度。
提高计算能力，需要同学清楚运算的算理，需要同学养成先动脑再计算，尽量寻找最优算法的习惯，需要进行计算技巧的练习，还需要同学养成写全过程的习惯和管理好自己的心态。
对应策略三： 数学习惯的养成
积极进取习惯的养成。“不是不能，只是我们僵化了”。
坚持的习惯的养成。“只差一步我们就成功了”。
动手的习惯的养成。“手是大脑的探路杖”，要树立“两多一少”的意识，即“多写，多画，少动脑”。
反思的习惯的养成。我做的对吗？我考虑所有情况了吗？
对于审题，要用笔引导自己一个词一个词地读题，并随时画出“关键词”的习惯。
要解决好“规范书写”问题。
第一轮复习结束，要保证能够快速、全对(一遍成)地完成大容量的常规试题。务必抓住“准确率”和“时间”两个要素。
第二轮复习
从11年中招看：部分同学的变形、拓展能力欠缺，不善于使用数学思想、方法，缺乏整体思维策略，没有解题思路。
例如不会往“特殊化”和“数学变换”的方向思考，不能联想到“基本图形”。不能有条理地思考。
要观察、猜测、检验、回顾。“为了解题而解题”是不行的。
数学≠做题，对典型问题的解决必须有同学自己的深入探索、分析与感悟。要借助合情推理（估计、猜测） 、代数运算和逻辑推理去探索、发现解题的思路。在整个过程中，同学自己的体会是关键。
为了帮助学生感悟，进行“系列化”的研究比“一题多解”更重要。
数学变换系列化研究——轴对称
1．（龙岩中考）如图，在边长为4的等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是【 】
A．4 B．3
C．2 D．
第4题图
2. (白银中考)如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若 ，则∠AEF=【 】
A．110° B．115°
C．120° D．130°
3．（郴州中考）如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若 ， 则 ∠BDF= ____度．
4.(邵阳中考)如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AF=EF B．AB=EF
C．AE=AF D．AF=BE
5．（泰安中考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则
的值是【 】
A． B． C． D．
6．（哈尔滨中考）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是【 】
（A）3cm（B）4cm （C）5cm（D）6cm
7.(荆门中考)如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为________．
8．(威海中考)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为 【 】
A．1 B．2 C． D．
9. （宁德中考）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.
M
N
10.(河北中考) 在一平直河岸l同侧有A,B两个村庄， A,B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm(a>1)现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．图-1是方案一的示意图，该方案中管道长度为d1 =AB+BP（其中BP⊥ l于P点）；图-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2 =AB+BP （其中A点与点C关于l对称，CB与l交于P点）．要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
11.(荆门中考)如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______．
12.（黄石中考）如图，在等腰△ABC中，∠ABC=120O ，点P是底边AC上一个动点，M,N分别是AB,BC的中点，若PM,PN的最小值为2，则△ABC的周长是（ ）
A．2 B．
C．4 D．
13.(呼和浩特中考)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于【 】
A. 6 B. 8 C. 4 D.
14.（06河南第14题）如图，在△ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90 ,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是__________．
解决本问题，首先迅速判断“求EC+ED的最小值”的所属问题类型，并立刻联系到该种问题的基本原型。类比基本原型的条件、结论及解决方法来解答该问题。
在学习正方形时，要总结正方形的轴对称性的作用及其图形结构，在“正方形”与“等腰直角三角形”之间建立条件反射；形成完善图形的“补图”意识都有利于本问题的解答。
1.(乌兰查布中考)如图，菱形ABCD的对角线的长分别为3和8，P是对角线AC上的任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，
PF∥CD交AD于F。
则阴影部分的面积
是_______。
数学变换的系列化研究——旋转
2.（佛山中考） 如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M、N. 则线段BM、DN的大小关系是( )．
A. BM>DM
B. BMC. BM=DM
D. 无法确定
3．(镇江中考)如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90度得到矩形OA`B`C` ，则点B`的坐标为 ．
4.（宁波中考）如图，菱形中OABC， ∠A=120O ，OA=1，将菱形OABC绕点O按顺时针方向旋转90O，则图中由弧BB`，弧A`C 和边B`A`，边CB围成的阴影部分的面积是 ．
5.(鄂州中考) 如图， Rt△ABP中， ∠ABC=90O ， ∠CAB=30O, BC=2，O，H分别为边AB,AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120度到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（济宁中考）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP`重合，如果AP=3，那么PP`的长等于＿ ．
7. (安顺中考)已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为 。
8.（襄樊中考）如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．
（1）观查猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）图中是否存在通过
旋转能够互相重合的两
个三角形？若存在，请
指出，并说出旋转过程；
若不存在，请说明理由．
9.（义乌中考）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观查、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
10. 如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG：DF=________.（结果不取近似值）
11.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，通过观查或测量BE，CF的长度，你能得出
什么结论？请
证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
1.（07河南第15题） 如图,点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C.若∠AOB = 60°,OC = 4,则点P到OA的距离PD等于__________.
由特殊的条件“角平分线
＋平行线”，可以判断
⊿POC为等腰三角形，
PC=OC=4。
由“点P到OA的距离＋角平分线”联想到“角平分线的性质”。作PE⊥OB于点E,转而求PE的长。研究特殊⊿PCB即可。
河南中考试题中的图形变换
2.（07河南第17题）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB’O≌△CDO．
3.（06河南第15题）如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，
使点A落在A’的位置上．
若OB= ，
tan∠BOC=1/2 ，
求点A’的坐标为________．
M
解决问题时，首先要理清头脑：从所知条件可以发现什么？要求结论在什么条件下成立？这一系列的联想都必须在正式解题前建立起来。探寻解题思路的过程就是“联想”的过程。
本题的条件可以让我们求出矩形OABC的边长和顶点坐标。本题的结论要求我们作出A`D⊥OA于点D ，进而求A`D和OD的长，进而要求我们探寻△A`OD和什么三角形有什么“关系”？
在“折叠”问题中，哪些线段相等？哪些角相等？
本题是一个综合题，有些同学对这类问题感到疼痛。如果在复习的时候引导同学首先“先见树木不管森林”，然后再把所有的联想串起来，“既有树木又有森林”，就能够提高解题能力。同时，我们也看到难题是否能解决，也取决于平时是否建立了足够的“基本联系”。
4.（09河南第14题）在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .
平时要同学多动手操作，
考试时只能进
行“不完全操作实验”。
发现折痕PQ的移动造成点A`的移动，拿笔代替线段PQ运动，发现线段PQ的倾斜程度不同，点A`的左右就位置不同。点P的极端位置是与点B重合，点Q的极端位置是与点D重合.折叠问题也就是轴对称问题，通常需要利用“勾股定理”进行计算。
5（09河南第22题）
（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是
AD的中点，将△ABE沿BE
折叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
若（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值；
（3）类比探求
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值．
6.（07河南第14题）如图,四边形OABC为菱形,点B、C在以点O为圆心的弧EF上，若OA = 3，∠1 = ∠2，则扇形OEF的面积为_________.
在本题中，四边形OABC不但是菱形，而且和扇形OEF有关系。这种关系怎样建立呢？连接OB，则线段OB既与扇形有关又与菱形有关。OB,OC均为扇形OEF的半径，于是可知⊿OCB, ⊿OBA是等边三角形，从而∠COA=120o。
因为∠1＝ ∠2，所以可以把∠FOE看作是有∠COA旋转得到的， ∠FOE=120o.
7.（07河南第20题）如图，ABCD是边长为1的正方形，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次是A、B、C．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断直线
GB与DF的位
置关系，并
说明理由．
8.（08河南第18题）“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，
发现“BQ=CP”仍
然成立，请你就
图②给出证明．
9.（10河南第21题） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当α=________度时，
四边形EDBC是直角梯形，此时
AD的长为_________；
(2)当α=90°时,判断四边
形EDBC是否为菱形．
由条件“∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2”可以发现什么？“点0是AC的中点”有什么作用？
“当α=？度时，四边形EDBC是等腰梯形”这个思维过程是可逆的吗？
1．(陕西中考)如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 。
平移范例
什么时候用轴对称？
什么时候用旋转变换？
什么时候用平移变换？
这三种变换各自产生哪些相等的线段、角？产生什么样的图形？
这些问题应该在第二轮复习后有一个整体的认识，并能够有意识地去运用。
一些思维策略、
方法的应用
数学解题不是胡思乱想，要考虑：在具体问题中怎样进行整体思维？发现何时需要分类讨论？怎样进行联想？何时使用逆向思维？怎样进行发散思维？怎样探索隐含条件？怎样简化问题？
常用的解题策略
①综合分析 ②问题转化
③以退为进 ④数形结合
⑤特殊到一般
⑥把问题看作为一个整体
⑦正难则反 ⑧静动结合等等。
1.（09河南第6题）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为 【 】
（A）3 （B） 4
(C) 5 (D)6
河南中考中的数学思想应用举例
（第6题）
2.（08河南第6题） 如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是 【 】
A．邻边不等的矩形 B．等腰梯形
C．有一个角是锐角的菱形 D．正方形
3.（10河南第11题）如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数是______________．
4.（08河南第12题）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．
（第12题）
5.（10河南第14）如图矩形ABCD中，AD=1，AD= ，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为______________________．
（第14题）
6.（08河南15题） 如图，在
矩形ABCD中，E、F分别
是边AD、BC的中点，点G、
H在DC边上，且GH=DC．
若AB=10，BC=12,则图中
阴影部分面积为 ．
（第15题）
图1
图2
第13题
7.（06河南第13题）要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为___________．
8.（10河南第6题）如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△ABC，设点A的坐标为则点A的坐标为【 】
A.（-a,-b ） B. （-a,-b-1 ）
C.（-a,-b+1 ） D. （-a,-b-2 ）
9.（10河南第15题）如图，在半径为 ，圆心角等于450的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，则阴影部分的面积为（结果保留π） .
450有什么用？正方形
有什么用？在半径为
怎么用？ 正方形和扇形
怎样才能“联系”起来？
10.（10河南第15） 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是___________________．
11.(06河南第22题）如图△ABC中，∠ACB=90 ，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF//AB交直线DE于F．设CD=x．
当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
当x取何值时，
四边形EACD
的面积等于2 ？
（1）∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又∵DE⊥BC,∴EF∥AC.又∵AE∥CF,
∴四边形EACF是平行四边形。
当CF=AC时，四边形ACFE是菱形。
此时，CF=AC=2,BD=3-x，tan∠B= ,
ED=BD×tan∠B= (3-x),
∴DF=EF-ED=2- (3-x)= x.
在Rt△CDF中，CD2+DF2=CF2,
∴x2+( x)2=22,
∴x=± （负值不合题意，舍去）。即当x= 时，四边形ACFE是菱形。
（2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S梯形EACD= = 。
依题意，得 =2.
整理得 =0，
解之得 ， 。
∵ >BC=3,∴ 舍去。
∴当 时，梯形EACD的面积等于2.
12.(08河南第21题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．
求点C的坐标．
13.（10河南第21） 如图，直线 与反比例函数 的图象交于A（1，6），B（a,3)两点．
（1）求k1、k2的值；
（2）直接写出 时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，
BC//OD，OB=CD，OD边在
x轴上，过点C作CE⊥OD于
点E，CE和反比例函数的图象
交于点P，当梯形OBCD的面
积为12时，请判断PC和PE的
大小关系，并说明理由．
14.（10河南第19） 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD= ，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
（1）当x的值为________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
补1、某课外小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示。
（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟
面上其余数字的位置，并写
出相应的数字。
（4）问长方形的长应为多少
第19～22题中，会有一个代数应用问题，解这类问题，从“读题”到“分析”到“解题”到“检验”，每一个步骤的要点是什么？有哪些方法？这些都需要同学非常清楚。
遇到难以解决的问题往往还需要我们考虑：你能够画图分析题中各量之间的关系吗？你能够通过数据表分析题中各量之间的关系吗？
应用题
（09河南第22题） 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如下表所示：
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴.在(1)的条件下．如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元
在第（1）小题中，抓住“不超出现有资金”、“洗衣机数量不大于电视机数量的一半 ”就不难列出不等式组。但要注意解题格式，不要漏写必要的步骤。
对第（2）小题，可以分类讨论，也可以通过研究一次函数的增减性来确定该函数在某个自变量的取值区间内的最值。
设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为（15-2x）台，
依题意得：
15-2x≤ 2000x+2400x+1600（15-2x）≤32400
解这个不等式组，得6≤x≤7
∵x为正整数，∴x=6或7
方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台
（2）方案1需补贴：
（6×2100+6×2500+1×1700）×13%=4251（元）；
方案2需补贴：
（7×2100+7×2500+1×1700）×13%=4407（元）；
∴国家的财政收入最多需补贴农民4407元.
2.(06河南第21题)、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．
(1) 请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
(2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
（“到哪家超市购物更优惠”的数学含义是什么？）
（1）在甲超市购物所付的费用是：
300+0.8（x-300）=0.8x+60(元)；
在乙超市购物所付的费用是：
200+0.85（x-200）=0.85x+30(元)；
（2）当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600.
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
当0.8x+60> 0.85x+30时，解得x<600.而x>300,∴300当0.8x+60< 0.85x+30时，解得x>600.即当顾客购物超过600元时，到甲超市购物更优惠。
3.(06河南副卷第22题）某种苹果的进价是每千克1.90元，销售中有5％的苹果正常损耗．当售价定为每千克2.50元时，每天可销售150 千克．商家想采用提高售价的办法来增加利润，经试销发现：这种苹果每千克售价每提高0.10元，每天的销量就下降10千克．
（1）商家把苹果的销售价至少定为每千克多少元时，就能避免亏本？
（2）求苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元 /千克）之间的函数关系式．
（3）当苹果销售价定为多少元时，才能使商家一天的利润最大，一天的最大利润是多少元？
（1）设苹果的销售价定为每千克a元时，就能够避免亏本。依照题意，得a(1-5%)≥1.90, ∴a≥2。所以，苹果的销售价定为每千克2元时，就能避免亏本。
（2）由题意得y=150- =-100x+400,
（3）设商家一天销售苹果的利润为w元，依题意，得
w=(x-20)(-100x+400)= .
所以当苹果销售价定为每千克3元时，商家一天的利润最大，一天的最大利润是100元。
A B
进价(元/件) 1200 1000
售价(元/件) 1380 1200
4.（07年第22题）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件
(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元
对于方程、不等式和函数的生活应用题，要一步一步地分析：题中有哪几种量？这几种量之间有什么运算“关系”？有哪些量？这些量之间有什么“关系”？
在本题中， “36万元” 和“6万元”分别是什么量？与谁有关？怎样计算？关键词“共”和“不少于”是什么含义？
（1）设购进A种商品件，B种商品件．
根据题意，得
化简，得
解之，得
答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）由于A商品购进400件，获利为
（1380－1200）×400 = 72000（元）．
从而B商品售完获利应不少于:
81600－72000 = 9600（元）．
设B商品每件售价为x元，
则120（x－1000）≥9600．
解之，得x≥1080．
所以，B种商品最低售价为每件1080元．
结合实际问题，抽象出几何模型，再应用几何方法解决问题，最后回到实际问题进行检验和解释，要注意数形结合思想的应用。
几何应用题
（09河南第20题）如图，李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便
(数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．
∵AB=AC, ∴CE=0.5．
在Rt△AEC和Rt△DFC中，
∵tan780=AE/EC， ∴AE=EC×tan780 ≈0.5×4.70=2.35.
又∵sinα=AE/AC =DF/DC，
∴ DF=DC×AE/AC=3×AE/7 ≈ 1.007 ．
李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：
1.007+1.78=2.787．
头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787 ≈ 0.11．
∵0.05＜0.11＜0.20，
∴它安装比较方便．
（08河南第20题）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，
∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（结果精确到0.1km．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
梯形问题如何处理？“比原来
少走多少路程？”是什么意思？
作DG∥BC交AB于G点， ∵DC ∥ AB, ∴四边形DCBG是平行四边形。 ∴DC=GB,GD=BC=11. ∴两条路线之差为AD+DG-AG.
过点D作DH⊥AB于H点，在Rt△DGH中，
DH=DG×sin37 ≈11×0.60=6.60, GH=DG×cos37 ≈11×0.80=8.80
在Rt△ADH中，
AD= DH≈1.41×6.60≈9.31， AH=DH≈6.60 AD+DG-AG ≈ 9.31 +11-(6.60+8.80) ≈4.9 即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km.
2011第19题（9分）如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第—高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为10米；从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为60°。请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．(参考数据：≈1.732，≈1.414.结果精确到0.1米)
【答案】本题的主要解法共有三种：
解法一：
∵DE∥BO，α=45°，
∴∠DBF=α=45°.
∴Rt△DBF中，BF=DF=268.
∵BC=50，
∴CF=BF－BC=268－50=218.
由题意知四边形DFOG是矩形，
∴FO=DG=10.
∴CO=CF+FO=218+10=228.
在Rt△ACO中，β=60°，
∴AO=CO·tan60°≈228×1.732=394.896．
∴误差为394.896－388=6.896≈6.9（米）.
即计算结果与实际高度的误差约为6.9米.
解直角三角形的应用题是各省中考的考查重点，其中有测建筑物的高度，与航海有关问题，与筑路修堤问题等等，在解决时要把具体问题转化为数学模型，对计算不能直接求出的问题要通过列方程加以解决．
河南中考压轴题往往分层设问，前面的问题简单但是为后面的问题提供方法或结论。
往往以平面直角坐标系为联系代数和几何的桥梁；以方程、一次函数、二次函数、三角形和四边形为载体。
解答压轴题需要主动进行探索，需要熟练运用“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，需要“以静制动”地研究问题。
中招压轴题
2011年第23题（11分）如图5，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.
随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.
当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的
点P的坐标.
【思路点拨】
（10河南第23题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动
点，点Q是直线上的动点，
判断有几个位置能够使得点
P、Q、B、O为顶点的四边
形为平行四边形，直接写出
相应的点Q的坐标．
（09河南第23题）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，
判断有几个时刻使得△CEQ是等腰
三角形 请直接写出相应的t值.
第（1）小题，有些同学方程列对了，但计算出现错误。
第（2）小题，大部分同学不会做，得满分的更少。
要抓住关键，先从“粗略”的角度一步一步趋向细致地思考问题，进而形成“思维链”。如第①问，先搞清楚线段EG的长实际是点G 和点E的纵坐标的差，点G 被点E确定，而点E被点P确定,于是应该求线段AP、PE的长，线段AP、PE所在的△APE与已知的△ABC显然相似。
但有同学误以为PE的长为点E的横坐标。
第②问，近年来的压轴题往往需要分类讨论，如：哪些情况下是等腰三角形？哪些情况下是直角三角形（平行四边形、梯形等）？哪些情况下有相似三角形？
有些同学不知道要分类讨论，不知道用什么思路进行正确的分类，难以画出各种情况下的几何图形。对于某种情况，常规计算量很大，如何寻找新的思路。这些都需要思考。
在本问中，△CEQ是等腰三角形有三种情况：①. CE=CQ, ② EQ=EC, ③ QE=QC.这是首先必须确定的思考基础。然后按照这个分类“强制”自己在稿纸上画出相应的草图。
① 若CE=CQ
此时， CE=CQ=t,
因 AE= ，AC= ，
所以 +t=
解之得：t1= =40-16
②若EQ=EC，作PM⊥CD于点M,则CM=
CQ= t,CE= ,
于是 + = ，
解之得:t2=
③若EQ=EC，作QN⊥AC于点N,则
△CQN∽ △A CB,于是
而CE=AC-AE= -
所以，
解之得:t3=
(06河南)如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴于A、B两点.
(1) 求A,B两点的坐标
(2)设是直线AB上一动点(点P与点A不重合)，且⊙P始终和x轴相切，和直线AB相交于C、D两点
（点C的横坐标小于 点D的
横坐标）设P点的横坐标为m
，试用含有m的代数式表示
点C的横坐标；
(3)在（2）的条件下，若点C
在线段AB上，求m为何时，△BOC为等腰三角形？
（1）当x=0时，y=4;
当y=0时， ，x=3.
∴A(3,0),B(0,4).
(2)设点C的横坐标为n。
由（1）知
AB= =5,
∴sin∠OBA= .
分类的关键要了解何时进行分类，并找到分类的标准。
在本题中：
1、“⊙P始终和x轴相切”可以分为“⊙P在x轴的上方”与“⊙P在x轴的下方”。
2、△BOC为等腰三角形，可能以BO为底边，此时CB=CO;可能以BO为腰，此时只可能是CB=OB。
设点C的横坐标为n,过点C作CE⊥x轴于点E,过点P作PG⊥x轴于点G,PE⊥CE于点F,则∠FCP=∠OBA,PF=m-n
当m<3时，∵PC=PG= ，
∴PF=PC×sin ∠FCP=PC×sin ∠OBA,
∴m-n=( )×
解之得n= .
数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，要求能够自觉、熟练地进行代数知识与几何知识的相互转换。
对“点C的横坐标”，我们常设未知数为一个字母，我们发现它的数值与图中的某些线段有关，这些线段所在的三角形是特殊的三角形（这里是直角三角形）三角形之间又有某些关系（在这里是直角三角形的相似关系，用锐角三角函数来解决。
②当m>3时，PC=PG= ，PF=PC×sin ∠FCP=PC×sin ∠OBA,
∴m-n=( )× .
解之得n=
(3)当点C在线段AB上时，由（2）知，C点的横坐标n= ，以下两种情况△BOC为等腰三角形
①当CB=CO时，∵△OBA为直角三角形, ∠BOA=90°.∴此时C为AB的中点，∴C点的横坐标为 。 = 解之得m=
②当CB=BO时，
∵AB=5,∴AC=AB-CB=1,
∴AE=AC×cos ∠OAB=.∵OE+AE=OA,
∴ + =3,解之得m= .
∵OB>OA,∴在线段AB上不存在点C,使OC=OB.所以，当 m= 或m= 时，△BOC为等腰三角形
（07河南）如图，对称轴为直线 的抛物线经过点
A（6，0）和
B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（1）由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 ．
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为 ， 顶点为
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，
且坐标适合
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是□OEAF 的对角线，
∴
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是1＜x＜6．
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
根据题意，当S = 24时，即 ．
解之，得
故所求的点E有两个，
分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，
所以□OEAF 是菱形；
点E2（4，－4）不满
足OE = AE，
所以□OEAF 不是菱形．
（3）②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
②当OA⊥EF，且OA = EF时， □OEAF 是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）
的点不在抛物线上，故不
存在这样的点E，
使□OEAF 为正方形．
第（1）小题，属于对“通法”的考查，但是选择二次函数的一般式，还是顶点式或交点式这些不同的方法，对计算简便与否还是有影响的。
第（2）小题，所谓求“面积S与x之间的函数关系”无非是“计算”面积S。
第（3）小题，是一个探索性问题，需要去猜想、分析，然后按照正确的逻辑顺序书写过程。这里，要考虑特殊四边形的特殊性与本题的“结合点”。此时要分类讨论，考虑“所有可能的情况”，避免出现“漏洞”。我们可以继续把点E扩展到任意象限，再设置相应问题，仍有较大的探究空间.
（08河南）如图，直线 和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
解：（1）将y=0代人y=- 4x/3+4,得x=3,
∴点B的坐标为（3，0）；
将x=0代人y=- 4x/3+4,得y=4,
∴点C的坐标为（0，4）.
在Rt △OBC中，
∵OC=4,OB=3,∴BC=5.
又A（-2，0）；∴AB=5,
∴AB=BC, ∴ △ABC是等腰三角形。
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．
设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
（2）∵AB=BC=5,故点M,N同时开始运动，同时停止.过点N作ND⊥x轴于D,则
ND=BN×sin∠OBC=4t/5,
① 当0∴S=0.5OM×ND
=0.5(2-t) ×4t/5
=-2t2/5+4t/5.
当2∴S=0.5OM×ND
=0.5(t-2) ×4t/5 =-2t2/5- 4t/5.
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
②存在S=4的情形.当S=4时, -2t2/5+4t/5=4.
解得 t1=1+ t2=1- (不合题意,舍去)
t=1+ <5,故当S=4时, t=1+
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
a.当MN ⊥x轴时, △MON为直角三角形.
MB=BN×cos∠MBN=3t/5,又MB=5-t.
所以3t/5=5-t,t=25/8.
b.当点M,N分别运动到点B、C时,
△MON为直角三角形，t=5.
故△MON为直角三角形时，t=25/8或t=5.
在本题中，需要展开联想，寻找解决过的问题来源。需要充分利用几何图形的位置、形状和大小变化，注重几何元素之间的函数关系式的建立；常常把几何图形适当放到直角坐标中，回答相关问题；还要注意几何图形的元素与方程根的关系等等。
注意题设条件的隐含性。
对于综合题，经过分析，往往可以分解为若干个基本问题（包括基本图形），分解好了，解题的思路也就大体有了。要边读题，边画题，边思考：由此我能够发现什么？
专题复习，需要培养同学的解题策略，例如：我要研究的××是什么？还是什么？由它我可以联想的什么？……
对第二轮复习的建议
要以“联系”的观点进行思考，要发现问题中和问题间的各种数量、图形关系，运用转化的思想指导解题。
在遇到新问题时，思考：这个题我好像见过吗？它的一部分我见过吗？过去见过的题是怎样解决的？要“回到过去。
在复习时，随时有意识地研究问题的“特殊”情况，是提高解题能力的有效手段。树立“特殊的就是重要的，解决问题的前提是发现问题的特殊性”的观念。
回忆过去熟悉的“基本问题”、进行实验、猜测， 确定思维的若干主线，然后围绕这个主线坚定不移地进行研究。
函数专题复习
函数是初中数学的重点内容，它是联系初、高中数学的一个桥梁；且贯穿初、高中数学教学的一条主线，是中考中的必考内容，特别是新课程标准中 ，对函数的教学又提出了新的要求，主要有以下几个方面的变化：
（1）能在具体问题中探索量与量的关系和变化规律；
（2）能运用一次函数、反比例函数解决实际问题，能用二次函数解决简单的实际问题，即强调了“数学建模思想”；
（3）结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，即强调了“数学探索性”。
1．直接考查函数的有关
概念和性质
例．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图1所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜ y2中，正确的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
图1
（2009铁岭）如图所示，反比例函数与正比例函数的图象的一个交点坐标是（2，1），
若 ，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）
1
2
0
A．
1
2
0
B．
1
2
0
C．
1
2
0
D．
y
1
2
2
1
y2
y1
x
O
第7题图
2．综合考查函数、方程与
不等式之间的联系
函数与方程式、不等式之间有很多联系。
从表面形式上讲，它们都是用等号或不等号连接数量关系表示。
从其表示的结果看，函数是研究一个变化全过程的问题，不等式是研究一个区间上的关系的问题，而方程是研究一个或几个点上的特定的问题。
从应用的角度讲：一种是直接体现三者的数学关系的问题，另一种是综合而又内在地反映了函数与方程、不等式的关系的问题。
例．直线 ： 与直线 ： 在同一平面直角坐标系中的图象如图9所示，则关于x的不等式 的解为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【评析】
本题以函数图像为载体，以读图、识图为前提，通过两条直线的位置关系，获得不等式的解集，较好体现了函数、方程与不等式之间的关系，突出了新课程注重基础，关注联系与综合的特点．
（2009江西）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：
（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式；
（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？
S（米）
t（分）
B
O
O
3 600
15
（第21题）
A
解答过程
解：（1）解法一：S（米）t（分）BOO3 60015（第21题）
从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟
设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为3x米/分
依题意得：15x+45x=3600．
解得：x=60．
所以两人相遇处离体育馆的距离为
60×15=900米．
所以点B的坐标为（15，900）．
设直线AB的函数关系式为s=kt+b（k≠0）．
由题意，直线AB经过点A（0，3600）、B（15，900）得：
解之，得
解法二
从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了15分钟．
设父子俩相遇时，小明走过的路程为x米．
依题意得：
解得x=900，所以点B的坐标为（15，900）
以下同解法一．
（2009 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离(千米)和小王从县城出发后所用的时间(分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：
（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．
（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．
（3）李明从A村到县城共用多长时间？
答案
25. (1) 4千米 …………………..2分,
(2)解法一: ……………..1分
84+1=85
解法二: 求出解析式
84+1=85
(3) 写出解析式
20+85=105
【评析】:
函数图像与性质的研究，是很有代表性的一个研究过程，几乎所有函数性质的探究与发现都来自于对图像的直观观察与究．因此对函数图像及其性质的考查，绝不仅仅限于如一次函数、反比例函数、二次函数等这些函数性质探究的个案本身，而是具有更一般化的普遍意义，所以这类试题虽然基础，但很重要。
【评析】这类题的问题情境自然流畅，问题设计梯度合理科学，体现了对学生探究过程中能力的不同层次的考查．本题所涉及的问题包括三个层面：第一是针对看图像而确定的问题，考查了学生的识图能力；第二是利用求自变量取值范围的问题，有效地考查了学生建立方程或不等式组、最终解出相关自变量取值范围的能力，突出了对方程或不等式这种数学模型适当进行考查的基本考查意图；第三是较高要求地考查了学生建立函数模型以及灵活运用函数性质的能力．总之，这些题体现了方程、不等式、函数三者在实际应用与相关数学问题研究中的自然联系，有效地体现了对数学建模思想的综合考查．
3.函数在几何量化问题
中的应用
（2009柳州）如图， 直线l与x轴、y轴分别交于点M(8,0)，点N(0,6)．点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度沿N→O方向运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Q同时出发，当点Q到达点M时，两点P、Q同时停止运动， 设运动时间为t秒．
（1）设四边形MNPQ的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（2）当t为何值时，
PQ与l平行？
图9
l
Qq
O
M
N
x
y
P
解答过程
解：（1）依题意，运动总时间为t秒，要形成四边形MNPQ，则运动时间为 ． 1分
当P点在线段NO上运动t秒时，
∴ = 2分
此时四边形的面积
=
= 4分
∴关于的函数关系式为 5分
（2）当PQ与l平行时， ∽ 即
即
∴当t=2.4秒时， PQ与l平行．
4.函数中的探究性问题
（2009年舟山）水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天
售价x(元/千克) 400 250 240 200 150 125 120
销售量y(千克) 30 40 48 60 80 96 100
(1) 写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
(2) 在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
(3) 在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
解：(1) 函数解析式为:
(2) 2 104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1 600，
即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克．
当x=150时，y=80．
1 600÷80=20，所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．
(3) 1 600-80×15=400，400÷2=200，
即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克．
当y=200时，x=60．
所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务．
5. 中考试题中一次函数和二次函数的处理关系
河北省2009年：22题（本小题满分9分）图12
已知抛物线经过点O和点P （t，0），且t ≠ 0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，
请通过观察图象，指出此时y的最小值，
并写出t的值；
（2）若t=-4，求a、b的值，并指出此时抛
物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
A
O
P
x
y
图12
- 3
- 3
2012年的中考命题，函数的相关内容将继续是考查的重点，不仅是对函数的基本概念、性质等方面的考查，更要在函数的应用、综合方面加大力度，以体现学数学用数学的新课程理念，因此，对函数的复习要注意以下几个方面要点：
⒈ 继续关注函数中的知识要点，通过训练进行强化
⒉ 继续关注函数中的实际应用题，通过讲练进行培训
⒊ 继续关注函数综合题教学，提高学生的应试能力
可从这几方面加以分类综合复习教学：
1） 函数与直线形 直线形包括平行线、相交线、三角形、四边形等内容，解决此类题型的关键是将函数与解直角三角形、相似三角形及特殊的四边形的判定与性质等有关知识相结合，注重点与线、数与形及函数知识之间的转化。
2） 函数与圆 以函数为背景，运用圆的有关性质、定理求直线、抛物线等的解析式，或图象上点的坐标，与圆有关的角的计算等，解决此类题型的关键是将圆的有关性质和函数的图象、性质结合考虑，并注意挖掘题目中的一些隐含条件。
3） 函数与其它几何图形的周长、面积 、 解决此类题型的关键是把图形中相关线段的长用点的坐标表示，并善于将图形面积转化。
在上述几类题型的基础上，尤为需要加强训练的是运动变化中的点动型函数综合题。另外函数方面的阅读题也要涉及一下。
由于综合题涉及的知识点多，涉及到的数学方法多，涉及到的数学思想多，这要求学生准确、迅速地对综合题提供的信息进行梳理，整合，运用所掌握的数学知识对综合题进行分解、组合。函数综合题分解与组合是一个难点，分解综合题，实质上就是不断把原问题化解为若干个小问题，即根据原问题不断地提出新问题，这往往是学生的不足，这实质上是数学上的转化思想，后期复习中应注重学生对这方面能力的培养。
对第三轮复习的建议
第三轮复习，以全真练兵为主，要通过全真练兵注意对知识掌握的漏洞，对数学思想、方法、解题策略使用的缺乏主动性与不够成熟，对各种题型的不够熟悉，对考试策略（考试心态的调整，解题顺序）的确定.
对第三轮复习的建议
第三轮复习，以全真练兵为主，要注意对知识掌握的漏洞，对数学思想、方法、解题策略使用的缺乏主动性与不够成熟，对各种题型的不够熟悉，对考试策略（考试心态的调整，解题顺序的确定，解题速度的把握，演草纸的使用，解题后复查的策略）进行考查，及时解决问题。
认真归纳知识的遗漏点，分析做错的原因，研究解决的方法。
要把好五关：
1、把好计算的准确关。
2、把好理解审题关。
3、把好表达规范关。
4、把好思维关。
5、把好解题速度关。
遇到疑难问题，要“能写即写”。先解决会解决的部分，能写几步就写几步。例如：把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设未知量为未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意画出图形等。
中考数学回顾与趋势展望
2012年2月25日
中考数学回顾与趋势展望
中考数学回顾
近几年河南中考数学题目梳理
2011年河南中考试题分析
2012年河南数学中考趋势展望
2012年命题原则
几个主要的名词解释
对河南2012中考数学的内容展望
2012年数学中考复习建议
第一轮
第二轮
第三轮
近几年河南中考数学题目梳理
本部分内容以表格的形式呈现，试图从近几年河南省中考数学试题的命制上发现一些规律性的特点，同时发现哪些重要知识点是命题人员重点关注的，进而反复考查的。
河南中考数学试卷内容结构（1）
七年级 八年级 九年级
11年 27% 49% 24 %
10年 25% 48% 27%
09年 29% 43% 28%
08年 28% 33% 39%
题号 10年 09年 08年 11年
1 相反数 相反数 绝对值 绝对值
2 科学记数法 不等式解集 科学记数法 三线八角
3 众数，极差
数据的收集方式 不等式的解集 幂的计算
4 中位线，相似三角形 一元二次方程的解 立体图形与
三视图 不等式组的解
5 解一元二次方程 旋转与坐标系 对称与坐标系 平均数与方差
6 旋转与坐标系（平移） 三视图到立体图形 中位线，四边形（旋转） 旋转与坐标系（平移）
河南中考数学试卷内容结构（2）
题号 10年 09年 08年 11年
7 有理数的运算 平方根 有理数运算 立方根
8 估计无理数的近似值 平行线与三角形内角和 一次函数的解析式 等腰三角形
9 一次函数的解析式 代数式求值 平行线与三角形内角和 反比例函数
10 三角形的内角和
平行四边形的性质与中位线 众数，中位数 切线性质，圆周角
11 切线的性质，圆周角与圆心角 切线的性质与三角形圆周角 反比例函数的解析式 二次函数增减性
12 用树状图或列表计算概率 反比例函数的性质 圆周角与三角函数，方格纸 用树状图或列表计算概率
13 立体图形与
三视图 用树状图或列表计算概率 一元一次方程打折销售 四边形图形中最小值
题号 10年 09年 08年 11年
14 矩形，特殊三角形（逆向思维） 矩形，轴对称（动态思维） 圆锥的侧面积 三视图表面积
15 特殊三角形，圆（动态思维） 扇形与特殊三角形（联系的观点） 矩形与相似三角形（逆向思维） 直角梯形特殊三角形计算
16 分式运算 分式与二次根式的运算 分式与二次根式的运算 分式运算
17 平行四边形，三角形（轴对称） 全等三角形 （轴对称） 条形、折线统计图的应用 梯形全等三角形与计算
18 扇形、条形统计图的应用 扇形统计图与频数表 全等三角形的（旋转） 扇形、条形统计图的应用
题号 10年 09年 08年 11年
19 特殊四边形（动点，分类讨论） 一次函数与二元一次方程组 用树状图或表格求概率 解直角三角形
20 一元一次方程和一元一次不等式组的应用 解直角三角形的应用 特殊四边形，解直角三角形 一次函数与反比例函数
21 一次函数，反比例函数和等腰梯形 旋转变换中的特殊三角形、梯形、菱形 圆，特殊四边形 不等式与方程组应用
22 矩形，轴对称，勾股定理（图形关系的不变性） 不等式组的应用（图表信息） 二元一次方程组，一元一次不等式与一次函数的应用 四边形动态问题
23 二次函数，特殊四边形，（动点，分类讨论） 二次函数、矩形、三角形 （动点分类讨论思想） 一次函数，三角形，二次函数，一元二次方程（动点，分类讨论） 一、二次函数，特殊四边形，三角形、方程（动点，分类讨论）
河南中考数学压轴题概况
10年 二次函数＋一次方程组＋三角形面积及其极值＋动点与分类讨论（平行四边形）
09年 二次函数＋二元一次方程组＋矩形＋线段长及其极值 ＋动点与分类讨论（等腰三角形）
08年 一次函数＋三角形及其面积＋二次函数＋一元二次方程＋动点与分类讨论（直角三角形）
11年 一、二次函数＋正方形＋ 三角形周长＋一元二次方程
动点坐标问题
河南中考数学试卷内容结构（3）
数与代数 空间与图形 统计与概率
数,式 方 程
不等式 函数 三角形四边形
圆
其他 统计 概率
分值 20 12 17 40 5 11 12 3
10年 41 ％ 47％ 12％
09年 44 ％ 43％ 13％
08年 39％ 43％ 18％
11年 38％ 44％ 18％
从以上表格命题规律大致总结如下：
一、选择题（每小题3分，共18分）
数与代数：3道题，
空间与图形：1-2道题，
统计与概率：1道题，
综合（图形的变换与点的坐标）：1道题
二、填空题（每小题3分，共27分）
数与代数：3-4道题，
空间与图形：4-5道题，
统计与概率：至多1道题
实数的相关概念 倒数、相反数、绝对值
科学记数法 大数的科学记数法
视图 三视图还原几何体
运算 实数运算
圆中相关计算 圆心角与圆周角的关系，切线的性质
阴影部分面积的计算 菱形的性质，扇形，三角形的面积
函数解析式 反比例函数
图形变换求点的坐标 几何变换后求对应点的坐标
动点问题求最值 折叠的性质求距离最短，建立关系式求最值
解一元二次方程 直接求解
相交线、平行线的性质 求角
几何 图形的分割（规律探索）
概率 统计数据的分析
下列考点通常在选择填空题中出现
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
解答题中常考的知识点有：①分式的化简与求值、②全等三角形的判定、③列方程（组）与不等式（组）解决实际问题、④动点问题.⑤对概率考查的难度有降低的趋势，07-08年均有对概率计算的解答题，09、10年、11年对概率的考查均在填空题中，而在对统计图问题进行考查的第三问涉及到了概率的计算。
二次函数的知识点每年都会考查，每年的形式都有变动，具有区域特点，注意与其他省份区别。
分式的化简与求值 一直在考查，形式趋向开放性（第16题）
全等三角形判定 与四边形结合（第17题）增加了计算
统计图表问题 统计图（第18题）增加了概率计算
方程（组）与不等式（组）的应用 一次方程组与不等式的应用（第20、21、22、23题）
特殊四边形的判定 探究型（第22题）
解直角三角形的应用 测量问题（第19题）
函数与几何的综合题 数形结合思想，探究型问题（第20、23题）
动点与分类讨论 问题 函数（二次函数）与几何的综合题，考查分类讨论思想、数形结合思想、函数思想及方程思想（第23题）
下列考点通常在解答题中出现
2011年河南中考试题分析
(一)试题的主要特点
1.关注数学核心内容的考查，体现全面性，较好地保证了试卷的效度
2.试题难度进一步加大
3.加强关于空间与图形合理推理能力及综合能力的考查，体现了较好的区分度
4.试卷在充分把握重点的基础上，突出考查数学思想方法与数学探究活动
5.试卷呈现丰富多彩的情境，贴近生活，体现应用性
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【数与代数】
第6题（3分）如图1，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为【 】
（A）（3，1） （B）（1，3）
（C）（3，－1）（D）（1，1）
【思路点拨】
【答案】 C.
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【数与代数】
【错因分析】
本题得分率为46﹪．错误选项中，选A的最多，约占错误人数的59﹪.
虽然属于基础知识点，但是综合起来，很多考生不能理解和想象变化过程，找不到对应点之间的坐标关系，于是很容易写错坐标的性质符号.
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【概率与统计】
第12题（3分）现有两个不透明的袋子，其中一个装有标号分别为1、2的两个小球，另—个装有标号分别为2、3、4的三个小球，小球除标号外其它均相同，从两个袋子中各随机摸出1个小球，两球标号恰好相同的概率是 ．
【思路点拨】
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【概率与统计】
【答案】 .
【错因分析】
本题得分率为79﹪.错误的答案中，不认真审题、不理解题意，是导致失分的主要原因．
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【概率与统计】
第18题（9分） 为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如图的调查问卷(单选).
在随机调查了奉市全部5 000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图2：
根据以上信息解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并计算扇形统计图中m= ；
(2)该市支持选项B的司机大约有多少人？
(3)若要从该市支持选项B的司机中随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【概率与统计】
【思路点拨】
本题主要考查了统计表和扇形统计图之间的转换关系，以及根据图中的数据进行计算等．
【答案】略.
本题满分率为54﹪．试题不难，计算不繁，但数量关系含混不清，计算不准确还是令不少考生失分．
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【空间与图形】
第15题（3分）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为 .
【思路点拨】
【空间与图形】
第15题（3分）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为 . 【思路点拨】 首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°，
点E是BC边的中点，推出四边形
ABED是矩形，所以得到直角三角形，
所以能求出CD和DE，又由△DEF是
等边三角形，得出DF，由直角三角形△AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．
【答案】3＋
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【空间与图形】
第15题（3分）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为 .
【思路点拨】
【错因分析】本题正确率
为37.6﹪．错误原因主要是
推理与计算的综合能力不强.
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【空间与图形】
第22题（10分）如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
【思路点拨】
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【空间与图形】
【证明与解答】略.
【错因分析】本题满分率大约是2.88﹪；平均分大约是3.61；本题得分率大约是71.9﹪．失分的主要原因是：
（1）概念不清；
（2）综合能力不强；
（3）分类讨论思想把握不准（这是中等偏上的考生失分的主要原因）．
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【课题学习】
第23题（11分）如图5，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.
随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.
当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的
点P的坐标.
【思路点拨】
2011年中考试题分析
（二）典型题目分析【课题学习】
【错因分析】满分率千分之4.72， 得分率50.1﹪，平均分 1.42．
（1）计算出现错误
（2）审题不清
（3）概念认识不够
（4）解题思路混乱
2011年中考试题分析
2011大题数据
见附件1
2012年河南数学中考趋势展望
命题原则：关注《标准》中必须掌握的核心观念和能力；注重进一步学习所必须的数与代数、空间与图形和统计与概率的基础知识和基本技能；注重结果，还要注重过程；既考查思维能力，也考查思维方法；着重考查解决简单的实际问题，还要注意考查创新意识..（考查基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，着意创新 ）
核心观念和能力：数感、符号感、空间观念、统计观念、推理能力和应用意识等.
基础知识：概念、法则、性质、公式、公理、定理及由起内容所反映出来的数学思想和方法
基本技能：按一定的程序与步骤计算、作图或画图、进行简单的推理.
几个主要的名词解释
思维能力：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；会运用数学概念、原理、思想和方法辩明数学关系.
解决简单实际问题的能力：解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题，能够解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题、展开交流.
数学创新意识：对自然界和社会生活中的现象，会从数学角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决.
2012年河南数学中考趋势展望
注重 :基本知识技能、基本思想方法、基本活动经验。
2012年河南中考数学的指导思想仍然会是“狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，有所创新” 。
2012年河南数学中考趋势展望
1、抓住基础：
11年河南中考数学试题中真正困难题目的分值只有14分左右。 2012年数学中考的难度不会有较大变化。
对于《数学课程标准》中“能”、“会”、“掌握”、“运用”后面的内容，应该是考查的对象。例如：相反数、倒数、绝对值和平方根，科学记数法考的几率仍然很大。
要考统计的相关概念，并至少有一道大题是关于统计应用方面的。
有关概率的问题不会难也不会太容易。
有关三视图的问题还可能出现。
对平行线、三角形全等与四边形的简单综合、图形的变换旋转（平移、旋转、轴对称）的简单应用仍然会出现。
有关函数的常规性问题必然要考。
探索规律的问题还可能再次考查。
有关坐标系的问题是考查数形结合工具。
有关整式、分式的运算不超过三步；不单独考查升幂、降幂、添括号。
不出专门考查分母有理化的试题，但在进行二次根式的运算（除式中只含一个二次根式）时，要求同学将结果化简。
有关代数式和方程的计算量不会太大。
一元二次方程中的二次项系数不出现字母；解可化为一元一次方程的分式方程中的分式不超过两个。
对圆和相似图形的考查难以出现难题。
仍然会考方程与不等式的应用问题。
2012年河南数学中考趋势展望
2、突出重点：
中考试题的重点内容在考试中占有较大的比例。
例如：初中数学的主干知识有：方程与不等式、函数、概率与统计、三角形、四边形等，对这些主干知识的考查在12年的试题中所占分值达86分。
尤其是三角形和四边形所占分值达45分。
2012年河南数学中考趋势展望
3、强调应用：
具有应用背景的问题在11年的试题中占30分，这个分值在12年的试题中有望得到增加。
要提高分析题意、将“文字语言”转化为“符号语言”和“图形语言”的能力，和分析图（表）、从题目中抽出“关键词”和“关键数量”的能力．从而有意识地将实际背景剥离掉，并发现问题中的数学关系。
2012年河南数学中考趋势展望
4、关注思想、方法：
11年的试题中涉及数形结合、转化思想、运动思想、分类讨论、图形变换的题目分值为67分。
“难题”的“难”对不同的同学意义是不同的。原因在于其对数学思想、方法和解题策略的掌握运用水平不同，所积累的数学经验不同造成的。
有些同学对未见过的题，无所适从。如不会解坐标系下的问题，其一原因是“数形结合”能力较弱。
基于《数学课程标准》，教材中对“图形变换”的研究过于轻薄，有些同学使用“图形变换”解题的意识和能力不够，增大了中考解题的难度。作为解题的重要方法，需要对“图形变换”进行专项练习。
不能运用“分类讨论思想”和“运动变化思想”是有些同学难以解决压轴题的关键。
2012年中考， “数与代数” ，“图形与几何” ，“统计与概率”试题所占比例会和11年接近。
在第16题中，对“实数的运算”，“代数式（包括“分式”与“二次根式”）的运算”和“解方程”是交替考查的。12年也不会出这个范围。
对河南2012中考数学的内容展望
“二元一次方程组”、“一元一次不等式组”和“一次方程与一次不等式的综合”成为解决实际问题的利器。而“一元二次方程”主要出现在“压轴题”中。还未出现依靠“分式方程”解决的应用题。
对“反比例函数”的考查较少， “压轴题”中的“一次函数”与“二次函数”交替出现不过还是有可能适当调整三种函数的分值比例。
可能讨论“简单实际问题中函数的自变量取值范围” 或“结合函数关系预测变化规律”，“一次函数与二元一次方程的关系，“二次函数与一元二次方程的关系”。
对“线段、角、平行线”的考查主要融入其他问题中，对“特殊三角形”和“特殊四边形”的考查仍然会占据重要的地位。
对“相似形判别及其性质” 较少考查，主要是因为《课标》对此部分内容的要求多为“了解”，而对于特殊情况，用“解直角三角形”解决有关的问题。而对于“解直角三角形” 在数学综合题中应用，还需要加强练习和体会。
对于“圆”，除了计算弧长及扇形的面积其他考查并不多。2012年可能对“垂径定理”,“圆周角定理”和“切线的性质定理”进行的考查。
近年来多对“三视图”进行考查，2012年不大会考查“视点、视角、盲区”。也有可能加入 “展开图”的元素。
仍然会考查“应用统计知识与技能，解决简单的实际问题” ，这是需要同学规范练习的。
2012年数学中考复习建议
如果七、八年级没有为中招做好充分的准备，那么中招备考复习，时间紧，任务多，压力大，要求“快”字当头。这期间，首先要保持清醒的头脑，随时清楚：我应该干什么？我在干什么？我应该怎样干？
我离目标更近了，还是过犹不及呢？每一部分复习后我是否反思总结：复习效果怎样？要知道：“没有最好，必须更好”。
四“要”
技能要训练
习惯要养成
思维要积极
方法要总结
四“想”
一想：怎样进行练习？
二想：怎样进行思考？
三想：怎样进行总结？
四想：怎样进行考试？
三“和谐”
严谨与灵活的和谐统一
思维与自动的和谐统一
快速与准确的和谐统一
复习建议
1. 认真体会往年试题的特征.
2. 注意解题规范性.
3. 建立错题档案.
4.每日进行知识和方法的总结.
5. 按考试的要求进行平时的练习.
6.每天进行调节心态的练习.
第一轮复习
每年的中招试题都没有偏题、怪题，为什么还有那么多同学成绩不理想，连基本题都没有得分呢？
当然是与对知识把握不准确，技能运用不熟练，解题不规范，心态不稳定，没有好的学习习惯，缺乏精益求精、每分必得的勤奋态度有关。
09年中考中出现的错误举例：
2．不等式﹣2x<4的解集是 【 】
（A）x>﹣2 （B）x<﹣2
（C） x>2 （D） x<2
错因： 负迁移，缺乏思维的严谨性，缺乏检验习惯，缺乏警示信号.
3. 下列调查适合普查的是 【 】
（A）调查2010年6月份市场上某品牌饮料的质量
（B）了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况
(C) 环保部门调查5月份黄河某段水域的水质量情况
(D)了解全班同学本周末参加社区活动的时间
错因：未形成准确读题的方法、习惯、能力，缺乏检验意识，未能调节好考试状态。
7. 16的平方根是 .
错因：基础知识把握不准确，第一轮复习辨析工作不深入、具体，忽视生活思维与数学思维的区别，缺乏进行辨析的意识和习惯，不化简.
11.如图，AB为半圆O的直径，
延长AB到点P，使BP=AB，
PC切半圆O于点C，点D是
弧AC上和点C不重合的一点，则∠D的度数为 .
错因：不熟悉“直径”，“切线”的用法，缺乏“特殊化”的思路和猜想意识，不能顺利进行圆和三角形之间的转化。
12.点A(2，1)在反比例函数 的图像上，当1﹤x﹤4时，y的取值范围是 .
错因：缺乏图形结合的思维能力，缺乏特殊化的意识.
13.在一个不透明的袋子中有2个黑球、3个白球，它们除颜色外其他均相同.充分摇匀后,先摸出1个球不放回,再摸出1个球,那么两个球都是黑球的概率为 .
错因：缺乏准确读题的方法、习惯、能力。
解答题
16．先化简，
然后从 中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值.
错因：（1）计算时没有注意符号的确定。
（2）没有注意运算存在的条件。
（3）解答格式不规范.
17.如图，∠BAC=∠ABD,
AC=BD，点O是AD、BC的
交点，点E是AB的中点.试判
断OE和AB的位置关系,并给出证明.
错因：
(1)未注意图形中“边、角、边”的关系应该与书写的字母、符号应该是一致的.
(2)未写公共边这个条件.
(3)格式不规范. 没有将对应点的字母写在对应的位置上 .
18.2008年北京奥运会后，同学们参与体育锻炼的热情高涨.为了解他们平均每周的锻炼时间，小明同学在校内随机调查了50名同学，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图.
组别 锻炼时间(时/周) 频数
A 1.5≤t<3 1
B 3≤t<4.5 2
C 4.5≤t<6 m
D 6≤t<7.5 20
E 7.5≤t<9 15
F t≥9 n
根据上述信息解答下列问题：
(1)m =______，n =_________；
(2)在扇形统计图中，D组所占圆心角的度数为_____________；
(3)全校共有3000名同学，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的同学约有
多少名
错因：（1）计算错误。
（2）没有读懂题意，将144 写成144％.
（3）解题格式不规范，数学语言表述不完整。
l9.暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升.
(1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求y与x的函数关系式；
(2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家 请说明理由.
错因：
对第（1）小题用算术法来求函数的解析式，而没有用待定系数法。少数同学计算错误。
综上所述
数学中考中部分同学存在的问题
1、没有准确把握基本概念、定理或公式的条件和适用范围。缺乏必要的记忆。
2、计算能力弱，影响思维与结果。
3、数学语言素养低，解题格式不规范。
4、只个人的感觉而不善于说理和论证。
5、阅读习惯差、不会审题。
懂了≠会了≠对了≠快了
牢固地掌握基础知识和基本技能是在中考中取得好成绩的前提。 这些问题的解决，主要靠第一轮复习来完成。
对应策略一：提高知识理解力的策略
要回顾好知识背景,抓住概念、定理叙述中的关键词。
要进行文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化。
对教材内容进行归类,熟悉典型例题, 分析例题结构特征,归纳解题思路、方法,为例题的迁移做好准备。
在几何复习中要概括出中考必备的“基本图形”，如“平行线＋角平分线＝等腰三角形”等等。要总结：“角平分线有什么作用？中点怎么用？折叠问题怎样处理？轴对称会产生什么图形？旋转变换在什么情况下使用，旋转的结果是什么？”
对部分难点问题，要概括出题目的特点。
如：对“函数”学习的三个关键词“对应与定义，运动与特征，图形与方法”。
对“圆”学习的四个条件反射“弦与垂径，角与弧，直径与直角，切线与垂直”。
要总结一些习惯性的错误
1.对数的认识停留在小学阶段.
2.忽视公式成立的条件.
3.随意省略过程导致计算错误.
4.将解方程和代数式的运算混淆.
5.做题只考虑目的和个人愿望不考虑必须遵守规则.
6.懒得写必须的文字.
7.错误的迁移（如解不等式）.
8.只会机械地背诵公式中的字母而不能用文字语言解释公式的结构特征.
9.缺乏化简意识导致的错误.
10.不做基本的检验.
11.不考虑实际问题的具体限制.
12.注意细节和结构（如：边边角），
13. 找到一个答案后不深入思考（如：三角形的高或中垂线，弦所对的圆周角）.
14.随意增加自己想要或题目中好像有的条件.
15.仅仅凭直观就做出判断.
16.受到“假定理”的干扰.
17.画图不认真导致错误的判断.
对应策略二： 数学技能的熟练化策略
要使每类问题的解决：操作化、程序化、自动化。如：方程问题的求解步骤，函数问题的解法，几何图形的分析方法。提高解题的速度和准确度。
提高计算能力，需要同学清楚运算的算理，需要同学养成先动脑再计算，尽量寻找最优算法的习惯，需要进行计算技巧的练习，还需要同学养成写全过程的习惯和管理好自己的心态。
对应策略三： 数学习惯的养成
积极进取习惯的养成。“不是不能，只是我们僵化了”。
坚持的习惯的养成。“只差一步我们就成功了”。
动手的习惯的养成。“手是大脑的探路杖”，要树立“两多一少”的意识，即“多写，多画，少动脑”。
反思的习惯的养成。我做的对吗？我考虑所有情况了吗？
对于审题，要用笔引导自己一个词一个词地读题，并随时画出“关键词”的习惯。
要解决好“规范书写”问题。
第一轮复习结束，要保证能够快速、全对(一遍成)地完成大容量的常规试题。务必抓住“准确率”和“时间”两个要素。
第二轮复习
从11年中招看：部分同学的变形、拓展能力欠缺，不善于使用数学思想、方法，缺乏整体思维策略，没有解题思路。
例如不会往“特殊化”和“数学变换”的方向思考，不能联想到“基本图形”。不能有条理地思考。
要观察、猜测、检验、回顾。“为了解题而解题”是不行的。
数学≠做题，对典型问题的解决必须有同学自己的深入探索、分析与感悟。要借助合情推理（估计、猜测） 、代数运算和逻辑推理去探索、发现解题的思路。在整个过程中，同学自己的体会是关键。
为了帮助学生感悟，进行“系列化”的研究比“一题多解”更重要。
数学变换系列化研究——轴对称
1．（龙岩中考）如图，在边长为4的等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是【 】
A．4 B．3
C．2 D．
第4题图
2. (白银中考)如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若 ，则∠AEF=【 】
A．110° B．115°
C．120° D．130°
3．（郴州中考）如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若 ， 则 ∠BDF= ____度．
4.(邵阳中考)如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AF=EF B．AB=EF
C．AE=AF D．AF=BE
5．（泰安中考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则
的值是【 】
A． B． C． D．
6．（哈尔滨中考）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是【 】
（A）3cm（B）4cm （C）5cm（D）6cm
7.(荆门中考)如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为________．
8．(威海中考)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为 【 】
A．1 B．2 C． D．
9. （宁德中考）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.
M
N
10.(河北中考) 在一平直河岸l同侧有A,B两个村庄， A,B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm(a>1)现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．图-1是方案一的示意图，该方案中管道长度为d1 =AB+BP（其中BP⊥ l于P点）；图-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2 =AB+BP （其中A点与点C关于l对称，CB与l交于P点）．要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
11.(荆门中考)如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______．
12.（黄石中考）如图，在等腰△ABC中，∠ABC=120O ，点P是底边AC上一个动点，M,N分别是AB,BC的中点，若PM,PN的最小值为2，则△ABC的周长是（ ）
A．2 B．
C．4 D．
13.(呼和浩特中考)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于【 】
A. 6 B. 8 C. 4 D.
14.（06河南第14题）如图，在△ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90 ,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是__________．
解决本问题，首先迅速判断“求EC+ED的最小值”的所属问题类型，并立刻联系到该种问题的基本原型。类比基本原型的条件、结论及解决方法来解答该问题。
在学习正方形时，要总结正方形的轴对称性的作用及其图形结构，在“正方形”与“等腰直角三角形”之间建立条件反射；形成完善图形的“补图”意识都有利于本问题的解答。
1.(乌兰查布中考)如图，菱形ABCD的对角线的长分别为3和8，P是对角线AC上的任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，
PF∥CD交AD于F。
则阴影部分的面积
是_______。
数学变换的系列化研究——旋转
2.（佛山中考） 如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M、N. 则线段BM、DN的大小关系是( )．
A. BM>DM
B. BM
D. 无法确定
3．(镇江中考)如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90度得到矩形OA`B`C` ，则点B`的坐标为 ．
4.（宁波中考）如图，菱形中OABC， ∠A=120O ，OA=1，将菱形OABC绕点O按顺时针方向旋转90O，则图中由弧BB`，弧A`C 和边B`A`，边CB围成的阴影部分的面积是 ．
5.(鄂州中考) 如图， Rt△ABP中， ∠ABC=90O ， ∠CAB=30O, BC=2，O，H分别为边AB,AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120度到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（济宁中考）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP`重合，如果AP=3，那么PP`的长等于＿ ．
7. (安顺中考)已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为 。
8.（襄樊中考）如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．
（1）观查猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）图中是否存在通过
旋转能够互相重合的两
个三角形？若存在，请
指出，并说出旋转过程；
若不存在，请说明理由．
9.（义乌中考）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观查、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
10. 如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG：DF=________.（结果不取近似值）
11.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，通过观查或测量BE，CF的长度，你能得出
什么结论？请
证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
1.（07河南第15题） 如图,点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C.若∠AOB = 60°,OC = 4,则点P到OA的距离PD等于__________.
由特殊的条件“角平分线
＋平行线”，可以判断
⊿POC为等腰三角形，
PC=OC=4。
由“点P到OA的距离＋角平分线”联想到“角平分线的性质”。作PE⊥OB于点E,转而求PE的长。研究特殊⊿PCB即可。
河南中考试题中的图形变换
2.（07河南第17题）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB’O≌△CDO．
3.（06河南第15题）如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，
使点A落在A’的位置上．
若OB= ，
tan∠BOC=1/2 ，
求点A’的坐标为________．
M
解决问题时，首先要理清头脑：从所知条件可以发现什么？要求结论在什么条件下成立？这一系列的联想都必须在正式解题前建立起来。探寻解题思路的过程就是“联想”的过程。
本题的条件可以让我们求出矩形OABC的边长和顶点坐标。本题的结论要求我们作出A`D⊥OA于点D ，进而求A`D和OD的长，进而要求我们探寻△A`OD和什么三角形有什么“关系”？
在“折叠”问题中，哪些线段相等？哪些角相等？
本题是一个综合题，有些同学对这类问题感到疼痛。如果在复习的时候引导同学首先“先见树木不管森林”，然后再把所有的联想串起来，“既有树木又有森林”，就能够提高解题能力。同时，我们也看到难题是否能解决，也取决于平时是否建立了足够的“基本联系”。
4.（09河南第14题）在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .
平时要同学多动手操作，
考试时只能进
行“不完全操作实验”。
发现折痕PQ的移动造成点A`的移动，拿笔代替线段PQ运动，发现线段PQ的倾斜程度不同，点A`的左右就位置不同。点P的极端位置是与点B重合，点Q的极端位置是与点D重合.折叠问题也就是轴对称问题，通常需要利用“勾股定理”进行计算。
5（09河南第22题）
（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是
AD的中点，将△ABE沿BE
折叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
若（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值；
（3）类比探求
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值．
6.（07河南第14题）如图,四边形OABC为菱形,点B、C在以点O为圆心的弧EF上，若OA = 3，∠1 = ∠2，则扇形OEF的面积为_________.
在本题中，四边形OABC不但是菱形，而且和扇形OEF有关系。这种关系怎样建立呢？连接OB，则线段OB既与扇形有关又与菱形有关。OB,OC均为扇形OEF的半径，于是可知⊿OCB, ⊿OBA是等边三角形，从而∠COA=120o。
因为∠1＝ ∠2，所以可以把∠FOE看作是有∠COA旋转得到的， ∠FOE=120o.
7.（07河南第20题）如图，ABCD是边长为1的正方形，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次是A、B、C．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断直线
GB与DF的位
置关系，并
说明理由．
8.（08河南第18题）“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，
发现“BQ=CP”仍
然成立，请你就
图②给出证明．
9.（10河南第21题） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当α=________度时，
四边形EDBC是直角梯形，此时
AD的长为_________；
(2)当α=90°时,判断四边
形EDBC是否为菱形．
由条件“∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2”可以发现什么？“点0是AC的中点”有什么作用？
“当α=？度时，四边形EDBC是等腰梯形”这个思维过程是可逆的吗？
1．(陕西中考)如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 。
平移范例
什么时候用轴对称？
什么时候用旋转变换？
什么时候用平移变换？
这三种变换各自产生哪些相等的线段、角？产生什么样的图形？
这些问题应该在第二轮复习后有一个整体的认识，并能够有意识地去运用。
一些思维策略、
方法的应用
数学解题不是胡思乱想，要考虑：在具体问题中怎样进行整体思维？发现何时需要分类讨论？怎样进行联想？何时使用逆向思维？怎样进行发散思维？怎样探索隐含条件？怎样简化问题？
常用的解题策略
①综合分析 ②问题转化
③以退为进 ④数形结合
⑤特殊到一般
⑥把问题看作为一个整体
⑦正难则反 ⑧静动结合等等。
1.（09河南第6题）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为 【 】
（A）3 （B） 4
(C) 5 (D)6
河南中考中的数学思想应用举例
（第6题）
2.（08河南第6题） 如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是 【 】
A．邻边不等的矩形 B．等腰梯形
C．有一个角是锐角的菱形 D．正方形
3.（10河南第11题）如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数是______________．
4.（08河南第12题）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．
（第12题）
5.（10河南第14）如图矩形ABCD中，AD=1，AD= ，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为______________________．
（第14题）
6.（08河南15题） 如图，在
矩形ABCD中，E、F分别
是边AD、BC的中点，点G、
H在DC边上，且GH=DC．
若AB=10，BC=12,则图中
阴影部分面积为 ．
（第15题）
图1
图2
第13题
7.（06河南第13题）要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为___________．
8.（10河南第6题）如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△ABC，设点A的坐标为则点A的坐标为【 】
A.（-a,-b ） B. （-a,-b-1 ）
C.（-a,-b+1 ） D. （-a,-b-2 ）
9.（10河南第15题）如图，在半径为 ，圆心角等于450的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，则阴影部分的面积为（结果保留π） .
450有什么用？正方形
有什么用？在半径为
怎么用？ 正方形和扇形
怎样才能“联系”起来？
10.（10河南第15） 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是___________________．
11.(06河南第22题）如图△ABC中，∠ACB=90 ，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF//AB交直线DE于F．设CD=x．
当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
当x取何值时，
四边形EACD
的面积等于2 ？
（1）∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又∵DE⊥BC,∴EF∥AC.又∵AE∥CF,
∴四边形EACF是平行四边形。
当CF=AC时，四边形ACFE是菱形。
此时，CF=AC=2,BD=3-x，tan∠B= ,
ED=BD×tan∠B= (3-x),
∴DF=EF-ED=2- (3-x)= x.
在Rt△CDF中，CD2+DF2=CF2,
∴x2+( x)2=22,
∴x=± （负值不合题意，舍去）。即当x= 时，四边形ACFE是菱形。
（2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S梯形EACD= = 。
依题意，得 =2.
整理得 =0，
解之得 ， 。
∵ >BC=3,∴ 舍去。
∴当 时，梯形EACD的面积等于2.
12.(08河南第21题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．
求点C的坐标．
13.（10河南第21） 如图，直线 与反比例函数 的图象交于A（1，6），B（a,3)两点．
（1）求k1、k2的值；
（2）直接写出 时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，
BC//OD，OB=CD，OD边在
x轴上，过点C作CE⊥OD于
点E，CE和反比例函数的图象
交于点P，当梯形OBCD的面
积为12时，请判断PC和PE的
大小关系，并说明理由．
14.（10河南第19） 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD= ，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
（1）当x的值为________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
补1、某课外小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示。
（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟
面上其余数字的位置，并写
出相应的数字。
（4）问长方形的长应为多少
第19～22题中，会有一个代数应用问题，解这类问题，从“读题”到“分析”到“解题”到“检验”，每一个步骤的要点是什么？有哪些方法？这些都需要同学非常清楚。
遇到难以解决的问题往往还需要我们考虑：你能够画图分析题中各量之间的关系吗？你能够通过数据表分析题中各量之间的关系吗？
应用题
（09河南第22题） 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如下表所示：
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴.在(1)的条件下．如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元
在第（1）小题中，抓住“不超出现有资金”、“洗衣机数量不大于电视机数量的一半 ”就不难列出不等式组。但要注意解题格式，不要漏写必要的步骤。
对第（2）小题，可以分类讨论，也可以通过研究一次函数的增减性来确定该函数在某个自变量的取值区间内的最值。
设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为（15-2x）台，
依题意得：
15-2x≤ 2000x+2400x+1600（15-2x）≤32400
解这个不等式组，得6≤x≤7
∵x为正整数，∴x=6或7
方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台
（2）方案1需补贴：
（6×2100+6×2500+1×1700）×13%=4251（元）；
方案2需补贴：
（7×2100+7×2500+1×1700）×13%=4407（元）；
∴国家的财政收入最多需补贴农民4407元.
2.(06河南第21题)、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．
(1) 请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
(2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
（“到哪家超市购物更优惠”的数学含义是什么？）
（1）在甲超市购物所付的费用是：
300+0.8（x-300）=0.8x+60(元)；
在乙超市购物所付的费用是：
200+0.85（x-200）=0.85x+30(元)；
（2）当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600.
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
当0.8x+60> 0.85x+30时，解得x<600.而x>300,∴300
3.(06河南副卷第22题）某种苹果的进价是每千克1.90元，销售中有5％的苹果正常损耗．当售价定为每千克2.50元时，每天可销售150 千克．商家想采用提高售价的办法来增加利润，经试销发现：这种苹果每千克售价每提高0.10元，每天的销量就下降10千克．
（1）商家把苹果的销售价至少定为每千克多少元时，就能避免亏本？
（2）求苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元 /千克）之间的函数关系式．
（3）当苹果销售价定为多少元时，才能使商家一天的利润最大，一天的最大利润是多少元？
（1）设苹果的销售价定为每千克a元时，就能够避免亏本。依照题意，得a(1-5%)≥1.90, ∴a≥2。所以，苹果的销售价定为每千克2元时，就能避免亏本。
（2）由题意得y=150- =-100x+400,
（3）设商家一天销售苹果的利润为w元，依题意，得
w=(x-20)(-100x+400)= .
所以当苹果销售价定为每千克3元时，商家一天的利润最大，一天的最大利润是100元。
A B
进价(元/件) 1200 1000
售价(元/件) 1380 1200
4.（07年第22题）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件
(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元
对于方程、不等式和函数的生活应用题，要一步一步地分析：题中有哪几种量？这几种量之间有什么运算“关系”？有哪些量？这些量之间有什么“关系”？
在本题中， “36万元” 和“6万元”分别是什么量？与谁有关？怎样计算？关键词“共”和“不少于”是什么含义？
（1）设购进A种商品件，B种商品件．
根据题意，得
化简，得
解之，得
答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）由于A商品购进400件，获利为
（1380－1200）×400 = 72000（元）．
从而B商品售完获利应不少于:
81600－72000 = 9600（元）．
设B商品每件售价为x元，
则120（x－1000）≥9600．
解之，得x≥1080．
所以，B种商品最低售价为每件1080元．
结合实际问题，抽象出几何模型，再应用几何方法解决问题，最后回到实际问题进行检验和解释，要注意数形结合思想的应用。
几何应用题
（09河南第20题）如图，李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便
(数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．
∵AB=AC, ∴CE=0.5．
在Rt△AEC和Rt△DFC中，
∵tan780=AE/EC， ∴AE=EC×tan780 ≈0.5×4.70=2.35.
又∵sinα=AE/AC =DF/DC，
∴ DF=DC×AE/AC=3×AE/7 ≈ 1.007 ．
李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：
1.007+1.78=2.787．
头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787 ≈ 0.11．
∵0.05＜0.11＜0.20，
∴它安装比较方便．
（08河南第20题）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，
∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（结果精确到0.1km．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
梯形问题如何处理？“比原来
少走多少路程？”是什么意思？
作DG∥BC交AB于G点， ∵DC ∥ AB, ∴四边形DCBG是平行四边形。 ∴DC=GB,GD=BC=11. ∴两条路线之差为AD+DG-AG.
过点D作DH⊥AB于H点，在Rt△DGH中，
DH=DG×sin37 ≈11×0.60=6.60, GH=DG×cos37 ≈11×0.80=8.80
在Rt△ADH中，
AD= DH≈1.41×6.60≈9.31， AH=DH≈6.60 AD+DG-AG ≈ 9.31 +11-(6.60+8.80) ≈4.9 即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km.
2011第19题（9分）如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第—高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为10米；从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为60°。请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．(参考数据：≈1.732，≈1.414.结果精确到0.1米)
【答案】本题的主要解法共有三种：
解法一：
∵DE∥BO，α=45°，
∴∠DBF=α=45°.
∴Rt△DBF中，BF=DF=268.
∵BC=50，
∴CF=BF－BC=268－50=218.
由题意知四边形DFOG是矩形，
∴FO=DG=10.
∴CO=CF+FO=218+10=228.
在Rt△ACO中，β=60°，
∴AO=CO·tan60°≈228×1.732=394.896．
∴误差为394.896－388=6.896≈6.9（米）.
即计算结果与实际高度的误差约为6.9米.
解直角三角形的应用题是各省中考的考查重点，其中有测建筑物的高度，与航海有关问题，与筑路修堤问题等等，在解决时要把具体问题转化为数学模型，对计算不能直接求出的问题要通过列方程加以解决．
河南中考压轴题往往分层设问，前面的问题简单但是为后面的问题提供方法或结论。
往往以平面直角坐标系为联系代数和几何的桥梁；以方程、一次函数、二次函数、三角形和四边形为载体。
解答压轴题需要主动进行探索，需要熟练运用“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，需要“以静制动”地研究问题。
中招压轴题
2011年第23题（11分）如图5，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.
随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.
当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的
点P的坐标.
【思路点拨】
（10河南第23题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动
点，点Q是直线上的动点，
判断有几个位置能够使得点
P、Q、B、O为顶点的四边
形为平行四边形，直接写出
相应的点Q的坐标．
（09河南第23题）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，
判断有几个时刻使得△CEQ是等腰
三角形 请直接写出相应的t值.
第（1）小题，有些同学方程列对了，但计算出现错误。
第（2）小题，大部分同学不会做，得满分的更少。
要抓住关键，先从“粗略”的角度一步一步趋向细致地思考问题，进而形成“思维链”。如第①问，先搞清楚线段EG的长实际是点G 和点E的纵坐标的差，点G 被点E确定，而点E被点P确定,于是应该求线段AP、PE的长，线段AP、PE所在的△APE与已知的△ABC显然相似。
但有同学误以为PE的长为点E的横坐标。
第②问，近年来的压轴题往往需要分类讨论，如：哪些情况下是等腰三角形？哪些情况下是直角三角形（平行四边形、梯形等）？哪些情况下有相似三角形？
有些同学不知道要分类讨论，不知道用什么思路进行正确的分类，难以画出各种情况下的几何图形。对于某种情况，常规计算量很大，如何寻找新的思路。这些都需要思考。
在本问中，△CEQ是等腰三角形有三种情况：①. CE=CQ, ② EQ=EC, ③ QE=QC.这是首先必须确定的思考基础。然后按照这个分类“强制”自己在稿纸上画出相应的草图。
① 若CE=CQ
此时， CE=CQ=t,
因 AE= ，AC= ，
所以 +t=
解之得：t1= =40-16
②若EQ=EC，作PM⊥CD于点M,则CM=
CQ= t,CE= ,
于是 + = ，
解之得:t2=
③若EQ=EC，作QN⊥AC于点N,则
△CQN∽ △A CB,于是
而CE=AC-AE= -
所以，
解之得:t3=
(06河南)如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴于A、B两点.
(1) 求A,B两点的坐标
(2)设是直线AB上一动点(点P与点A不重合)，且⊙P始终和x轴相切，和直线AB相交于C、D两点
（点C的横坐标小于 点D的
横坐标）设P点的横坐标为m
，试用含有m的代数式表示
点C的横坐标；
(3)在（2）的条件下，若点C
在线段AB上，求m为何时，△BOC为等腰三角形？
（1）当x=0时，y=4;
当y=0时， ，x=3.
∴A(3,0),B(0,4).
(2)设点C的横坐标为n。
由（1）知
AB= =5,
∴sin∠OBA= .
分类的关键要了解何时进行分类，并找到分类的标准。
在本题中：
1、“⊙P始终和x轴相切”可以分为“⊙P在x轴的上方”与“⊙P在x轴的下方”。
2、△BOC为等腰三角形，可能以BO为底边，此时CB=CO;可能以BO为腰，此时只可能是CB=OB。
设点C的横坐标为n,过点C作CE⊥x轴于点E,过点P作PG⊥x轴于点G,PE⊥CE于点F,则∠FCP=∠OBA,PF=m-n
当m<3时，∵PC=PG= ，
∴PF=PC×sin ∠FCP=PC×sin ∠OBA,
∴m-n=( )×
解之得n= .
数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，要求能够自觉、熟练地进行代数知识与几何知识的相互转换。
对“点C的横坐标”，我们常设未知数为一个字母，我们发现它的数值与图中的某些线段有关，这些线段所在的三角形是特殊的三角形（这里是直角三角形）三角形之间又有某些关系（在这里是直角三角形的相似关系，用锐角三角函数来解决。
②当m>3时，PC=PG= ，PF=PC×sin ∠FCP=PC×sin ∠OBA,
∴m-n=( )× .
解之得n=
(3)当点C在线段AB上时，由（2）知，C点的横坐标n= ，以下两种情况△BOC为等腰三角形
①当CB=CO时，∵△OBA为直角三角形, ∠BOA=90°.∴此时C为AB的中点，∴C点的横坐标为 。 = 解之得m=
②当CB=BO时，
∵AB=5,∴AC=AB-CB=1,
∴AE=AC×cos ∠OAB=.∵OE+AE=OA,
∴ + =3,解之得m= .
∵OB>OA,∴在线段AB上不存在点C,使OC=OB.所以，当 m= 或m= 时，△BOC为等腰三角形
（07河南）如图，对称轴为直线 的抛物线经过点
A（6，0）和
B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（1）由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 ．
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为 ， 顶点为
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，
且坐标适合
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是□OEAF 的对角线，
∴
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是1＜x＜6．
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
根据题意，当S = 24时，即 ．
解之，得
故所求的点E有两个，
分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，
所以□OEAF 是菱形；
点E2（4，－4）不满
足OE = AE，
所以□OEAF 不是菱形．
（3）②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
②当OA⊥EF，且OA = EF时， □OEAF 是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）
的点不在抛物线上，故不
存在这样的点E，
使□OEAF 为正方形．
第（1）小题，属于对“通法”的考查，但是选择二次函数的一般式，还是顶点式或交点式这些不同的方法，对计算简便与否还是有影响的。
第（2）小题，所谓求“面积S与x之间的函数关系”无非是“计算”面积S。
第（3）小题，是一个探索性问题，需要去猜想、分析，然后按照正确的逻辑顺序书写过程。这里，要考虑特殊四边形的特殊性与本题的“结合点”。此时要分类讨论，考虑“所有可能的情况”，避免出现“漏洞”。我们可以继续把点E扩展到任意象限，再设置相应问题，仍有较大的探究空间.
（08河南）如图，直线 和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
解：（1）将y=0代人y=- 4x/3+4,得x=3,
∴点B的坐标为（3，0）；
将x=0代人y=- 4x/3+4,得y=4,
∴点C的坐标为（0，4）.
在Rt △OBC中，
∵OC=4,OB=3,∴BC=5.
又A（-2，0）；∴AB=5,
∴AB=BC, ∴ △ABC是等腰三角形。
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．
设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
（2）∵AB=BC=5,故点M,N同时开始运动，同时停止.过点N作ND⊥x轴于D,则
ND=BN×sin∠OBC=4t/5,
① 当0
=0.5(2-t) ×4t/5
=-2t2/5+4t/5.
当2
=0.5(t-2) ×4t/5 =-2t2/5- 4t/5.
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
②存在S=4的情形.当S=4时, -2t2/5+4t/5=4.
解得 t1=1+ t2=1- (不合题意,舍去)
t=1+ <5,故当S=4时, t=1+
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
a.当MN ⊥x轴时, △MON为直角三角形.
MB=BN×cos∠MBN=3t/5,又MB=5-t.
所以3t/5=5-t,t=25/8.
b.当点M,N分别运动到点B、C时,
△MON为直角三角形，t=5.
故△MON为直角三角形时，t=25/8或t=5.
在本题中，需要展开联想，寻找解决过的问题来源。需要充分利用几何图形的位置、形状和大小变化，注重几何元素之间的函数关系式的建立；常常把几何图形适当放到直角坐标中，回答相关问题；还要注意几何图形的元素与方程根的关系等等。
注意题设条件的隐含性。
对于综合题，经过分析，往往可以分解为若干个基本问题（包括基本图形），分解好了，解题的思路也就大体有了。要边读题，边画题，边思考：由此我能够发现什么？
专题复习，需要培养同学的解题策略，例如：我要研究的××是什么？还是什么？由它我可以联想的什么？……
对第二轮复习的建议
要以“联系”的观点进行思考，要发现问题中和问题间的各种数量、图形关系，运用转化的思想指导解题。
在遇到新问题时，思考：这个题我好像见过吗？它的一部分我见过吗？过去见过的题是怎样解决的？要“回到过去。
在复习时，随时有意识地研究问题的“特殊”情况，是提高解题能力的有效手段。树立“特殊的就是重要的，解决问题的前提是发现问题的特殊性”的观念。
回忆过去熟悉的“基本问题”、进行实验、猜测， 确定思维的若干主线，然后围绕这个主线坚定不移地进行研究。
函数专题复习
函数是初中数学的重点内容，它是联系初、高中数学的一个桥梁；且贯穿初、高中数学教学的一条主线，是中考中的必考内容，特别是新课程标准中 ，对函数的教学又提出了新的要求，主要有以下几个方面的变化：
（1）能在具体问题中探索量与量的关系和变化规律；
（2）能运用一次函数、反比例函数解决实际问题，能用二次函数解决简单的实际问题，即强调了“数学建模思想”；
（3）结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，即强调了“数学探索性”。
1．直接考查函数的有关
概念和性质
例．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图1所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜ y2中，正确的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
图1
（2009铁岭）如图所示，反比例函数与正比例函数的图象的一个交点坐标是（2，1），
若 ，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）
1
2
0
A．
1
2
0
B．
1
2
0
C．
1
2
0
D．
y
1
2
2
1
y2
y1
x
O
第7题图
2．综合考查函数、方程与
不等式之间的联系
函数与方程式、不等式之间有很多联系。
从表面形式上讲，它们都是用等号或不等号连接数量关系表示。
从其表示的结果看，函数是研究一个变化全过程的问题，不等式是研究一个区间上的关系的问题，而方程是研究一个或几个点上的特定的问题。
从应用的角度讲：一种是直接体现三者的数学关系的问题，另一种是综合而又内在地反映了函数与方程、不等式的关系的问题。
例．直线 ： 与直线 ： 在同一平面直角坐标系中的图象如图9所示，则关于x的不等式 的解为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【评析】
本题以函数图像为载体，以读图、识图为前提，通过两条直线的位置关系，获得不等式的解集，较好体现了函数、方程与不等式之间的关系，突出了新课程注重基础，关注联系与综合的特点．
（2009江西）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：
（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式；
（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？
S（米）
t（分）
B
O
O
3 600
15
（第21题）
A
解答过程
解：（1）解法一：S（米）t（分）BOO3 60015（第21题）
从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟
设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为3x米/分
依题意得：15x+45x=3600．
解得：x=60．
所以两人相遇处离体育馆的距离为
60×15=900米．
所以点B的坐标为（15，900）．
设直线AB的函数关系式为s=kt+b（k≠0）．
由题意，直线AB经过点A（0，3600）、B（15，900）得：
解之，得
解法二
从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了15分钟．
设父子俩相遇时，小明走过的路程为x米．
依题意得：
解得x=900，所以点B的坐标为（15，900）
以下同解法一．
（2009 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离(千米)和小王从县城出发后所用的时间(分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：
（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．
（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．
（3）李明从A村到县城共用多长时间？
答案
25. (1) 4千米 …………………..2分,
(2)解法一: ……………..1分
84+1=85
解法二: 求出解析式
84+1=85
(3) 写出解析式
20+85=105
【评析】:
函数图像与性质的研究，是很有代表性的一个研究过程，几乎所有函数性质的探究与发现都来自于对图像的直观观察与究．因此对函数图像及其性质的考查，绝不仅仅限于如一次函数、反比例函数、二次函数等这些函数性质探究的个案本身，而是具有更一般化的普遍意义，所以这类试题虽然基础，但很重要。
【评析】这类题的问题情境自然流畅，问题设计梯度合理科学，体现了对学生探究过程中能力的不同层次的考查．本题所涉及的问题包括三个层面：第一是针对看图像而确定的问题，考查了学生的识图能力；第二是利用求自变量取值范围的问题，有效地考查了学生建立方程或不等式组、最终解出相关自变量取值范围的能力，突出了对方程或不等式这种数学模型适当进行考查的基本考查意图；第三是较高要求地考查了学生建立函数模型以及灵活运用函数性质的能力．总之，这些题体现了方程、不等式、函数三者在实际应用与相关数学问题研究中的自然联系，有效地体现了对数学建模思想的综合考查．
3.函数在几何量化问题
中的应用
（2009柳州）如图， 直线l与x轴、y轴分别交于点M(8,0)，点N(0,6)．点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度沿N→O方向运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Q同时出发，当点Q到达点M时，两点P、Q同时停止运动， 设运动时间为t秒．
（1）设四边形MNPQ的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（2）当t为何值时，
PQ与l平行？
图9
l
O
M
N
x
y
P
解答过程
解：（1）依题意，运动总时间为t秒，要形成四边形MNPQ，则运动时间为 ． 1分
当P点在线段NO上运动t秒时，
∴ = 2分
此时四边形的面积
=
= 4分
∴关于的函数关系式为 5分
（2）当PQ与l平行时， ∽ 即
即
∴当t=2.4秒时， PQ与l平行．
4.函数中的探究性问题
（2009年舟山）水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天
售价x(元/千克) 400 250 240 200 150 125 120
销售量y(千克) 30 40 48 60 80 96 100
(1) 写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
(2) 在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
(3) 在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
解：(1) 函数解析式为:
(2) 2 104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1 600，
即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克．
当x=150时，y=80．
1 600÷80=20，所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．
(3) 1 600-80×15=400，400÷2=200，
即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克．
当y=200时，x=60．
所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务．
5. 中考试题中一次函数和二次函数的处理关系
河北省2009年：22题（本小题满分9分）图12
已知抛物线经过点O和点P （t，0），且t ≠ 0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，
请通过观察图象，指出此时y的最小值，
并写出t的值；
（2）若t=-4，求a、b的值，并指出此时抛
物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
A
O
P
x
y
图12
- 3
- 3
2012年的中考命题，函数的相关内容将继续是考查的重点，不仅是对函数的基本概念、性质等方面的考查，更要在函数的应用、综合方面加大力度，以体现学数学用数学的新课程理念，因此，对函数的复习要注意以下几个方面要点：
⒈ 继续关注函数中的知识要点，通过训练进行强化
⒉ 继续关注函数中的实际应用题，通过讲练进行培训
⒊ 继续关注函数综合题教学，提高学生的应试能力
可从这几方面加以分类综合复习教学：
1） 函数与直线形 直线形包括平行线、相交线、三角形、四边形等内容，解决此类题型的关键是将函数与解直角三角形、相似三角形及特殊的四边形的判定与性质等有关知识相结合，注重点与线、数与形及函数知识之间的转化。
2） 函数与圆 以函数为背景，运用圆的有关性质、定理求直线、抛物线等的解析式，或图象上点的坐标，与圆有关的角的计算等，解决此类题型的关键是将圆的有关性质和函数的图象、性质结合考虑，并注意挖掘题目中的一些隐含条件。
3） 函数与其它几何图形的周长、面积 、 解决此类题型的关键是把图形中相关线段的长用点的坐标表示，并善于将图形面积转化。
在上述几类题型的基础上，尤为需要加强训练的是运动变化中的点动型函数综合题。另外函数方面的阅读题也要涉及一下。
由于综合题涉及的知识点多，涉及到的数学方法多，涉及到的数学思想多，这要求学生准确、迅速地对综合题提供的信息进行梳理，整合，运用所掌握的数学知识对综合题进行分解、组合。函数综合题分解与组合是一个难点，分解综合题，实质上就是不断把原问题化解为若干个小问题，即根据原问题不断地提出新问题，这往往是学生的不足，这实质上是数学上的转化思想，后期复习中应注重学生对这方面能力的培养。
对第三轮复习的建议
第三轮复习，以全真练兵为主，要通过全真练兵注意对知识掌握的漏洞，对数学思想、方法、解题策略使用的缺乏主动性与不够成熟，对各种题型的不够熟悉，对考试策略（考试心态的调整，解题顺序）的确定.
对第三轮复习的建议
第三轮复习，以全真练兵为主，要注意对知识掌握的漏洞，对数学思想、方法、解题策略使用的缺乏主动性与不够成熟，对各种题型的不够熟悉，对考试策略（考试心态的调整，解题顺序的确定，解题速度的把握，演草纸的使用，解题后复查的策略）进行考查，及时解决问题。
认真归纳知识的遗漏点，分析做错的原因，研究解决的方法。
要把好五关：
1、把好计算的准确关。
2、把好理解审题关。
3、把好表达规范关。
4、把好思维关。
5、把好解题速度关。
遇到疑难问题，要“能写即写”。先解决会解决的部分，能写几步就写几步。例如：把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设未知量为未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意画出图形等。
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