人教版八年级下册数学18.1《平行四边形》同步专项提升 （Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学18.1《平行四边形》同步专项提升 （Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 642.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-12 12:23:45 | ||
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文档简介
人教版八年级下册数学18.1《平行四边形》同步专项提升
一．选择题
1．如图，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，?ABCD的周长为10，则AB的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
2．如图，在平行四边形ABCD中，，AD＝4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长（ ）
A．2 B．4 C．5 D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，若CF＝2，则AB的长是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．2
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB?AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，1）、（1，2），则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A． B．6 C．8 D．10
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（ ）
A．+ B．1+ C．4 D．2+2
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平行四边形ABCD中，AB≠BC，F是BC上一点，AE平分∠FAD，且E是CD的中点，则下列结论：①AE⊥EF，②AF＝CF+CD，③AF＝CF+AD，④AB＝BF，其中正确的是（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．①②④
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，作EF⊥AE交CD于F，若∠BAE＝45°，AE＝4，下列结论：①∠EAF＝45°，②AF＝AB+CF，③CD＝2CF，④S△AEF＝8中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
10．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④其中，正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
二．填空题
11．已知平面直角坐标系上有三个点，点A（2，0），B（5，2），C（3，4），以点A，点B，点C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标为_ ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是 ．
13．在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在AB上有一点E，连接CE，过点B作BC的垂线和CE的延长线交于点F，连接AF，∠ABF＝∠FCB，FC＝AB．若FB＝1，AF＝，则BD＝ ．
14．如图：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是 ．
15．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，E是BC的中点，点P在平行四边形ABCD的边上，若△PBE为等腰三角形，则EP的长为 ．
17．在平面直角坐标系中，已知三点O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），若以A、B、C、O为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
18．如图，在直角坐标系中，?ABCO的顶点B的坐标为（6，m），C的坐标为（2，n）则点A的坐标为 ．（用字母m，n表示）
19．如图，已知平行四边形ABCD，DE⊥CD，CE⊥BC，CE＝AD，F为BC上一点，连接DF，且点A在BF的垂直平分线上，若DE＝1，DF＝5，则AD的长为 ．
20．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
三．解答题
21．如图，?ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AB﹣BE＝CF．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，连接EB并延长到点F，使BF＝BE，连接EC并延长到点M，使CM＝EC，连接FM，N为FM的中点，连接AF、DN
（1）求证：四边形AFND为平行四边形；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FM的一半的所有线段．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE；
（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF．
24．若平面内两点P1（x1，y2），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝．例如：已知A（3，1），B（5，2），则这两点间的距离AB＝．已知A（3，1），B（5，2），C（4，4）．
（1）聪明的你能判定△ABC的形状吗？并说明理由．
（2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF．
（1）若∠ADC＝80°，求∠ECF；
（2）求证：∠ECF＝∠CEF．
26．已知：平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，对角线AC⊥CD．
（1）如图1，若AD＝6，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图2，连接BD交AC于O点，过点A作AE⊥BD于E，连接EC．求证：ED＝AE+EC．
27．已知，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于E，点F是DE上一点，满足BA⊥BF，连接CF．
（1）如图1，连接AF，若BF＝2，DC＝4，∠DAF＝30°，求AD；
（2）如图2，延长CF，交AD于点G，若BA＝BF，求证：AG＝2EF．
28．已知：平行四边形ABCD中，BD＝CD，且∠ABD＝45°，过D作DF⊥AB于F，点E是AD的中点，连接BE交DF于点P，点G是AB的中点，过B作BH⊥BD交PG的延长线于H．
（1）若AB＝2，求DP的长；
（2）求证：DP＝BH．
29．如图，在?ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连接EF．
（1）若DG＝8，求对角线AC的长；
（2）求证：AF+FG＝EF．
30．如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E是BC的中点，∠ABC＝120°，点P为CD边上任意一点，连接BP，点G为BP上一点，连接AG，EG，CG，使∠AGB＝∠EGB，点F在AG上，且GF＝GE，连接EF，DF
（1）若AB＝5，DP＝3，求线段BP的长度；
（2）求证：CG＝DF．
2020年人教版八下数学《18.1 平行四边形》专项提升【1】
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴BC+CD＝10÷2＝5，
根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．
∴BC＝3，CD＝2，
∴AB＝CD＝2，
故选：A．
2．解：在?ABCD中，∵AB＝CD＝2cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝6cm，
∴OC＝3cm，
∴BO＝＝5cm，
∴BD＝10cm，
∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）＝BD﹣AC＝10﹣6＝4cm，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CE＝2AB，
∵∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ECF＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF＝4，
∴AB＝2．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S?ABCD＝AB?AC，故②正确，
∵AB＝BC，OB＝BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
或∵AC⊥AB，
∴AB＜OB，故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE＝AB＝BC，故④正确．
故选：C．
5．解：∵点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∴AB＝＝，
过C作CE⊥y轴于E，如图所示：
∵点C的坐标为（1，2），
∴CE＝1，OE＝2，
∴BE＝1，
∴BC＝＝，
∴AB+BC＝+，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2+2
故选：A．
6．解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示：
则∠BFC＝∠BFA＝90°，
∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，
∴∠CBF＝30°，∠ABF＝90°﹣45°＝45°＝∠CAB，
∴CF＝BC＝2，AF＝BF＝CF＝2，
∴AC＝CF+AF＝2+2，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝1+，DO＝EO，
∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，
则△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝AO＝，
∴DE＝2OD＝+；
故选：A．
7．解：在?ABCD中，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC，CD＝AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD＝DF，AB＝EB，∠DFA＝∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴DF＝BC，CD＝BE，
∴∠CDF＝∠ADC﹣60°，
∠EBC＝∠ABC﹣60°，
∴∠CDF＝∠EBC，
在△CDF和△EBC中，，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
在?ABCD中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：
∵AB∥CD，
∴∠DOA＝∠OAB＝60°，
∴∠DOA＝∠DFO，
∵∠OKD＝∠AKF，
∴∠ODF＝∠OAF，
故③正确；
在△CDF和△EAF中，，
∴△CDF≌△EAF（SAS），
∴EF＝CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE＝CF，
∴EC＝CF＝EF，
∴△ECF是等边三角形，故②正确；
则∠CFE＝60°，
若CE∥DF时，
则∠DFE＝∠CEF＝60°，
∵∠DFA＝60°＝∠CFE，
∴∠CFE+∠DFE+∠DFA＝180°，
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：C．
8．解：延长AD，交FE的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEM和△CEF中，
，
∴△DEM≌△CEF（AAS），
∴EM＝EF，
过点E作ET⊥AM于T，ER⊥AF于R．
∵AE平分∠FAD，
∴ET＝ER，
∵EM＝EF，∠ETM＝∠ERF＝90°，
∴Rt△ETM≌Rt△ERF（HL），
∴∠M＝∠AFM，
∴AM＝AF，
即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，①正确，②错误．
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故④错误．
故选：C．
9．解：作EM∥AB交AF于M，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AB∥EM∥CD，
∴AM：FM＝BE：CE，∠AEM＝∠BAE＝45°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AM＝FM，
∴EM是梯形ABCF的中位线，
∴AB+CF＝2EM，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴EM＝AF＝AM＝FM，
∴∠EAF＝∠AEM＝45°，AF＝AB+CF，①②正确；
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴FE＝AE＝4，
∴S△AEF═AE×FE＝×4×4＝8，④正确；
∵∠BAF＝∠BAE+∠EAF＝90°，
∴AF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴AF⊥CD，
当AD＝AC时，CF＝DF，则CD＝2CF，③不正确；
故选：A．
10．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AB，
∴BF∥CD，CD＝BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，又∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB
∴DA+DF＞BE，③错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
S△ACD＝x2，S△ACB＝x2，S△ABE＝x2，
＝＝，④错误，
故选：A．
二．填空题
11．解：以AC为对角线，将AB向上平移2个单位，再向左平移2个单位，A点对应的位置为（0，2）就是第四个顶点D；
以AB为对角线，将BC向下平移4个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（4，﹣2）就是第四个顶点D′；
以BC为对角线，将AB向上平移4个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（6，6）就是第四个顶点D″；
∴第四个顶点D的坐标为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2），
故答案为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2）．
12．解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠BAM＝∠CEM，∠B＝∠ECM．
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB＝CD＝CE，AM＝EM＝4，
∵N为边DC的中点，
∴NE＝3NC＝AB，即AB＝NE，
∵AN＝3，AE＝2AM＝8，且∠MAN＝60°，
∴∠AEH＝30°，
∴AH＝AE＝4，
∴EH＝＝4，
∴NH＝AH﹣AN＝4﹣3＝1，
∴EN＝＝7，
∴AB＝×7＝．
故答案为．
13．解：延长BF、DA交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GAB＝∠ABC，
∵BF⊥BC，
∴∠FBC＝∠FBA+∠ABC＝90°，
∴∠FBA+∠GAB＝90°，
∴∠G＝90°，
在△AGB和△FBC中，
∵，
∴△AGB≌△FBC（AAS），
∴AG＝BF＝1，BC＝BG，
Rt△AGF中，∵AF＝，
∴FG＝，
∴BC＝BG＝AD＝3+1＝4，
∴GD＝1+4＝5，
Rt△DGB中，BD＝，
故答案为：．
14．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝1.5，
∴ED＝2OD＝3．
故答案为：3．
15．解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，
S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴2＝AE，
∴AE＝，
故答案为：．
16．解：当P点在BA上，BP＝BE＝6，
作BH⊥PE于H，如图1，则PH＝EH，
∵∠B＝120°，
∴∠BPE＝∠BEP＝30°，
在Rt△BEH中，BH＝BE＝3，EH＝BH＝3，
∴PE＝2EH＝6；
当P点在AD上，BP＝PE，
作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，则BF＝EF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
在Rt△ABG中，AG＝AB＝4，BG＝AG＝4，
∴PF＝4，
在Rt△PEF中，PE＝＝；
当点P在CD上，如图3，EB＝EP＝6，
综上所述，PE的长为6或6或．
故答案为6或6或．
17．解：如图，观察图象可知，满足条件的点C的坐标为（2，3）或（﹣2，﹣3）或（4，﹣1）
故答案为（2，3）或（﹣2，﹣3）或（4，﹣1）．
18．解：∵?ABCO的顶点B的坐标为（6，m），C的坐标为（2，n），OA∥BC，OA＝BC，
∴B、C横坐标的差为6﹣2＝4，纵坐标的差为m﹣n，
∵O（0，0），
∴则点A的坐标为（4，m﹣n）；
故答案为：（4，m﹣n）．
19．解：连接AF，AC，过点A作AH⊥CD于H，AH交EC于O，
设AD与CE交于G，
∵∠AGC＝∠AHC＝90°，∠AOG＝∠COH，
∴∠DAH＝∠ECD，
∵∠AHD＝∠EDC＝90°，AD＝CE，
∴△ADH≌△CED（AAS），
∴DE＝DH＝1，AH＝CD，
∵点A在BF的垂直平分线上，
∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝∠AFC，
∵CF＝CF，
∴△AFC≌△DCF（SAS），
∴DF＝AC＝5，
设CH＝x，则AH＝CD＝x+1，
∵AH2+CH2＝AC2，
∴（x+1）2+x2＝52，
解得：x＝3（负值舍去），
∴AH＝4，
∴AD＝＝，
故答案为：．
20．解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．
三．解答题
21．解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，，
∴．
∵∠ABF＝45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴EG＝BG＝1，
∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，
∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝＝2；
（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，
∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴，BE＝HE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，
由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，
∴∠BEG＝45°，CE＝CF，
∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHE＝∠CEB，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，
由（1）知，∠FCE＝90°，
∴∠BCD＝∠FCE+∠BCG＝90°+∠BCG，
∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，
∴90°+∠EAB＝90°+∠BCG，
∴∠EAB＝∠BCG，
即∠EAH＝∠BCE，
在△△EAH和△BCE中，
∴△EAH≌△BCE（AAS），
∴AH＝CE＝CF，
∴AB﹣BE＝AB﹣BH＝AH＝CF，
即AB﹣BE＝CF．
22．（1）证明：如图，∵EB＝BF，EC＝CM，
∴BC∥FM，BC＝FM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥FM，
∵N为FM的中点，
∴FN＝FM，
∴AD＝FN，
∴四边形AFND是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
∵BF＝BE，CM＝CE，
∴BC＝FM，
∴AD＝FM，
∵四边形AFND是平行四边形，
∴FN＝AD＝FM，
∴MN＝FM，
∴长度为FH的一半的所有线段为：AD，BC，FN，MN．
23．证明：（1）∵CE＝AB，AB＝CD
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝＝90°﹣∠DCE，
∵CD∥AB
∴∠AED＝∠CDE＝90°﹣∠DCE；
（2）如图，延长DA，FE于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，且DF⊥BC
∴DF⊥AD，∠M＝∠EFB
∵∠M＝∠EFB，AE＝BE，∠AEM＝∠FEB
∴△AEM≌△BEF（AAS）
∴ME＝EF，且DF⊥DM
∴ME＝DE＝EF
∴∠M＝∠MDE
∴∠DEF＝∠M+∠MDE＝2∠M
∴∠EFB＝∠DEF
24．解：（1）能判定△ABC的形状，△ABC是等腰直角三角形；理由如下：
由题意得：AB＝，BC＝＝，AC＝＝，
∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）如图所示：
当AB为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到点D，
∴点D的坐标为（4，﹣1）；
当BC为对角线时，AB∥CD，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到点D'，
∴点D'的坐标为（6，5）；
当AC为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点A向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到点D''，
∴点D''的坐标为（2，3）；
综上所述，点D的坐标为（4，﹣1）或（6，5）或（2，3）．
25．解：（1）∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在?ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF＝（180°﹣80°）＝50°，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝90°﹣50°＝40°；
（2）如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EM＝FE，
∴∠ECF＝∠CEF．
26．解：解法一：（1）∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AD＝6，
∴AC＝CD＝AD＝3，
∴平行四边形ABCD的面积＝33＝18；
（2）过C作FC⊥EC交BD于F，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∵平行四边形ABCD中，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，OE＝OF，
∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
设AC＝AB＝2x，
∴AD＝BC＝2x，
∴AO＝x，
∴BO＝DO＝＝x，
∵S△AOB＝AB?AO＝BO?AE，
∴AE＝＝＝，
∴OE＝OF＝＝x，
∴EF＝CF＝x，
∴CE＝EF＝x，
∵DE＝＝x，AE+EC＝x+x＝x，
∴ED＝AE+EC；
解法二：过C作FC⊥EC交BD于F，∴∠FCE＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠ACF＝∠ACF+∠FCD，
∴∠ECA＝∠FCD，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，
∴∠EAC＝∠CDF，
∵AC⊥CD，∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝CD，
∴△AEC≌△DFC（ASA），
∴AE＝DF，EC＝FC，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝EC，
∴ED＝DF+EF＝AE+EC．
27．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∵BA⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵BF＝2，
∴AF＝＝＝10，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∵∠DAF＝30°，
∴AD＝AF＝5；
（2）∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠BCD，
又∵BA＝BF，
∴BF＝CD，∠A+∠ABC＝180°，
∵BA⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴∠A+∠EBF＝90°，
∵∠EDC+∠DCE＝90°，
∴∠EBF＝∠EDC，
∵DE⊥BC，
∴∠BEF＝∠DEC＝90°，
∴△BEF≌△DEC（AAS），
∴EF＝CE，BE＝DE，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∵∠DFG＝∠CFE＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴DG＝DF，
设DG＝DF＝x，EF＝CE＝y，
∴BE＝DE＝x+y，
∴AD＝BC＝x+y+y＝x+2y，
∴AG＝AD﹣DG＝x+2y﹣x＝2y＝2EF．
28．（1）解：如图，过P作PM⊥BD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∵BD＝CD，
∴AB＝BD＝2，
∵E是AD的中点，
∴∠DBE＝∠ABE，
∵PF⊥AB，PM⊥BD，
∴PF＝PM，
∵∠ABD＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BF＝，∠BDF＝45°，
∴DM＝PM，PD＝DM，
在△BFP和△BMP中，
∵，
∴Rt△BFP≌Rt△BMP（HL），
∴BM＝BF＝，
∴DM＝2﹣，
∴DP＝DM＝2﹣2；
（2）证明：连接AP，
∵∠DEP＝∠PFB＝90°，∠EPD＝∠FPB，
∴∠EDP＝∠FBP，
在△ADF和△PBF中，
∵，
∴△ADF≌△PBF（ASA），
∴PF＝AF，
∴∠PAF＝45°，
∵BD⊥BH，
∴∠DBH＝90°，
∵∠DBF＝45°，
∴∠HBG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠PAF＝∠HBG，
在△APG和△BHG中，
∵，
∴△APG≌△BHG（ASA），
∴BH＝AP，
∵AB＝BD，∠ABD＝45°，
∴∠DAB＝∠ADB＝67.5°，
Rt△ADF中，∠ADP＝∠DAP＝22.5°，
∴AP＝DP，
∴DP＝BH．
29．解：（1）∵在?ABCD中，∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠B＝45°，
∵CE⊥AD，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠DEC＝∠AEC＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD＝∠DEC＝90°，
∴∠DGE＝∠CGF，
∴∠EDG＝∠ECA，
∴△DEG≌△CEA（ASA），
∴AC＝DG＝8；
（2）过E作EH⊥EF交DF于H，
∵∠FEH＝∠DEC＝90°，
∴∠DEH＝∠CEF，
∵∠EDH＝∠ECF，DE＝CE，
∴△DEH≌△CEF（ASA），
∴EF＝EH，DH＝CF，
∴AC﹣CF＝DG﹣DH，
即AF＝HG，
∵FH＝FG+GH＝EF，
∴AF+FG＝EF．
30．解：（1）如图1，连接BD，DE，∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°
∵BC＝2AB，点E是BC的中点
∴BE＝CE＝CD
∴△CDE是等边三角形
∴DE＝CE＝BE，∠CDE＝∠CED＝60°
∴∠CBD＝∠BDE＝30°
∴∠BDC＝90°
∵CD＝AB＝5，
∴BC＝10，BD＝＝＝5
∴BP＝＝＝2；
（2）如图2，连接BF，DE，由（1）知△CDE是等边三角形
∴DE＝CE，∠CED＝60°
∵BE＝BF＝BA，∠ABC＝120°
∴∠AFB＝（180°﹣∠ABF），∠BFE＝（180°﹣∠EBF），
∴∠AFE＝∠AFB+∠BFE＝（180°﹣∠ABF）+（180°﹣∠EBF）＝120°，
∴∠EFG＝60°
∵GF＝GE
∴△EFG是等边三角形
∴∠FEG＝∠CED＝60°，EF＝EG
∴∠FEG﹣∠DEG＝∠CED﹣∠DEG，即∠DEF＝∠CEG
∴△DEF≌△CEG（SAS）
∴CG＝DF．
一．选择题
1．如图，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，?ABCD的周长为10，则AB的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
2．如图，在平行四边形ABCD中，，AD＝4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长（ ）
A．2 B．4 C．5 D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，若CF＝2，则AB的长是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．2
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB?AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，1）、（1，2），则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A． B．6 C．8 D．10
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（ ）
A．+ B．1+ C．4 D．2+2
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平行四边形ABCD中，AB≠BC，F是BC上一点，AE平分∠FAD，且E是CD的中点，则下列结论：①AE⊥EF，②AF＝CF+CD，③AF＝CF+AD，④AB＝BF，其中正确的是（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．①②④
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，作EF⊥AE交CD于F，若∠BAE＝45°，AE＝4，下列结论：①∠EAF＝45°，②AF＝AB+CF，③CD＝2CF，④S△AEF＝8中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
10．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④其中，正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
二．填空题
11．已知平面直角坐标系上有三个点，点A（2，0），B（5，2），C（3，4），以点A，点B，点C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标为_ ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是 ．
13．在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在AB上有一点E，连接CE，过点B作BC的垂线和CE的延长线交于点F，连接AF，∠ABF＝∠FCB，FC＝AB．若FB＝1，AF＝，则BD＝ ．
14．如图：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是 ．
15．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，E是BC的中点，点P在平行四边形ABCD的边上，若△PBE为等腰三角形，则EP的长为 ．
17．在平面直角坐标系中，已知三点O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），若以A、B、C、O为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
18．如图，在直角坐标系中，?ABCO的顶点B的坐标为（6，m），C的坐标为（2，n）则点A的坐标为 ．（用字母m，n表示）
19．如图，已知平行四边形ABCD，DE⊥CD，CE⊥BC，CE＝AD，F为BC上一点，连接DF，且点A在BF的垂直平分线上，若DE＝1，DF＝5，则AD的长为 ．
20．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
三．解答题
21．如图，?ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AB﹣BE＝CF．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，连接EB并延长到点F，使BF＝BE，连接EC并延长到点M，使CM＝EC，连接FM，N为FM的中点，连接AF、DN
（1）求证：四边形AFND为平行四边形；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FM的一半的所有线段．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE；
（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF．
24．若平面内两点P1（x1，y2），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝．例如：已知A（3，1），B（5，2），则这两点间的距离AB＝．已知A（3，1），B（5，2），C（4，4）．
（1）聪明的你能判定△ABC的形状吗？并说明理由．
（2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF．
（1）若∠ADC＝80°，求∠ECF；
（2）求证：∠ECF＝∠CEF．
26．已知：平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，对角线AC⊥CD．
（1）如图1，若AD＝6，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图2，连接BD交AC于O点，过点A作AE⊥BD于E，连接EC．求证：ED＝AE+EC．
27．已知，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于E，点F是DE上一点，满足BA⊥BF，连接CF．
（1）如图1，连接AF，若BF＝2，DC＝4，∠DAF＝30°，求AD；
（2）如图2，延长CF，交AD于点G，若BA＝BF，求证：AG＝2EF．
28．已知：平行四边形ABCD中，BD＝CD，且∠ABD＝45°，过D作DF⊥AB于F，点E是AD的中点，连接BE交DF于点P，点G是AB的中点，过B作BH⊥BD交PG的延长线于H．
（1）若AB＝2，求DP的长；
（2）求证：DP＝BH．
29．如图，在?ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连接EF．
（1）若DG＝8，求对角线AC的长；
（2）求证：AF+FG＝EF．
30．如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E是BC的中点，∠ABC＝120°，点P为CD边上任意一点，连接BP，点G为BP上一点，连接AG，EG，CG，使∠AGB＝∠EGB，点F在AG上，且GF＝GE，连接EF，DF
（1）若AB＝5，DP＝3，求线段BP的长度；
（2）求证：CG＝DF．
2020年人教版八下数学《18.1 平行四边形》专项提升【1】
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴BC+CD＝10÷2＝5，
根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．
∴BC＝3，CD＝2，
∴AB＝CD＝2，
故选：A．
2．解：在?ABCD中，∵AB＝CD＝2cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝6cm，
∴OC＝3cm，
∴BO＝＝5cm，
∴BD＝10cm，
∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）＝BD﹣AC＝10﹣6＝4cm，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CE＝2AB，
∵∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ECF＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF＝4，
∴AB＝2．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S?ABCD＝AB?AC，故②正确，
∵AB＝BC，OB＝BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
或∵AC⊥AB，
∴AB＜OB，故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE＝AB＝BC，故④正确．
故选：C．
5．解：∵点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∴AB＝＝，
过C作CE⊥y轴于E，如图所示：
∵点C的坐标为（1，2），
∴CE＝1，OE＝2，
∴BE＝1，
∴BC＝＝，
∴AB+BC＝+，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2+2
故选：A．
6．解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示：
则∠BFC＝∠BFA＝90°，
∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，
∴∠CBF＝30°，∠ABF＝90°﹣45°＝45°＝∠CAB，
∴CF＝BC＝2，AF＝BF＝CF＝2，
∴AC＝CF+AF＝2+2，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝1+，DO＝EO，
∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，
则△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝AO＝，
∴DE＝2OD＝+；
故选：A．
7．解：在?ABCD中，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC，CD＝AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD＝DF，AB＝EB，∠DFA＝∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴DF＝BC，CD＝BE，
∴∠CDF＝∠ADC﹣60°，
∠EBC＝∠ABC﹣60°，
∴∠CDF＝∠EBC，
在△CDF和△EBC中，，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
在?ABCD中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：
∵AB∥CD，
∴∠DOA＝∠OAB＝60°，
∴∠DOA＝∠DFO，
∵∠OKD＝∠AKF，
∴∠ODF＝∠OAF，
故③正确；
在△CDF和△EAF中，，
∴△CDF≌△EAF（SAS），
∴EF＝CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE＝CF，
∴EC＝CF＝EF，
∴△ECF是等边三角形，故②正确；
则∠CFE＝60°，
若CE∥DF时，
则∠DFE＝∠CEF＝60°，
∵∠DFA＝60°＝∠CFE，
∴∠CFE+∠DFE+∠DFA＝180°，
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：C．
8．解：延长AD，交FE的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEM和△CEF中，
，
∴△DEM≌△CEF（AAS），
∴EM＝EF，
过点E作ET⊥AM于T，ER⊥AF于R．
∵AE平分∠FAD，
∴ET＝ER，
∵EM＝EF，∠ETM＝∠ERF＝90°，
∴Rt△ETM≌Rt△ERF（HL），
∴∠M＝∠AFM，
∴AM＝AF，
即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，①正确，②错误．
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故④错误．
故选：C．
9．解：作EM∥AB交AF于M，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AB∥EM∥CD，
∴AM：FM＝BE：CE，∠AEM＝∠BAE＝45°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AM＝FM，
∴EM是梯形ABCF的中位线，
∴AB+CF＝2EM，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴EM＝AF＝AM＝FM，
∴∠EAF＝∠AEM＝45°，AF＝AB+CF，①②正确；
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴FE＝AE＝4，
∴S△AEF═AE×FE＝×4×4＝8，④正确；
∵∠BAF＝∠BAE+∠EAF＝90°，
∴AF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴AF⊥CD，
当AD＝AC时，CF＝DF，则CD＝2CF，③不正确；
故选：A．
10．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AB，
∴BF∥CD，CD＝BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，又∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB
∴DA+DF＞BE，③错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
S△ACD＝x2，S△ACB＝x2，S△ABE＝x2，
＝＝，④错误，
故选：A．
二．填空题
11．解：以AC为对角线，将AB向上平移2个单位，再向左平移2个单位，A点对应的位置为（0，2）就是第四个顶点D；
以AB为对角线，将BC向下平移4个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（4，﹣2）就是第四个顶点D′；
以BC为对角线，将AB向上平移4个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（6，6）就是第四个顶点D″；
∴第四个顶点D的坐标为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2），
故答案为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2）．
12．解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠BAM＝∠CEM，∠B＝∠ECM．
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB＝CD＝CE，AM＝EM＝4，
∵N为边DC的中点，
∴NE＝3NC＝AB，即AB＝NE，
∵AN＝3，AE＝2AM＝8，且∠MAN＝60°，
∴∠AEH＝30°，
∴AH＝AE＝4，
∴EH＝＝4，
∴NH＝AH﹣AN＝4﹣3＝1，
∴EN＝＝7，
∴AB＝×7＝．
故答案为．
13．解：延长BF、DA交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GAB＝∠ABC，
∵BF⊥BC，
∴∠FBC＝∠FBA+∠ABC＝90°，
∴∠FBA+∠GAB＝90°，
∴∠G＝90°，
在△AGB和△FBC中，
∵，
∴△AGB≌△FBC（AAS），
∴AG＝BF＝1，BC＝BG，
Rt△AGF中，∵AF＝，
∴FG＝，
∴BC＝BG＝AD＝3+1＝4，
∴GD＝1+4＝5，
Rt△DGB中，BD＝，
故答案为：．
14．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝1.5，
∴ED＝2OD＝3．
故答案为：3．
15．解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，
S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴2＝AE，
∴AE＝，
故答案为：．
16．解：当P点在BA上，BP＝BE＝6，
作BH⊥PE于H，如图1，则PH＝EH，
∵∠B＝120°，
∴∠BPE＝∠BEP＝30°，
在Rt△BEH中，BH＝BE＝3，EH＝BH＝3，
∴PE＝2EH＝6；
当P点在AD上，BP＝PE，
作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，则BF＝EF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
在Rt△ABG中，AG＝AB＝4，BG＝AG＝4，
∴PF＝4，
在Rt△PEF中，PE＝＝；
当点P在CD上，如图3，EB＝EP＝6，
综上所述，PE的长为6或6或．
故答案为6或6或．
17．解：如图，观察图象可知，满足条件的点C的坐标为（2，3）或（﹣2，﹣3）或（4，﹣1）
故答案为（2，3）或（﹣2，﹣3）或（4，﹣1）．
18．解：∵?ABCO的顶点B的坐标为（6，m），C的坐标为（2，n），OA∥BC，OA＝BC，
∴B、C横坐标的差为6﹣2＝4，纵坐标的差为m﹣n，
∵O（0，0），
∴则点A的坐标为（4，m﹣n）；
故答案为：（4，m﹣n）．
19．解：连接AF，AC，过点A作AH⊥CD于H，AH交EC于O，
设AD与CE交于G，
∵∠AGC＝∠AHC＝90°，∠AOG＝∠COH，
∴∠DAH＝∠ECD，
∵∠AHD＝∠EDC＝90°，AD＝CE，
∴△ADH≌△CED（AAS），
∴DE＝DH＝1，AH＝CD，
∵点A在BF的垂直平分线上，
∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝∠AFC，
∵CF＝CF，
∴△AFC≌△DCF（SAS），
∴DF＝AC＝5，
设CH＝x，则AH＝CD＝x+1，
∵AH2+CH2＝AC2，
∴（x+1）2+x2＝52，
解得：x＝3（负值舍去），
∴AH＝4，
∴AD＝＝，
故答案为：．
20．解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．
三．解答题
21．解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，，
∴．
∵∠ABF＝45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴EG＝BG＝1，
∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，
∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝＝2；
（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，
∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴，BE＝HE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，
由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，
∴∠BEG＝45°，CE＝CF，
∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHE＝∠CEB，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，
由（1）知，∠FCE＝90°，
∴∠BCD＝∠FCE+∠BCG＝90°+∠BCG，
∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，
∴90°+∠EAB＝90°+∠BCG，
∴∠EAB＝∠BCG，
即∠EAH＝∠BCE，
在△△EAH和△BCE中，
∴△EAH≌△BCE（AAS），
∴AH＝CE＝CF，
∴AB﹣BE＝AB﹣BH＝AH＝CF，
即AB﹣BE＝CF．
22．（1）证明：如图，∵EB＝BF，EC＝CM，
∴BC∥FM，BC＝FM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥FM，
∵N为FM的中点，
∴FN＝FM，
∴AD＝FN，
∴四边形AFND是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
∵BF＝BE，CM＝CE，
∴BC＝FM，
∴AD＝FM，
∵四边形AFND是平行四边形，
∴FN＝AD＝FM，
∴MN＝FM，
∴长度为FH的一半的所有线段为：AD，BC，FN，MN．
23．证明：（1）∵CE＝AB，AB＝CD
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝＝90°﹣∠DCE，
∵CD∥AB
∴∠AED＝∠CDE＝90°﹣∠DCE；
（2）如图，延长DA，FE于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，且DF⊥BC
∴DF⊥AD，∠M＝∠EFB
∵∠M＝∠EFB，AE＝BE，∠AEM＝∠FEB
∴△AEM≌△BEF（AAS）
∴ME＝EF，且DF⊥DM
∴ME＝DE＝EF
∴∠M＝∠MDE
∴∠DEF＝∠M+∠MDE＝2∠M
∴∠EFB＝∠DEF
24．解：（1）能判定△ABC的形状，△ABC是等腰直角三角形；理由如下：
由题意得：AB＝，BC＝＝，AC＝＝，
∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）如图所示：
当AB为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到点D，
∴点D的坐标为（4，﹣1）；
当BC为对角线时，AB∥CD，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到点D'，
∴点D'的坐标为（6，5）；
当AC为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点A向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到点D''，
∴点D''的坐标为（2，3）；
综上所述，点D的坐标为（4，﹣1）或（6，5）或（2，3）．
25．解：（1）∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在?ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF＝（180°﹣80°）＝50°，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝90°﹣50°＝40°；
（2）如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EM＝FE，
∴∠ECF＝∠CEF．
26．解：解法一：（1）∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AD＝6，
∴AC＝CD＝AD＝3，
∴平行四边形ABCD的面积＝33＝18；
（2）过C作FC⊥EC交BD于F，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∵平行四边形ABCD中，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，OE＝OF，
∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
设AC＝AB＝2x，
∴AD＝BC＝2x，
∴AO＝x，
∴BO＝DO＝＝x，
∵S△AOB＝AB?AO＝BO?AE，
∴AE＝＝＝，
∴OE＝OF＝＝x，
∴EF＝CF＝x，
∴CE＝EF＝x，
∵DE＝＝x，AE+EC＝x+x＝x，
∴ED＝AE+EC；
解法二：过C作FC⊥EC交BD于F，∴∠FCE＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠ACF＝∠ACF+∠FCD，
∴∠ECA＝∠FCD，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，
∴∠EAC＝∠CDF，
∵AC⊥CD，∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝CD，
∴△AEC≌△DFC（ASA），
∴AE＝DF，EC＝FC，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝EC，
∴ED＝DF+EF＝AE+EC．
27．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∵BA⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵BF＝2，
∴AF＝＝＝10，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∵∠DAF＝30°，
∴AD＝AF＝5；
（2）∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠BCD，
又∵BA＝BF，
∴BF＝CD，∠A+∠ABC＝180°，
∵BA⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴∠A+∠EBF＝90°，
∵∠EDC+∠DCE＝90°，
∴∠EBF＝∠EDC，
∵DE⊥BC，
∴∠BEF＝∠DEC＝90°，
∴△BEF≌△DEC（AAS），
∴EF＝CE，BE＝DE，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∵∠DFG＝∠CFE＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴DG＝DF，
设DG＝DF＝x，EF＝CE＝y，
∴BE＝DE＝x+y，
∴AD＝BC＝x+y+y＝x+2y，
∴AG＝AD﹣DG＝x+2y﹣x＝2y＝2EF．
28．（1）解：如图，过P作PM⊥BD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∵BD＝CD，
∴AB＝BD＝2，
∵E是AD的中点，
∴∠DBE＝∠ABE，
∵PF⊥AB，PM⊥BD，
∴PF＝PM，
∵∠ABD＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BF＝，∠BDF＝45°，
∴DM＝PM，PD＝DM，
在△BFP和△BMP中，
∵，
∴Rt△BFP≌Rt△BMP（HL），
∴BM＝BF＝，
∴DM＝2﹣，
∴DP＝DM＝2﹣2；
（2）证明：连接AP，
∵∠DEP＝∠PFB＝90°，∠EPD＝∠FPB，
∴∠EDP＝∠FBP，
在△ADF和△PBF中，
∵，
∴△ADF≌△PBF（ASA），
∴PF＝AF，
∴∠PAF＝45°，
∵BD⊥BH，
∴∠DBH＝90°，
∵∠DBF＝45°，
∴∠HBG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠PAF＝∠HBG，
在△APG和△BHG中，
∵，
∴△APG≌△BHG（ASA），
∴BH＝AP，
∵AB＝BD，∠ABD＝45°，
∴∠DAB＝∠ADB＝67.5°，
Rt△ADF中，∠ADP＝∠DAP＝22.5°，
∴AP＝DP，
∴DP＝BH．
29．解：（1）∵在?ABCD中，∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠B＝45°，
∵CE⊥AD，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠DEC＝∠AEC＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD＝∠DEC＝90°，
∴∠DGE＝∠CGF，
∴∠EDG＝∠ECA，
∴△DEG≌△CEA（ASA），
∴AC＝DG＝8；
（2）过E作EH⊥EF交DF于H，
∵∠FEH＝∠DEC＝90°，
∴∠DEH＝∠CEF，
∵∠EDH＝∠ECF，DE＝CE，
∴△DEH≌△CEF（ASA），
∴EF＝EH，DH＝CF，
∴AC﹣CF＝DG﹣DH，
即AF＝HG，
∵FH＝FG+GH＝EF，
∴AF+FG＝EF．
30．解：（1）如图1，连接BD，DE，∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°
∵BC＝2AB，点E是BC的中点
∴BE＝CE＝CD
∴△CDE是等边三角形
∴DE＝CE＝BE，∠CDE＝∠CED＝60°
∴∠CBD＝∠BDE＝30°
∴∠BDC＝90°
∵CD＝AB＝5，
∴BC＝10，BD＝＝＝5
∴BP＝＝＝2；
（2）如图2，连接BF，DE，由（1）知△CDE是等边三角形
∴DE＝CE，∠CED＝60°
∵BE＝BF＝BA，∠ABC＝120°
∴∠AFB＝（180°﹣∠ABF），∠BFE＝（180°﹣∠EBF），
∴∠AFE＝∠AFB+∠BFE＝（180°﹣∠ABF）+（180°﹣∠EBF）＝120°，
∴∠EFG＝60°
∵GF＝GE
∴△EFG是等边三角形
∴∠FEG＝∠CED＝60°，EF＝EG
∴∠FEG﹣∠DEG＝∠CED﹣∠DEG，即∠DEF＝∠CEG
∴△DEF≌△CEG（SAS）
∴CG＝DF．