8.3 简单几何体的表面积与体积（2）课件（共18张PPT）

第8章 立体几何初步
8.3 简单几何体
的表面积与体积(2)
高中数学人教A版（2019）必修 第二册
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
如果平面经过球心，得到的截面圆为球的大圆(如地球仪上的经线圈与赤道所在的经线圈)；如果平面不过球心，得到的截面圆为球的小圆(如40°经线圈)
????′
?
????
?
????
?
????
?
????
?
小圆的圆心为????′，半径为????，球的球心为????，半径为????，则
?
① ????????′?⊥圆面 ????′
?
② ????????=????????+????????′????
?
探究新知
球的截面问题
【河北邯郸2020高一期中】若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的
面积为????，求球的表面积.
?
作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得 ????????′=????,设截面圆的半径为????
，球的半径为 ????，因为截面圆的面积为 ?????，
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
????
?
所以可得 ????????????= ?????，解得 ????=????
?
又由 ????????=????????′????+????????=?????，所以 ????=????
?
所以球的表面积
????球=????????????????=????????
?
探究新知
过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=BC
=CA=2，求球的表面积.
设球心为 ????，截面圆的圆心为 ????′，连接 ????′????,????????,????′????.设球的半径为 ????，由题意有
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????′????=????????×????????×????=????????????
?
在????????Δ????????′????中，????????????=????′????????+????′????????
?
所以????????=2332+12????2,解得????=????????
?
所以????球=????????????????=????????????????
?
变式训练
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
确定球心位置
构造直角三角形，确定球的半径
球心定位置
半径定大小
球与多面体
多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点距离相等
多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等
球与旋转体
旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球的截面；球心在旋转轴上
旋转体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上
探究新知
球与几何体外接、内切问题
简单多面体的外接球问题
简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐，有些同学对于此类问题的解答往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置.
由球的定义确定球心：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球，也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心，深刻理解球的定义，可以得到简单多面体外接球的一些常见结论——
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
球与几何体外接、内切问题
简单多面体的外接球问题
构造长方体或正方体确定球心：
①正三面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都可将三棱锥
补形长方体或正方体；
②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥可将三棱锥补形成长方
体或正方体；
③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；
④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体；
由性质确定球心：
利用球心 ???? 与截面圆圆心 ????′ 的连线垂直于截面圆及球心 ???? 与弦中点的连线垂直于弦的性质确定球心.
?
球与几何体外接、内切问题
简单多面体的外接球问题
【襄阳2020高二期末】已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，
且它的顶点都在同一球面上，求这个球的表面积.
∵ 长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的顶点都在同
一个球面上，
∴ 长方体的体对角线就是球的直径， 体对角线长为 32+42+52=52
?
∴ 球的半径为52????,球的表面积是 4????×5222=50????
?
例题讲解
正三棱锥 ????????????????? 内接于球 ?????，且底面边长为 3?，侧棱长为 ????，则球 ????的表面积是多少？
?
如图，设三棱锥 ????????????????? 的外接球的半径为 ????， ???? 为正三角形的中心.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
因为 ????????=????????=????????=????,????????=????????=????????=????,
?
????????⊥平面????????????,所以 ????????=????,????????=????,
?
又因为 ????????=????????=????,所以??????????????+????=????????,
?
解得????=????????????,所以球的表面积 ????=????????????????=????????????????
?
变式训练
球与几何体外接、内切问题
简单多面体的内切球问题
利用内切球的定义直接找球心和半径的关系；
利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)
轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的表面积.
如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
所以 ????????=????????????????=????,所以????????=????,????????=????????×????=????????
?
因为 ????????????????????????∽????????????????????????,所以????????????????=????????????????
?
设????????=????,则????????=?????????????,所以???????????????=????????,????=????????????
?
所以球的表面积 ????=????????????????=????????????????
?
例题讲解
一个正四面体的棱长为 ????，若该四面体的表面积为 ?????????，其内切球的表面积为 ????????，求 ????????????????
?
由题意有 ????????=????×????????????????=????????????,
利用等体积法求四面体内切球的半径 ????
?
设四面体的高为???? ，则四面体的体积
?
即????=????????,则其内切球半径为四面体高的????????，
?
即????=????????×????????????=????????????????,因此内切球的表面积
?
????????=????????????????=????????????????,则????????????????=????????????????????????????=????????????
?
????=????????×????????????????·????=????????×????????????????·????·????,
?
①求解与棱柱、棱锥的接、
切问题时，一般过球心及
接、切点做截面，把空间
问题转化成平面图形问题，
再利用平面几何知识寻找
几何元素见的关系求解.
②利用等体积法求解
变式训练
正方体与球
如图①，正方体的棱长为????，则外接球的直径为????????，内切球的直径为????
?
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图②
过正方体对角面截组合体，其截面图如图③
①
②
③
正方体的外接球与内切球
探究新知
正方体与球
如图④，正方体的棱长为????，该球的直径为????????
?
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图⑤
过正方体对角面截组合体，其截面图如图⑥
与正方体各棱都相切的球
④
⑤
⑥
探究新知
正方体与球
如图，棱长为1的正方体内有两个球外切，且各与正方体的三个面相切，求两个球半径的和.
如图，沿正方体对角面作截面图，则两圆分别与AD，BC相切，两球心在对角线AC上，O1E⊥AD，O2F⊥BC.
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
由已知得????????=????,????????=????,????????????=????????,????????????=????????,
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
所以????????????????=????+????,从而?????+????+????????+????=????,
?
所以????+????=????????+????=?????????????
?
例题讲解
求组合体表面积和体积时考虑不全
如图，从底面半径为 2????，高为的 3???? 圆柱中，挖去一个底面半径为 ???? 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积 ????1 与挖去圆锥后的几何体后的表面积 ????2 之比.
?
由题意知????1 =2????·2????·3????+2????·2????2=43+8????2,
?
????2 =????1??????????2=43+7????2,????1:????2=43+8 :43+7
?
易知????1 =2????·2????·3????+2????·2????2=43+8????2,
?
挖去圆锥的母线长为2?????，
?
∴ ????2 =????1?+????????·2?????????????2=43+9????2
?
∴?????1:????2=43+8 :43+9
?
挖去圆锥后的几何体的表面少了一个半径为 ???? 的圆，但是同时增加了一个圆锥的侧面.
?
切、接问题中不能得到最大的球
在封闭的直三棱柱 ?????????????????1????1????1 内有一个体积为 ???? 的球，若 ????????⊥ ????????,????????=6,????????=8,????????1=3，则 ???? 的最大值是多少？
?
设球的半径为 ????,∵ ????????⊥ ????????,????????=6,????????=8,
?
∴ ????????=10,
?
∵ Δ????????????的内切圆半径 ????=????+?????????????????=2,
?
∴ 3<2????.
?
又∵ 2????≤3,∴????≤????????
?
∴ ????????????????=????????×????×323=????????????.
?
要在封闭几何体中找最大球，就相当于把该几何体削成最大的球本题中仙友底面是直角三角形求得底面三角形的斜边长和内切圆半径，然后再比较侧棱长，通过计算得到底面直角三角形的内切圆半径侧棱长股最大的球的半径为一侧棱长的一半及要比较底面三角形内切圆的直径和侧棱长的大小来确定最大球的半径
谢谢聆听