8.3 简单几何体的表面积与体积（1）课件（共19张PPT）

第8章 立体几何初步
8.3 简单几何体
的表面积与体积(1)
高中数学人教A版（2019）必修 第二册
棱柱、棱锥、棱台的表面积
小学我们就学过，正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和
正方体、长方体的表面积
长宽高分别为 ????,????,?????的长方体的表面积
?
棱长为 ???? 的正方体的表面积
?
????长方体=????????????+????????+????????
?
????正方体=????????????
?
????
?
????
?
????
?
求多面体的表面积体现了立体几何问题平面化的转化思想
探究新知
棱柱、棱锥、棱台的表面积
正方体、长方体的表面积
一个长方体的表面积是20cm3，所有棱长的和是24cm，求长方体的体对角线长度.
设长方体的长宽高分别为 ?????????????,?????????????,?????????????，体对角线长为 ?????????????，由题意有：
?
2????????+????????+????????=20,①4????+????+????=24,??②
?
，②式两边平方，得：
????2+????2+????2+2????????+2????????+2????????=36 ③
?
③?①，得 ????2+????2+????2=16，所以????=????????????
?
即体对角线长为4cm
????
?
例题讲解
棱柱、棱锥、棱台的表面积
★ 棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，
另一边等于棱柱的底面周长；
★ 棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；
★ 棱台的侧面展开图由若干个梯形组成.
棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
????棱柱=????侧+????????底
?
????棱锥=????侧+????底
?
????棱台=????侧+????上底+????下底
?
探究新知
圆柱、圆锥、圆台的表面积
★ 圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆柱的底面半径为????，
母线长为?????，那么这个矩形的一边长就是圆柱的底面周长，另一边的
长就是圆柱的母线长，所以圆柱的侧面积为 ????圆柱侧=????????????????
★ 圆柱的表面积：????=????????侧+????????底=????????????????+????????????????=????????????(????+????)
?
圆柱的表面积
探究新知
圆柱、圆锥、圆台的表面积
★ 圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，
圆锥的底面半径为?????，母线长为?????，那么这个扇形
的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线
长，所以圆锥的侧面积为????圆锥侧=????????????
★ 圆锥的表面积：
????=????侧+????底= ????????????+????????????=????????(????+????)
?
圆锥的表面积
????
?
????
?
????
?
????????????
?
探究新知
圆柱、圆锥、圆台的表面积
★ 圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个
扇环，圆台的上底面半径为????′，下底面半
径为?????，母线长为????，所以圆台的侧面积为
????圆台侧=????????′+????????
★ 圆台的表面积：
????=????侧+????上底+????下底
= ????????′????+????????+????′????+????????
?
圆台的表面积
????????????
?
????????????′
?
????′
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
探究新知
柱体、椎体、台体的体积
★ 柱体(棱柱、圆柱)的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意
一点，向另一底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面之间的交点)之间的
距离，也就是垂线段的长.
★柱体(棱柱、圆柱)的体积：柱体的体积 ????柱体 等于它的底面积 ????底 和高 ????
的乘积，即 ????柱体=????底????
?
柱体(棱柱、圆柱)的体积
????底
?
????底
?
????底
?
????
?
????
?
????
?
探究新知
★ 椎体(棱锥、圆锥)的高：椎体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底
面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面之间的交点)之间的距离，即垂线段
的长.
★椎体(棱锥、圆锥)的体积：椎体的体积 ????锥 等于它的底面积 ????底 和高 ????
乘积的 13，即 ????锥=13????底????
?
????
?
????
?
柱体、椎体、台体的体积
锥体(棱锥、圆锥)的体积
探究新知
——棱柱与棱锥体积之间的关系
一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示：
????
?
????
?
????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????
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????
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????
?
????????
?
????????
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????
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????
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????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????
?
【结论】棱锥的体积等于同底等高的棱柱体积的 13 ；
【同理】圆锥的体积等于同底等高的圆柱体积的 13 .
?
柱体、椎体、台体的体积
锥体(棱锥、圆锥)的体积
探究新知
柱体、椎体、台体的体积
台体(棱台、圆台)的体积
★ 台体(棱台、圆台)的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面任意一点
向下底面作垂线，此点与垂足(垂线与底面之间的交点)之间的距离，即垂
线段的长.
★台体(棱台、圆台)的体积：????台体=13(????′+????′????+????)?????
(????′,????分别为上下底面的面积， ???? 为台体的高)
?
探究新知
柱体、椎体、台体的体积
柱体、椎体、台体体积之间的关系
从柱体、锥体、台体的形状可以看出，当台体上底面缩为一点时，台体成为椎体；当台体上底面放大到与下底面相同时，台体成为柱体.因此只要分别令 和 ，便可以从台体的体积公式得到柱体和椎体的体积公式.从而椎体和椎体的体积公式可以统一为台体的体积公式.
????台体=13(????′+????′????+????)????
?
????柱体=????????
?
????柱体=13????????
?
????′=????
?
????′=????
?
探究新知
球的体积和表面积
★ 球的体积公式：????=???????????????????? (其中R为球的半径)
★ 球的表面积公式：????=???????????????? (其中R为球的半径)
?
????
?
????
?
????
?
????
?
(1)从公式看，球的体积和表面积的大小，只与球的半径有关，
给定一个半径R都有唯一确定的V和S与之对应，所以球的
体积和表面积都是半径R的函数；
——球的体积与表面积公式的几点认识
(2)球的表面积恰好是是球的大圆(通过球心的平面截球所得的
圆)面积的4倍.
探究新知
求几何体体积的常用方法
常见多面体的体积公式
①正方体(棱长为????)：
?
②长方体(长宽高为????,????,????)：
?
????=????????
?
????=????????????
?
③正四面体(棱长为????)：
?
????=????????????????????
?
常见旋转体的体积公式
①圆柱(底面半径为????,母线长为????)：
?
????=????????????????
?
②圆锥(底面半径????,高为????)：
?
????=????????????????????????
?
③圆台(上下底面半径为????????,????????,高为????)：
?
????=????????????(????????????+????????????????+????????????)????
?
——公式法
归纳小结
[北京大兴区2020高一期末]三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为多少？
如右图所示，设PA=1，PB=2，PC=3，
且PA，PB，PC相互垂直
????
?
????
?
????
?
????
?
所以
?????????????????????=????????·????????·????????????????????=????????×????×????????×????×????=????
?
例题讲解
求几何体体积的常用方法
将原几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等
——补形法
三棱锥A-BCD的高为4，底面BCD为直角三角形，两直角边BD和CD的长分别为5和3，求该三棱锥的体积.
如右图所示，把三棱锥放到长方体中，长方体的长宽高分别为5，3，4，ΔBCD为直角三角形，所以该三棱锥的体积
????
?
????
?
????
?
????
?
?????????????????????=????????×????????×????×????×????=????????
?
例题讲解
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ΔADE，ΔBCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，求该多面体的体积.
求几何体体积的常用方法
将原几何体分割成容易求解体积的几个部分，分别求体积，再求和
——分割法
如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为DG，CH，易知EG=HF= ?????????，AG=GD=BH=HC= ?????????，则ΔBHC中BC
边的高????=????????，
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????=?????????????????????+?????????????????????+?????????????????????????????=?????????????????????????+?????????????????????
?
????
?
????
?
所以????????????????????=????????????????????=????????×????????×1=????????
?
所以该多面体的体积
=????×????????×????????×????????+????????×????=????????
?
????
?
????
?
例题讲解
谢谢聆听