第8章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
高中数学人教A版(2019)必修 第二册
空间几何体的直观图
直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图是把空间图形画在平面内,既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
空间几何体的直观图的概念
圆柱的结构特征
富有立体感
位置关系主要是垂直、平行
度量关系主要是长度和角度
探究新知
空间几何体的直观图
常见空间几何体的直观图
探究新知
空间几何体的直观图
斜二测画法——水平放置的平面图形的直观图画法
在已知图形中取相互垂直的 ?????轴和 ???? 轴,两轴相交于点 ????.画直观图时,把它们化成对应的 ????′ 轴和 ????′ 轴,两轴相交于点 ????′?,且使∠????′????′????′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面
?
x
?
????
?
????
?
x′
?
????′
?
????′
?
已知图形中平行于 ???? 轴或者 ???? 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 ????′ 轴或 ????′ 轴的线段(平行关系不变)
?
已知图形中平行于 ???? 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 ???? 轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半
?
已知图形
直观图
探究新知
空间几何体的直观图的绘制方法
在已知图形中选取水平平面并画相互垂直的 ???????? 轴,???????? 轴和 ???????? 轴,使
∠ ????????????=90°,∠????????????=90°.
?
画直观图时,把它画成对应的 ????????′ 轴,????????′ 轴和 ????????′ 轴,使∠????′????????′=45°(或135°), ∠????′????????′=90°(平面????′????????′表示水平面)
?
已知图形中平行于 ???? 轴,???? 轴和 ???? 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 ????′ 轴,????′ 轴和 ????′ 轴的线段(平行关系不变)
?
已知图形中平行于 ???? 轴或 ???? 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 ???? 轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半
?
探究新知
空间几何体的直观图的绘制方法
——斜二测画法要点剖析
“斜”是指把直角坐标系 ???????????? 变为斜坐标系 ????′????′????′?,使∠????′????′????′=45°(或135°)
?
“二测”是指画直观图时,已知图形中平行于 ???? 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 ???? 轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.简记为
?
“横不变,纵减半,90°取一半”
(1)要根据图形的特征选取适当的坐标系,简化绘制步骤;
——空间几何体的直观图画法剖析
(2)平行于轴的线段,绘制直观图时的长度一定要变为原来的一半;
(3)对于图形中轴,轴和轴不平行的线段,可先确定其端点在直观
图中的位置,再连线即可.
探究新知
直观图与原图相关量的关系
斜二测画法是绘制平面图形与空间图形的直观图的一种重要方法:主要特征为一“斜”(坐标系),二“测”(两种度量形式).绘制时既要有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系.
若一个多边形的面积为 ????原,它的直观图的面积为 ????直,则有 ????直=24????原, ????原=22????直.
?
以三角形为例,如图.设原三角形的底为?????,高为?,则其面积为
?
x
?
????
?
????
?
x
?
????
?
????
?
????直=12?????,
?
在直观图中,
????′=????,?′=12?·????????????45°=24?
?
在直观图中,
????直=12????′?′=12·????·24?=24????原
?
例题讲解
例①
在水平放置的平面 ???? 内有一个边长为1的正方形,如图,其中对角线在水平位置.已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.
?
????
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
【解】四边形ABCD的真实图形如图所示:
????
?
????
?
????
?
????
?
因为 ???????? 在水平位置, ????′????′????′????′ 为正方形,
?
所以∠????′????′????′=∠????′????′????′=????????°?,
?
所以在原四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,
因为 ????????=????????′????′=????,????????=????′????′=2
?
所以四边形ABCD的面积 ????=????????·????????=22
?
例题讲解
直观图还原成原平面图形时出错
一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,求这个平面图形的面积.
【解析】画出直观图如图所示:
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
方法一:直观图的面积 ????′=12×1+1+2×22=1+22,
?
平面图形的面积 ????=22????′=2+2
?
方法二:把直观图还原成原来的梯形,如图所示:
x
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
所以这个平面图形是直角梯形,它的面积
????=12×1+1+2×2=2+2
?
斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,关于其中的线段下列说法错误的是( )
题①
原来相交的仍然相交
原来垂直的仍然垂直
原来平行的仍然平行
原来共点的仍然共点
x
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
【解析】如图所示,以右图为例,可知B错误,其他选项正确
利用斜二测画法得到的直观图有以下结论,其中正确的是( )
题②
①三角形的直观图是三角形
②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形
④菱形的直观图是菱形
A. ①② B. ① C. ③④ D. ①②③④
在用斜二测画法画水平放置的ΔABC的直观图时,若在直角坐标系中的∠A的两边分别平行于 ???? 轴,???? 轴,则在直观图中∠A’等于( )
?
题③
【解析】如图所示,可知∠A’的度数是45°或者135°,选D
A. 45° B. 135° C. 90° D. 45°或135°
x
?
????
?
????
?
????
?
????
?
x
?
????
?
????
?
????
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????
?
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
如图为一平面图形的直观图,则此平面图形可以
是选项中的( )
题④
【解析】根据原图的90°可以变成直观图中的45°或135°,原图中大
于90°才可以变成直观图中的90°,可知选C
x′
?
????′
?
????′
?
给出以下关于斜二测画法得到的直观图的结论,其中正确的个数是( )
题⑤
①角的水平放置的直观图一定是角
②相等的角在直观图中仍相等
③相等的线段在直观图中仍相等
④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
请画出正五边形的直观图.
题①
——画水平放置的平面图形的直观图
【解析】如图所示,以正五边形的中心为原点 ????,建立如图所示
的直角坐标系 ????′????′????′?,使∠????′????′????′=45°
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
x
?
????
?
????
?
????
?
????
?
在原图中作 ????????⊥???? 轴于点 ????, ????????⊥????轴于点????,在坐标系????′????′????′中作O′????′=????????,
????′????′=????????,????′????′=12????????,过????′作????′????′?//????′轴,使????′????′=????????,且????′为????′????′的中点.
?
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
在平面????′????′????′中,过????′作????′????′//????′轴,且????′??′=12????????,过????′作????′????′//????′轴,且????′????′=12????????.连接????′????′,????′????′,????′????′,
????′????′,????′????′,得五边形????′????′????′????′????′为正五边形????????????????????的直观图
?
如图所示,ΔABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图,请将其还原成平面图形.
题②
——由直观图还原平面图形
【解析】(1)画直角坐标系 x????????,在 x 轴的正方向上取 ????????=????′????′,
即 ????????=????′????′;
?
x′
?
????′
?
????′(????′)
?
????′
?
x
?
????
?
????(????)
?
????
?
????
?
????
?
(2)过点 ????′ 作 ????′????′?// ??′ 轴,交 ????′ 轴于 ????′?,在 ???????? 上取 ??????????????=????′????′?,过点 ???? 作 ????????//???? 轴,且使 ????????=2????′????′;
?
(3)连接 ????????,????????得 Δ????????????,则Δ????????????即为Δ????′????′′???? 对
应的平面图形,如图所示.
?
谢谢聆听