第8章 功和功率—2020-2021学年【新教材】人教版（2019）高中物理必修第二册学案（含知识梳理和重点突破） Word版含答案

功和功率
基础梳理
1、功
①概念：力与在力的方向上位移的乘积
②公式：，其中F、l、分别为力的大小、位移的大小、力与位移的夹角。
功是标量．在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J。
③做功的条件：物体上有力的作用和物体在力的方向上发生位移。
注意：功是过程量，公式适用于恒力做功，不适用于变力做功，功是标量，没有方向，但是有正负。
1.1、对功的理解
【例1】足球运动员用20
N的力把质量为1
kg的足球踢出10
m远，则运动员对足球做的功为(　　)
A．200
J
B．100
J
C．98
J
D．条件不足，无法确定
答案：D
解析：公式中的l是力作用时间内的位移，l不确定，运动员对足球做的功不能确定，故选D。
【变式1】如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的(　　)
A．支持力做功为mgl
B．重力做功为mgl
C．拉力做功为Flcos
θ
D．滑动摩擦力做功为－μmgl
答案：C
解析：支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B错误；拉力和滑动摩擦力做功分别为W1＝Flcos
θ，W2＝－μ(mg－Fsin
θ)l，C正确，D错误。
2、正功和负功
由可知
（1）当时，W＝0，力F对物体不做功，即时，力不做功；
（2）当时，W＞0，力F对物体做正功，即是锐角时，力做正功；
（3）当时，W＜0，力F对物体做负功，即是钝角时，力做负功。
对正功、负功的理解：
①功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负。我们既不能说“正功与负功的方向相反”，也不能说“正功大于负功”，它们仅表示相反的做功效果；
②正功、负功的物理意义：功的正、负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正、负不表示方向，只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力。
1.2、对正功和负功的理解
【例2】(多选)一个力对物体做了负功，则说明(　　)
A．这个力一定阻碍物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
答案：AC
解析：由功的表达式知，只有当
>90°时，cos
<0，力对物体做负功，此力一定阻碍物体的运动，故A、C正确，B、D错误。
【变式2】(多选)质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，如图所示．物体始终相对斜面静止，则下列说法正确的是(　　)
A．重力对物体做正功
B．合力对物体做功为零
C．摩擦力对物体做负功
D．支持力对物体做正功
答案　BCD
解析　物体的受力和位移如图所示，支持力FN与位移l的夹角α<90°，故支持力做正功，D选项正确；重力方向与位移方向垂直，故重力不做功，A选项错误；摩擦力Ff与位移l的夹角大于90°，故摩擦力做负功，C选项正确；物体做匀速运动，所受合力为零，合力做功为零，B选项正确。
3、恒力做功的计算
（1）公式运用的思路：
（2）总功的计算
当物体在多个力的共同作用下发生一段位移时，合力对物体所做的功等于各分力对物体做功的代数和，故计算合力的功有以下两种方法：
①先由计算各个力对物体所做的功、、…然后求所有力做功的代数和，即；
②先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力，然后由计算总功，此时为的方向与l的方向间的夹角。
1.3、功的计算
【例3】重5
N的滑块从长为1
m、倾角为37°的斜面顶端滑至底端，这一过程中重力做功(sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)(　　)
A．5
J
B．4
J
C．3
J
D．0
答案：C
解析：方法一：当力与位移成一定夹角时，将力沿位移和垂直于位移方向分解，只有沿位移方向分力做功．将重力沿斜面和垂直于斜面分解，只有沿斜面方向分力做功，则W＝Gsin
37°·l＝5×0.6×1
J＝3
J；
方法二：当力与位移成一定夹角时，将位移沿力和垂直于力方向分解，力做功只与沿力方向位移有关．由题知，位移为l＝1
m，方向与水平方向成37°.沿水平方向和竖直方向分解位移，得到竖直方向的位移h＝lsin
37°＝1×0.6
m＝0.6
m．由功的定义式得：W＝Gh＝5×0.6
J＝3
J。
【变式3】如图所示，光滑斜面AB>AC，沿斜面AB和AC分别将同一重物匀速从斜面底部拉到顶部，所需拉力分别为F1和F2，所做的功分别为W1和W2。则(　　)
A．F1B．F1C．F1>F2，W1>W2
D．F1>F2，W1=W2
答案：A
解析：沿AB和AC两光滑斜面分别向上拉同一重物时，只需要克服重力做功，将同一重物提升相同高度，故W1=W2，又因为sAB>sAC，所以F1【变式4】如图所示，水平地面上的物体质量为2
kg，在方向与水平面成37°角、大小为10
N的拉力F作用下移动2
m，已知物体与水平地面间的动摩擦因数为0.2，在这一过程中，物体受到的各力所做的功分别为多少？
(g取10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)
解析：物体受重力、支持力、拉力、摩擦力四个力的作用，其中，重力和支持力与运动方向垂直，不做功，拉力做正功，摩擦力做负功。
拉力F对物体做的功为：WF＝Flcos
37°＝10×
2×0.8J＝16J
摩擦力对物体做的功为：WFf＝Fflcos
180°＝－μ(mg－Fsin
37°)l＝－0.2×(2×10－10×0.6)×2J＝－5.6J
重力和支持力做的功分别为WG＝0J，＝0J
2、功率
1.定义：力对物体所做的功W与完成这些功用时间t的比值，用符号P表示。
2.定义式：
3.单位：在国际单位之中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号：W
常用单位：千瓦，符号：kW
1kW=1000W；
4.物理意义：功率是标量，表示做功快慢的物理量。
5、功率与速度的关系：
（1）关系式：
注意：F与v的方向要保持一致，如果不一致则需要分解，（初中阶段速度一般不考虑方向，高中阶段需要考虑速度的方向，当力F的方向与速度v的方向有夹角时，可以把速度v沿力F的方向和垂直于力F的方向分解，或者是把力F沿速度v的方向和垂直于速度v的方向分解，如果夹角为，则）。
（2）推导：由代入得，又因为，将代入得=
（3）应用：由功率与速度的关系式可知，汽车、火车等交通工具和各种重型机器，当发动机的功率一定时，牵引力F和速度v成反比，要增大牵引力F，就要较小速度v。
6、定义式和计算式的理解
（1）定义式，适用于任何情况下的功率计算，求的是某个过程的平均功率，当时间t趋近于0时，可以求瞬时功率，功率可以由来计算，但功率P并不是由W、t来决定，也不成比例关系；
（2）计算式，如果是平均速度，则求的是平均功率，如果瞬时速度，则求的是瞬时功率。
7、计算功率应注意的问题
（1）首先应该明确计算的是平均功率还是瞬时功率；
（2）求平均功率时，应该明确是求哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应该明确是求哪个时刻的平均功率。
2.1、对功率的理解
【例1】关于功率，下列说法正确的是(　　)
A．根据可知，机器做功越多，其功率越大
B．根据可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C．根据可知，只要知道时间t内机器所做的功，可求得这段时间内任一时刻机器做功的功率可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
答案：D
解析：由功率公式可知，在相同时间内，做功多的机器，功率一定大，选项A无“相同时间”这一条件，故A错误；根据可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与速度成反比，故B错误，D正确；公式求的是一段时间内的平均功率，故C错误。
【变式1】(多选)关于力对物体做功的功率，下列几种说法中正确的是　(　　)
A.力对物体做功越多，这个力的功率就越大
B.力对物体做功的时间越短，这个力的功率就越大
C.力对物体做功少，其功率也可能很大；力对物体做功多，其功率也可能较小
D.功率是表示做功快慢的物理量，而不是表示做功大小的物理量
答案：C、D
解析：功率表示单位时间内所做的功。当t一定时，W越大，P越大；当W一定时，t越小，P越大，单纯只强调两个因素中的一个，而不说明另一个因素情况的说法是错误的，故A、B错误；如果W小，但当t很小时，P也可能很大；如果W很大，但当t很大时，P也可能较小，所以C正确；由可知P是表示做功快慢的物理量，P越大反映的是单位时间内做功越多，也就是做功越快，D正确。
2.2、功率的计算
【例2】质量的物体,在水平力的作用下,在光滑水平面上从静止开始运动,运动时间,试求:
（1）力F在t=3s内对物体所做的功。
（2）力F在t=3s内对物体做功的平均功率。
（3）在3s末力F对物体做功的瞬时功率。
答案：（1）54J　（2）18W　（3）36W
解析：（1）物体做匀加速直线运动,由牛顿第二定律可得
；
3s内物体运动的位移是：x=at2=9m,
力F在3s内对物体所做的功为：。
（2）力F在3s内对物体所做的功的平均功率为：。
（3）3s末物体的速度为v=at=6m/s,
所以3s末力F对物体所做的功的瞬时功率为。
【变式2】如图所示，质量为m＝2
kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10
m/s2，求：
(1)前2
s内重力做的功；
(2)前2
s内重力的平均功率；
(3)2
s末重力的瞬时功率．
答案　(1)48
J　(2)24
W　(3)48
W
解析　(1)木块下滑过程中，由牛顿第二定律得：mgsin
θ－μmgcos
θ＝ma
前2
s内木块的位移大小为x＝at2，联立解得：x＝4
m，a＝2
m/s2
所以重力在前2
s内做的功为：W＝mgsin
θ·x＝2×10×0.6×4
J＝48
J；
(2)重力在前2
s内的平均功率为
＝＝
W＝24
W；
(3)木块在2
s末的速度大小为v＝at＝2×2
m/s＝4
m/s
2
s末重力的瞬时功率为
P＝mgsin
θ·v＝2×10×0.6×4
W＝48
W。
重点突破
1、变力做功
（1）图像法：例如一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0
（2）平均力法：例如弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝·(x2－x1)
（3）微元法：木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功
（4）等效转换法：
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功
1、一物块静止放置在水平面上，现对物块施加水平向右的拉力F，F随x轴坐标变化的情况如图所示，求这个过程拉力做的功
(　　)
A.3.1
J
B.3.5
J
C.1.8
J
D.2.0
J
答案：B
解析：根据图像法可知，图线与横轴所围的面积表示拉力做的功，则J=3.5J，故选B。
2、如图所示，某个力作用在半径为的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为
A.
0
B.
J
C.
D.
答案：B
解析：在恒力的作用下，求力做的功为，所以求出在力作用下通过的位移即可。本题应注意，力虽然是变力，但是由于力一直与速度方向相同，故可以直接由求出。转半周通过的轨迹长度为：，力F所做的功：
故选B。
3、如图所示，一根绳子绕过滑轮(大小、摩擦均不计)，绳的一端拴一质量为10
kg的物体m，另一侧沿竖直方向的绳被人拉住。若人的手到滑轮最高点的距离为4
m，拉住绳子前进3
m，使物体匀速上升，g取10
m/s2。则人拉绳所做的功为(　　)
A．500
J
B．300
J
C．100
J
D．50
J
答案：C
解析：拉力是变力，但拉力做的功等于物体克服重力做的功，所以求拉力做的功可以转化为求重力做的功。物体上升的位移h＝m－4
m＝1
m，重力做的功W＝－mgh＝－10×10×1
J＝－100
J，所以人拉绳所做的功W′＝－W＝100
J，故选项C正确。
2、机车启动问题
1.两种启动方式的比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA段
过程分析
v↑?F＝↓?a＝↓
a＝不变?F不变P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻?a＝0?F阻＝
v↑?F＝↓?a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
F＝F阻?a＝0?以vm＝做匀速直线运动
2.两个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即
(式中为最小牵引力，其值等于阻力)。
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，；
1、一汽车在平直公路上行驶.从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示.假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变.下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是(　　)
答案：A
解析：在0—时间内，如果匀速，则v—t图像是与时间轴平行的直线，如果是加速，根据，牵引力减小，根据，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0时，，汽车开始做匀速直线运动，此时速度，所以0—时间内，v—t图像先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线；时间内功率突然增加，是加速运动，根据，牵引力减小，根据，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0时，，汽车开始做匀速直线运动，此时速度，所以时间内，v—t图像先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线，所以A正确，BCD错误，故选A。
2、水平面上静止放置一质量为m＝0.2kg的物块，固定在同一水平面上的小型电动机通过水平细线牵引物块，使物块由静止开始做匀加速直线运动，2秒末达到额定功率，其v－t图线如图所示，物块与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.1，g＝10m/s2，电动机与物块间的距离足够远。求：
(1)物块做匀加速直线运动时受到的牵引力大小；
(2)电动机的额定功率；
(3)物块在电动机牵引下，最终能达到的最大速度。
解析：（1）由图OA段可知匀加速运动的加速度m/s=0.4
m/s，
摩擦力大小：
根据；
（2）由图可知2s末电动机达到额定功率：；
（3）当时，速度最大，。
课堂练习
1、关于力对物体做的功，以下说法中正确的是(　　)
A．滑动摩擦力对物体做的功与路径有关
B．合力不做功，物体必定做匀速直线运动
C．在相同的时间内一对作用力与反作用力做的功一定是绝对值相等，一正一负
D．一对作用力与反作用力不可能其中一个做功，而另一个不做功
答案：A
解析：滑动摩擦力做功与物体运动的路径有关，故A正确；做匀速圆周运动的物体，合力不做功，但物体做曲线运动，故B错误；一对作用力和反作用力的作用点的位移可能同向，也可能反向，大小可以相等，也可以不等，故一对作用力和反作用力做功不一定相等，故相互作用力做功之和不一定为零，故C错误；一对作用力和反作用力，可能作用力做功，而反作用力不做功，故D错误。
2、如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面体上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面体水平向左匀速运动距离l，物体始终与斜面体保持相对静止．则在斜面体水平向左匀速运动距离l的过程中(　　)
A．摩擦力对物体做的功为－μmglcos
θ
B．斜面体对物体的支持力做的功为mglsin
θcos2θ
C．重力对物体做的功为mgl
D．斜面体对物体做的功为零
答案：D
解析：物体与斜面体相对静止，对物体受力分析，如图所示，
竖直方向有mg＝FNcos
θ＋Ffsin
θ，
水平方向有FNsin
θ＝Ffcos
θ，
可得FN＝mgcos
θ，Ff＝mgsin
θ.
摩擦力做功Wf＝－Ffcos
θ·l＝－mglsin
θcos
θ，故A错误；
支持力做功WN＝FNsin
θ·l＝mglsin
θcos
θ，故B错误；
重力做功为零，故C错误；
斜面体对物体作用力的合力方向竖直向上，与运动方向垂直，则斜面体对物体做的总功为零，故D正确．
3、（多选）如图所示，为轿车中的手动变速杆，若保持发动机输出功率不变，将变速杆推至不同挡位，可获得不同的运行速度，从“1”～“5”挡速度增大，R是倒车挡．某型号轿车发动机的额定功率为60
kW，在水平路面上行驶的最大速度可达180
km/h.假设该轿车在水平路面上行驶时所受阻力恒定，则该轿车(　　)
A．以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“1”挡
B．以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“5”挡
C．以额定功率在水平路面上以最大速度匀速行驶时，其牵引力为1
200
N
D．以54
km/h的速度在水平路面上匀速行驶时，发动机的输出功率为60
kW
答案：AC
解析：根据P＝Fv可知，功率一定，当速度最小时，牵引力最大，变速杆应推至“1”挡，故A正确，B错误；由题意可知轿车在水平路面上行驶的最大速度为vmax＝180
km/h＝50
m/s，在额定功率下以最大速度行驶时，，故C正确；54
km/h＝15
m/s，由C可知，轿车在水平路面上行驶时所受阻力大小为1
200
N，则轿车匀速行驶时，发动机的输出功率为P＝Ffv＝1
200×15
W＝18
kW，故D错误．
4、(多选)如图甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动．监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示．取g＝10
m/s2，则(　　)
A．第1
s内推力做功为1
J
B．第2
s内物体克服摩擦力做的功为2
J
C．t＝1.5
s时推力F的功率为2
W
D．第2
s内推力F做功的平均功率为3
W
答案：BD
解析：由题图丙可知，第1
s内物体保持静止状态，在推力方向上没有位移，故推力做功为0，故A错误；由题图乙、丙可知，第3
s内物体做匀速运动，F＝2
N，故Ff＝F＝2
N，由题图丙知，第2
s内物体的位移大小为x＝×1×2
m＝1
m，第2
s内物体克服摩擦力做的功Wf＝Ffx＝2
J，故B正确；第2
s内推力F＝3
N，t＝1.5
s时物体的速度大小为v＝1
m/s，故t＝1.5
s时推力的功率为P＝Fv＝3
W，第2
s内推力F做功WF＝Fx＝3
J，故第2
s内推力F做功的平均功率3
W，故C错误，D正确．
5、如图所示，小物块位于斜面光滑的斜面体上，斜面体位于光滑水平地面上，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面体对小物块的作用力(　　)
A．垂直于接触面，做功为零
B．垂直于接触面，做负功
C．不垂直于接触面，做功为零
D．不垂直于接触面，做正功
答案：B
解析：根据功的定义，为了求斜面体对小物块的支持力所做的功，应找到小物块的位移．小物块对斜面体的压力垂直于斜面斜向下，由于地面光滑，该力使斜面体水平向右运动．小物块所受支持力与位移方向如图所示，支持力与物块位移间的夹角大于90°，则斜面体对物块做负功．应选B。
6、如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆.则小物块运动到x0处时F所做的总功为(　　)
A.0
B.
C.
D.
答案：C
解析：由图可知F为变力，F-x图像包围的面积在数值上等于F做的功，围线为半圆，由图可知在数值上，所以：，故选C。
7、如图所示为汽车的加速度和车速的倒数1/v的关系图象。若汽车质量为2×103kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则
(　　)
A．汽车所受阻力为2×103N
B．汽车在车速为15m/s时，功率为6×104W
C．汽车匀加速的加速度为3m/s2
D．汽车匀加速所需时间为5s
答案：ABD
解析：设汽车的额定功率为P，由题可知汽车的最大速度为30m/s，此时汽车做匀速直线运动，有F=f，，代入数据得：，当时，，C错误；根据牛顿第二定律得：，联立解得：N，，A正确；当汽车以15m/s的速度行驶时，汽车处于最大功率状态，B正确；由图可知汽车做匀加速直线运动的末速度为10m/s，则：，D正确，故选ABD。
出门考6
1、一物体放在水平面上，两个相互垂直的力F1和F2同时作用在物体上，使物体沿某个方向做直线运动。经过一段位移的过程中，力F1和F2对物体所做的功分别为3
J和4
J，则两个力的合力对物体所做的功为(　　)
A.3
J
B.4
J
C.5
J
D.7
J
答案：D
解析：功是标量，当有多个力对物体做功时，合外力做的总功等于各个力对物体做功的代数和，则=7J，故选D。
2、用水平恒力F作用于质量为m的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离l，恒力F做功为W1；再用该恒力作用在质量为2m的物体上，使之在粗糙的水平面上沿力的方向移动同样的距离l，恒力F做功为W2，则恒力两次做功的关系是(　　)
A．W1>W2
B．W1C．W1＝W2
D．无法判断
答案：C
解析：物体沿力的方向运动，根据W＝Flcos
α，恒力两次做功过程中F、l、α均相同，所以两次F做功相同，即W1＝W2，C正确。
3、如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2
kg的物体在力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10
m/s2)(　　)
A．物体加速度大小为2
m/s2
B．F的大小为21
N
C．4
s末F的瞬时功率为42
W
D．4
s内F做功的平均功率为42
W
答案：C
解析：由v－t图像知物体加速度为0.5
m/s2，故A错误；
由牛顿第二定律得2F－mg＝ma，
F＝10.5
N，故B错误；
由题图乙知，4
s内物体上升4
m，则绳端上升8
m，则4
s末绳子末端速度为4
m/s,4
s末F的瞬时功率P＝Fv＝42
W，4
s内F的平均功率＝F＝21
W，故C正确，D错误。
4、如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O.现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升.滑块运动到C点时速度最大.已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g.求：
（1）拉力F的大小；
（2）滑块由A到C过程中拉力F做的功.(sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)
解析：（1）当滑块的合外力为零时，加速度为零，速度最大，故在C点，滑块的合力为零，则有：mg，解得：mg；
（2）滑块从A运动到C过程，F作用点的位移为：，滑块由A到C过程中拉力
F做的功：mgd，