北师大版八年级下册 2.1 不等关系 教学设计

课题：2.1不等关系
一．备课标：
（一）内容标准：结合具体问题，了解不等式的意义。
（二）核心概念：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力，了解不等式的意义。本节课的数学思想方法主要向学生渗透数学建模思想、归纳猜想、类比的数学方法。在十大核心概念中突出培养学生的模型思想。
二、备重点、难点：
（一）教材分析：本节课《不等关系》是本章的第一课时, 它是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上，开始研究不等关系。在此之前，学生已经初步具备了经历了建立方程模型和函数关系解决实际问题的数学化过程，为分析量与量之间的关系积累了一定的经验，为进一步学习不等式提供了认知基础，为后续学习函数等有关知识做好准备。本节课通过学生举例和老师的选例，让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外，更多的是不等关系的存在，并通过感受生活中的大量不等关系，初步体会不等式是.画量与量之间关系的重要数学模型。
（二）重点、难点分析：
重点：能过探寻实际问题中的不等式关系，列出并认识不等式。
难点：分析问题中的数量关系，建立合理的不等关系，并能正确用符号表示不等关系。
三．备学情：
（一）学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：学生已经学习过一些不等式的相关知识，了解“大于”、“小于”“不等于”等符号的用法和意义；在本章学习的前面，学生已经能比较两数的大小，并能用数学的语言表达。能分析一些实际问题中的数量关系。
（2）支持性条件：学生已经经历了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的形式，获得并积累了解决实际问题的数学经验的基础，同时在以前的学习中学生已经有了很多合作的过程。具备了一定的合作交流能力。
2.起点能力分析：学生学习了一元一次方程和二元一次方程组，初步具备了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的能力，为分析量与量之间的关系积累了一定的经验。学生对不等号有一定的了解，对题目的不等关系有了一定的分析能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：学生能辨别不等式，能从简单的实际问题中找到不等关系。学生对大于、小于等关系容易理解，而对不大于、不小于等概念的理解有一定难度，部分学生会混淆，针对这一问题，采取策略是学生讨论、教师引导，给予学生时间和空间消化理解，找出题目中的关键词语，以此作为解决问题的突破口。
四．备教学目标：
1．感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义，初步体会不等式是刻画量与量之间关系的一种重要模型。
2．经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号意识。
3．会用不等号“＞＜≥≤≠”表示简单的不等关系，能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。
五．备教学过程：
（一）构建动场：
同学们，我们以前研究过生活中的一些相等关系，那么生活中只存在相等关系吗？（还有不相等的关系）课件出示跷跷板的例子，利用不等关系同样可以解决解决实际问题.不等式关系在实际生活中并不少见，让学生举例。
设计意图：通过师生列举生活中有趣的事例，引入课题--不等关系，从实际生活中去体会不等关系，感受数学来源于生活，激发学生学习的兴趣。
（二）自主学习
如下图，用两根长度均为ｌcm的绳子分别围成一个正方形和一个圆。
1、如果要求正方形的面积不大于25 ,那么绳长ｌ应满足怎样的关系式？
2、如果要求圆面积不小于100，那么绳长ｌ应满足怎样的关系式？
3、当ｌ = 8时，正方形和圆的面积哪个大？ｌ= 12呢？改变ｌ的取值再试一试，你能得到什么猜想？
（正方形的面积，圆的面积，不大于、不小于怎么表示？学生在独立思考的基础上，积极参与讨论，教师根据情况进行点评，在合作交流中取得一定收获。）
设计意图：（1）学生需要明确正方形和圆的面积公式及“不大于”、“不小于”，教师在课上要使学生明确两数比较有大于、等于、小于三种情况，不大于指的是小于或等于，记做：≤。不小于指的是大于或等于，记做：≥。（2）初步尝试运用不等式表示不等关系。
（三）交流探究
活动一、1、铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160㎝。设行李的长、宽、高分别为ａcm，ｂcm，ｃcm，请你列出长、宽、高满足的关系式。
2、通过测量一棵树围（树干的周长）可以计算出它的树龄。通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6㎝，以后10年内每年增加约为3㎝，设经过x年后这棵树的树围超过30㎝，请你列出x的关系式。
问题：1.你能找出题目中蕴含不等关系的词语吗？（1题：三边之和不得超过160cm,2题：树围超过30cm）
2.你能用数学语言把它表述出来吗？（1题：三边之和小于或等于160cm,2题：树围大于30cm）
请大家互相讨论后列出关系式。
设计意图：总结出列不等式的关键是找出表示不等关系的关键词语。
活动二、观察由上述问题得到的关系式，，它们有什么共同特点？
建模：这些关系式都是用不等号连接的式子。由此可知：
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）。
设计意图：学生自己总结出不等式的概念，培养学生总结归纳的能力。
活动三、1、下面的式子中，不等式的个数有（）
（1）4＞0（2）2x+3y＜0（3）x=3（4）xy（5）a+b+d（6）x+3≤7
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个
设计意图：引导学生把握不等式的基本特征，同时观察出不等式中不等号的多种形式，为后面正确列不等式做好铺垫。
2、用适当的符号表示下列关系：
a是非负数；
直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长；
x与17的和比它的5倍小;
两数的平方和不小于这两数积的2倍。
设计意图：让学生根据文字表述的数量关系正确列出不等式，鼓励学生独立思考后合作交流。
3、用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
维生素及价格\原料 甲种原料 乙种原料
维生素C/(单位/千克） 600 100
原料价格/(元/千克) 8 4
（1）现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（千克）应满足的不等式。
（2）如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出x（千克）应满足的另一个不等式吗？
设计意图：教师引导学生发现同类量之间的关系，学生通过讨论交流，分析从表中可得到哪些信息，明确各个量之间的关系，找出不等关系，提高学生分析问题的能力。
以上3题从易到难，层层深入，对本节知识进行巩固练习，及时反馈。
（四）综合建模：
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
2．通过本节课的学习，你有哪些疑问？
归纳总结学生的回答，可以得出：
①现实世界中存在着很多的不等关系.
②本堂课建立的模型主要是——不等关系.
③表示不等关系的词语：>:大于、比…大、超过;<:小于、比…小、低于;≥：不大于、不超过、之多;≤：不小于、不低于、至少。
④解决实际问题的常规步骤：
实际问题：不等关系数学问题:不等式
数学问题:不等式实际问题:不等关系
设计意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，理清本节思路。
（五）当堂检测：
1.一般地，用符号 连接的式子叫做不等式.
2．下列式子中，不等式有（ ）（只填序号）
①1>0; ②x=1; ③2m-n<0 ④y+3 ⑤x-2y≤0
3．用适当的符号表示下列关系
（1）a的3倍与1的和是正数 （2）x与6的差大于-1
（3）m与2的差是非负数 （4）x的倒数与1的和不大于x
4、请设计不同的实际背景来表示下列不等式：
5、(选做)燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s，人离开的速度为4m/s，导火线的长度x（m）应满足怎样的关系式？