课题 3.2直接证明与间接证明 授课日期 年 月 日
第 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度、价值观 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点 了解分析法和综合法的思考过程、特点。
教学难点 分析法和综合法的思考过程、特点。
授课类型 新授课
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计（经集体讨论形成） 个案设计
教师活动 学生活动 （根据个人教学风格和学生特点形成）
学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。（2）、例题分析：例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2． 证明：(用分析法思路书写) 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立， 即需证(a-b)2＞0成立。而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写)∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证例2、若实数，求证：证明：采用差值比较法：例3已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1) 差值比较法：2）商值比较法：注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。间接证明：反证法学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。(2)、例题讲解：例1、求证：不是有理数例2、已知，求证：（且）例3、设，求证证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。例4、设二次函数求证：中至少有一个不小于.注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 学生探究：证明的方法。师生共同完成差值比较法。学生独立完成差值比较法。类比完成商值比较法。总结证明不等式的重要方法与步骤。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
课堂小结 综合法与分析法：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
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教研组长评价 共案： 个案： 等级： 签字： 时间：课题 2.3数学归纳法 授课日期 年 月 日
第 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能 了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
过程与方法 掌握数学归纳法证明问题的方法。
情感、态度、价值观 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学重点 掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
教学难点 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
授课类型
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计（经集体讨论形成） 个案设计
教师活动 学生活动 （根据个人教学风格和学生特点形成）
【创设情境】1．华罗庚的“摸球实验”。 2．“多米诺骨牌实验”。问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。【探索研究】1．数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）2．数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。【例题评析】例1：以知数列{an}的公差为d，求证：说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。 ②数学归纳法证明的基本形式；（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。练习：1.判断下列推证是否正确。练习册课前热身2. 用数学归纳法证明 例2：用数学归纳法证明(n∈N,n≥2)说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。练习:1.用数学归纳法证明(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同 变题: 用数学归纳法证明 (n∈N+)例3：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2)说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系课时小结：1．数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。2. 注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系. 师生共同探究数学归纳法的本质，学生完成对数学归纳法的认识和理解。教师演示，学生熟悉数学归纳法的步骤。学生独立完成变题。由学生完成课时小结：
课堂小结 学生完成
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教研组长评价 共案： 个案： 等级： 签字： 时间：课题 2.1合情推理与演绎推理 授课日期 年 月 日
第 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能 掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
过程与方法 通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
情感、态度、价值观 感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
教学重点 归纳推理及方法的总结。
教学难点 归纳推理的含义及其具体应用。
授课类型 新授课
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计（经集体讨论形成） 个案设计
教师活动 学生活动 （根据个人教学风格和学生特点形成）
合情推理一.问题情境(1)原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。（2）数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。●归纳推理的一般步骤：二．例题研究：例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。例3 探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”5.提高巩固类比推理一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质： (1)a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;猜想不等式的性质：(1) a＞ba+c＞b+c;(2) a＞b ac＞bc;(3) a＞ba2＞b2;问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质.1.圆心与弦的中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；2.与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦长3.圆的切线垂直于过切点的半径；.4.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。5.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。球的性质1.球心与截面圆的圆点的连线垂直于截面圆与球心距离相等的两截面圆相等；2与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大；3.球的切面垂直于过切点的半径；4.经过球心且垂直于切面的直线必经过切点5.经过切点且垂直于切面的直线必经过球心☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶ 检验猜想。即例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:三．巩固提高试通过类比,写出在空间中的类似结论.1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为 3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________ 3．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．演绎推理复习:合情推理归纳推理 从特殊到一般类比推理 从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想问题情境。 观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属, 所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数， 所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数, tan 是三角函数所以，tan 是 周期函数。提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？建构数学 演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式M—P（M是P） （大前提）S—M（S是M） （小前提）S—P（S是P） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.四，数学运用恢复成三段论。例2.指对比较大小例3完全归纳推理 思考：整个过程对你有什么启发？在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。归纳推理的一般步骤：1.2.①探索：先让学生独立进行思考。②活动：“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。③活动：“圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.学生判断结论的正确性。说明错误的原因。学生分组分析圆的性质，进而类比得出球的性质。试着归纳出类比的一般步骤1.所有的金属都能导电 ←———大前提铜是金属, ←-----小前提所以，铜能够导电 ←――结论2.一切奇数都不能被2整除 ←—大前提(2100+1)是奇数，←――小前提 所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论3.三角函数都是周期函数, ←——大前提tan 是三角函数, ←――小前提所以，tan 是 周期函数。←――结论
课堂小结 合情推理：(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）证明。类比推理：1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性。②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
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教学反思
教研组长评价 共案： 个案： 等级： 签字： 时间：
观察、比较
联想、类比
观察、比较
猜想新结论
