北大网校经典试题复合函数的导数

复合函数的导数
班级：___________　　　姓名：___________
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．函数y=的导数是
A．
B．
C．－
D．－
2．已知y=sin2x+sinx，那么y′是
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值，又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．非奇非偶函数
3．函数y=sin3（3x+）的导数为
A．3sin2（3x+）cos（3x+）
B．9sin2（3x+）cos（3x+）
C．9sin2（3x+）
D．－9sin2（3x+）cos（3x+）
4．函数y=cos（sinx）的导数为
A．－［sin（sinx）］cosx B．－sin（sinx）
C．［sin（sinx）］cosx D．sin（cosx）
5．函数y=cos2x+sin的导数为
A．－2sin2x+ B．2sin2x+
C．－2sin2x+ D．2sin2x－
6．过曲线y=上点P（1，）且与过P点的切线夹角最大的直线的方程为
A．2y－8x+7=0 B．2y+8x+7=0
C．2y+8x－9=0 D．2y－8x+9=0
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7．函数y=（1+sin3x）3是由___________两个函数复合而成．
8．曲线y=sin3x在点P（，0）处切线的斜率为___________．
9．函数y=xsin（2x－）cos（2x+）的导数是______________．
10．函数y=的导数为______________．
11．函数y=cos3的导数是___________．
三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
12．已知函数y=（x）是可导的周期函数，试求证其导函数y=f′（x）也为周期函数．
13．若可导函数f（x）是奇函数，求证：其导函数f′（x）是偶函数．
14．用求导方法证明：+…+n=n·2n－1．
参考答案
一、1．C　2．B　3．B　4．A　5．A　6．A
二、7．y=u3，u=1+sin3x　8．－3
9．y′=sin4x+2xcos4x
10．
11．
三、12．证明：设T是y=f（x）的一个周期，则f（x+T）=f（x）
∴［f（x+T）］′=f′（x）
∴f′（x+T）·（x+T）′=f′（x）
∴f′（x+T）=f′（x）
∴T也是y=f′（x）的周期
∴y=f′（x）是周期函数．
13．证明：∵f（x）是奇函数
∴f（－x）=－f（x）
分别对左、右两边求导，得
［f（－x）］′=［－f（x）］′
∴－f′（－x）=－f′（x）
∴f′（－x）=f′（x）
∴f′（x）是偶函数．
14．证明：（1+x）n=1++…+，
两边对x求导，得
n（1+x）n－1= +…+n－1
令x=1，得
n·2n－1=
即=n·2n－1