北大网校经典试题复数的乘法与除法（二）

复数的乘法与除法（二）
班级：___________　　　姓名：___________
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．设复数z1=2+i，z2=1－3i，则复数z=z1z2在复平面内所表示的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知z=，则复数z6+1在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若复数z满足z·+iz－i≤0，则复数z+1+i的模的最大值是
A．3 B．－1
C．+1 D．6+2
4．设z1，z2∈C，且z1+z2=，z1·z2=1，则z116－z216的值为
A．2 B．0
C．－2 D．－2或2
5．设a=2+i，m=1－…－，则m等于
A．－32 B．32
C．－32i D．32i
6．已知|z|=1，z2≠－1，则复数是
A．实数 B．纯虚数
C．虚数，但不一定是纯虚数 D．可能是实数，也可能是虚数
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7．设z=－1+()2003，则|z|=___________．
8．与自身的平方共轭的复数是___________．
9．若x，y∈R，且满足=1+i，则x=______，y=______．
10．3+4i的平方根是___________．
11．设z1，z2是一对共轭复数，|z1－z2|=2，且是实数，则|z1|=___________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题9分，共27分）
12．已知z1，z2满足条件|z1|=2，|z2|=3，3z1+2z2=6，求z1和z2．
13．设复数ω=－，复数ω－z，ω+z在复平面上对应的点分别为A、B，如果△OAB是以O(O为原点)为直角顶点的等腰直角三角形，求复数z及△AOB的面积．
14．设z是虚数，ω=z+是实数，且－1<ω<2，(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u=，求证：u是纯虚数；(3)求ω－u2的最小值．
参考答案
一、1．D　2．A　3．C　4．B　5．D　6．D
二、7．　8．0，1，－±　9．1　11
10．±(2+i)　11．2
三、12．解：∵|z1|=2，|z2|=3，3z1+2z2=6
∴z11=4，z22=9，(3z1+2z2)(31+22)=36
又9z11+6(z12+z21）+4z22=36
∴9×4+54×+24×+4×9=36
∴9z12+6z1z2+4z22=0
由
解得
13．解：∵△OAB是等腰直角三角形
由①得|ω－z|2=|ω+z|2
(ω－z)()=(ω+z)()
∴(ω－z)(－)=(ω+z)( +)
∴ω－ω－z +z·=ω+ω+z +z·
∴2ω+2z=0
∴ω+z =0 ③
由②得(ω－z)(－)+(ω+z)( +)=4z·
ω－ω－z +z·+ω+ω+z +z·=4z·
∴ω=z· ④
由④得|z|=|ω|=1 ⑤
设z=x+yi，代入③⑤得
或
∴z=i或z=－i，
S△OAB=|ω－z|·|ω+z|=1
14．解：(1）∵ω∈R
∴z+=
∴z+=+
∴z－+－=0
∴(z－)(1－)=0
∴z=或z·=1
∵z是虚数
∴z·=1，|z|=1
设z=x+yi，则y≠0
ω=z+=z+=z+ =2x
∴－1<2x<2
∴－(2)u=
=是纯虚数
(3）ω－u2=z+
=(x+yi)+(x－yi)－(
=2x+［
=2x+
∵x∈(－，1)
∴x+1>0
∴ω－u2≥2×2－3=1
当x+1=时，即x=0时，上式取等号．
∴ω－u2的最小值是1．