北大网校经典试题复数的概念

复数的概念
班级：___________　　　姓名：___________
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．设集合I=C={复数}， R={实数}，M={纯虚数}，那么
A．R∪M=C B．R∩M={0}
C．R∪=C D．C∩=M
2．a=0是复数a+bi(a，b∈R)为纯虚数的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．若(m2－m)+(m2－3m+2)i是纯虚数，则实数m的值为
A．1 B．1或2
C．0 D．－1，1，2
4．若实数x，y满足(1+i)x+(1－i)y=2，则xy的值是
A．1 B．2
C．－2 D．－3
5．下列命题中是真命题的个数是
①若z是纯虚数，则z≠　②任何两个复数，都不能比较大小　③复数z=a2－b2+2abi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是a=±b　④复数a+bi=c+di的充要条件是a=c且b=d
A．0 B．1
C．2 D．3
6．下列命题中，正确命题的个数是
①z－是纯虚数　②z1+z2∈Rz2=1　③(3+i)－(1+i)=23+i>1+i
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7．1+i+i2+…+i9的值等于___________．
8．若关于x的方程x2+(1+2i)x－(3m－1)i=0有实根，则纯虚数m=___________．
9．已知i3m=in(m、n∈Z)，则im+n=___________．
10．如果虚数z满足z3=8，那么z3+z2+2z+2的值是___________．
11．复数z=sinθ(2sinθ－1)+(3tan2θ－1)i是纯虚数，则θ=___________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题9分，共27分）
12．实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是：
(1）实数；(2）虚数；(3）纯虚数；(4）对应点在第三象限；(5）对应点在直线x+y+5=0上；(6)共轭复数的虚部为12．
13．已知方程x2－(tanθ+i)x－(i+2)=0
(1)若方程有实根，求θ及其两根；
(2)证明无论θ为何值，此方程不可能有纯虚根．
14．设n是4的倍数，试求和：S=1+2i+3i2+4i3+…+(n+1)in．
参考答案
一、1．C　2．B　3．C　4．A　5．C　6．A
二、7．1+i　8． i　9．1　10．6
11．kπ，k∈Z
分析：∵z是纯虚数
∴
∴
∴θ=kπ(k∈Z)
三、12．解：z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i=(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i
∵m∈R，∴z的实部为m2+5m+6，虚部为m2－2m－15．
(1)若z是实数，则
m=5或m=－3
(2)若z是虚数，则
m2－2m－15≠0m≠5且m≠－3．
(3)若z是纯虚数，则
m=－2
(4)若z的对应点在第三象限，则
－3(5)若z对应的点在直线x+y+5=0上，则(m2+5m+6）+(m2－2m－15)+5=0m=－4或m=1．
(6)若z的共轭复数的虚部为12，则－(m2－2m－15)=12m=－1或m=3．
13．解：(1）设α∈R为方程的根，则有
∴α=－1，tanθ=1
∴θ=kπ+，k∈Z．
设另一根为β，则(－1)·β=－(2+i)
∴β=2+i
∴θ=kπ+，k∈Z；两根分别为－1，2+i
(2)设bi为方程的纯虚根．(b∈R，b≠0)
则(bi)2－(tanθ+i)(bi)－(i+2)=0
∴
∵－b2+b－2=0，∴b2－b+2=0
∵此方程无实根，∴原方程无论θ为何值时，方程不可能有纯虚根．
14．解：∵S=1+2i+3i2+…+(n+1)in ①
∴iS=i+2i2+…+nin+(n+1)in+1 ②
①－②得(1－i)S=1+i+i2+…+in－(n+1)in+1=－(n+1)in+1
∵n是4的倍数
∴in+1=in·i=i
∴(1－i)S=－(n+1)i=1－(n+1)i
∴S=