导数专题练习卷（答案）

导数专题练习卷
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．一质点的运动方程是s＝5－3t2
，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为(　　)
A．6＋3Δt　　　　　　　　 B．6－3Δt
C．－6＋3Δt D．－6－3Δt
2．下列各式正确的是(　　)
A．(sinα)′＝cosα(α为常数) B．(cosx)′＝sinx
C．(sinx)′＝cosx D．(x－5)′＝－x－6
3．设f(x)＝xlnx＋x，若f′(x0)＝3，则x0＝(　　)
A．e2 B．e
C. D．ln2
4．下列四个函数，在x＝0处取得极值的函数是(　　)
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
5．已知函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．f′(1) B．不存在
C.f′(1) D．以上都不对
6．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
7．若甲的运动方程为s1(t)＝et－1，乙的运动方程为s2(t)＝et，则当甲、乙的瞬时速度相等时，t的值等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]，(0,1) D．[－1,0)，(0,1]
9．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)
A．3 B．－3
C．5 D．－5
10．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是(　　)
A．b<－1或b>2 B．b≤－2或b≥2
C．－111．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系是(　　)
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)C．f(－1)>f(1) D．无法确定
12．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为(　　)
A．1∶2 B．1∶π
C．2∶1 D．2∶π
二、填空题(本大题共4小题，每题5分)把答案填在题中的横线上)
13．函数y＝在x＝1处的导数为________．
14．函数f(x)＝x3－x的单调增区间为________．
15．电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．
16．函数y＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值是________，最小值是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
设函数，已知
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
18. （本小题满分12分）
已知函数（为自然对数的底数），（为常数），是实数集上的奇函数.
（1）求证：；
（2）讨论关于的方程：的根的个数；
（提示：）
19. （本小题满分12分）
设函数，（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．。
20. （本小题满分12分）已知函数处取得极值2。
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）当m满足什么条件时，在区间为增函数；
（Ⅲ）若图象上任意一点，直线的图象切于P点，求直线L的斜率的取值范围。
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若处取得极值？若能，求出实数的值，否则说明理由；
（2）若函数内各有一个极值点，试求的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知二次函数同时满足：⑴不等式的解集有且只有一个元素；⑵在定义域内存在，使得不等式成立.设数列的前
（1）求数列的通项公式；
（2）设
（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.另（为正整数），求数列的变号数.
答案：
1.解析：选D.直接计算.
2.解析：选C.由导数的运算法则易得，注意A选项中的α为常数，所以(sinα)′＝0.
3解析：选B.∵f(x)＝xlnx＋x，∴f′(x)＝lnx＋2.
又∵f′(x0)＝3，∴x0＝e.
4.解析：选B.函数y＝x2＋1在x＝0处的导数为0，并且导数在x＝0两侧的符号相反；函数y＝|x|在x＝0处显然取到极小值．
5.解析：选A.
＝ ＝f′(1)．
6.解析：选C.在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．
7.解析：选A.需先求甲、乙的瞬时速度，即先求s1(t)、s2(t)的导数，s1′(t)＝et，s2′(t)＝e，即et＝e，∴t＝1.
8.解析：选A.f′(x)＝2x－＝，
由f′(x)≤0结合x>0得09.解析：选A.点(1,3)在直线y＝kx＋1上，
∴k＝2.
∴2＝f′(1)＝3×12＋a a＝－1，
∴f(x)＝x3－x＋b.
∵点(1,3)在曲线上，
∴b＝3.
10.解析：选D.y′＝x2＋2bx＋(b＋2)．由于函数在R上单调递增，∴x2＋2bx＋(b＋2)≥0在R上恒成立，
即Δ＝(2b)2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.
11.解析：选C.f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)．
∴f′(1)＝－2.
∴f(x)＝x2－4x.
∴f(1)＝－3，f(－1)＝5.
故f(－1)>f(1)．
13.解析：选C.设圆柱高为x，底面半径为r，
则r＝，圆柱体积V＝π2·x
＝(x3－12x2＋36x)(0V′＝(x－2)(x－6)，当x＝2时，V最大．
14.解析：f′(x)＝3x2－1>0，
∴x>或x<－.
答案：(－∞，－)，(，＋∞)
15.解析：由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1(舍去)或x＝40.
当040时，y′>0，
所以当x＝40时，y有最小值．
答案：40
16.解析：y′＝－36＋6x＋12x2，令y′＝0，得x1＝－2，x2＝.当x＞时，函数为增函数，所以无最大值；当－2≤x≤时，函数为减函数，f()＝－28，故最小值为－28.
答案：不存在　－28
17.解：(Ⅰ)因为
又
因此
解方程组得
(Ⅱ)因为
所以
令
因为
所以 在（-2，0）和（1，+）上是单调递增的；
在（-，-2）和（0，1）上是单调递减的.
18.解：（1）证：令,令时
时,. ∴
∴ 即.
（2）∵是R上的奇函数 ∴ ∴
∴ ∴ 故.
故讨论方程在的根的个数.
即在的根的个数.
令.注意,方程根的个数即交点个数.
对, ,
令, 得，
当时,; 当时,. ∴，
当时,； 当时,， 但此时
，此时以轴为渐近线。
①当即时,方程无根;
②当即时,方程只有一个根.
③当即时,方程有两个根.
19.解析：（1），依题意有，故．
从而．
的定义域为，当时，；
当时，；当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（2）的定义域为，．
方程的判别式．
①若，即，在的定义域内，故极值．
②若，则或．若，，．
当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．
③若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为
．
答案： （1）；（2）见详解。
点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用
解：（Ⅰ）
由已知
（Ⅱ）
又在
）
（Ⅲ）直线I在P点的切线斜率
令
当
）
20.（I）证明： 是方程的两个根 1分
由且得 2分
得
3分
（Ⅱ）解：由第（1）问知 由 ，两式相除得
即 4分
①当时，由 即
， 5分
令函数，则
在上是增函数
当时， ，即 7分
②当时， 即
令函数则同理可证在上是增函数
当时，
综①②所述，的取值范围是
（Ⅲ）解：的两个根是 ，可设
10分
又
g(x)
当且仅当 ，即 时取等号
当时，
在上是减函数
21.解（1）由题意，
若
即
函数为单调递增函数,
这与该函数能在处取得极值矛盾，所以该函数不能在取到极值.
（2）因为函数在区间（-1，2），（2，3）内各有一个极值点.
所以（-1，2），（2，3）内各有一个实根.
画出不等式表示的区域如图所示，
将，
当变化时，它表示斜率为轴上
的截距为的一组平行线.
当直线向上移动时，截距增大，减小，
于是当目标函数过点N（-5，6），
对应的最小；
当目标函数过点M（-2，-3），
对应的最大.
所以的取值范围是
22. 解（1）
∴.
∵在定义域内，使得不等式成立
∴.
当时，函数
故不存在.
当时，函数，,
故存在.
综上，得
；
当
∴
（2）∵ ①
∴ ②
①－②得：
=
∴
（3）由题设
∵时，
∴时，数列递增
∵，由，可知
即时，有且只有1个变号数
又∵，即，
∴此处变号数有2个
综上得，数列共有3个变号数，即变号数为3 .
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