2012高考冲刺三角函数篇
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文档简介
第四部分——三角函数
知识点总结精华
1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：
②终边在x轴上的角的集合：
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在轴上的角的集合：
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧长公式：. 扇形面积公式：
4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数 定义域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函数的基本关系式：
9、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
公式组四 公式组五 公式组六
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
公式组三 公式组四 公式组五
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
（A、＞0）
定义域 R R R
值域 R R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当非奇非偶当奇函数
单调性 上为增函数；上为减函数（） ；上为增函数上为减函数（） 上为增函数（） 上为减函数（） 上为增函数；上为减函数（）
注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.
②与的周期是.
③或（）的周期.
的周期为2（，如图，翻折无效）.
④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.
⑤当·；·.
⑥与是同一函数,而是偶函数，则
.
⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）
⑨不是周期函数；为周期函数（）；
是周期函数（如图）；为周期函数（）；
的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
.
⑩
其中tan =b/a 且 所在的象限与（ ，b）相同
,,,.
11、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
12．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）在斜三角形中，角所对的边分别为，若，则
▲ ．（3）
8．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）在中，，且的面积，则的值= .（4 ）
10．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）已知，，则的值= .（）
12. （常州市2011届高三数学调研）设函数，其中是非零常数.（1）若是增函数，则的取值范围是____________；
10．（姜堰二中学情调查（三））若A是锐角三角形的最小内角，则函数的值域为 ．
14. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）已知是锐角的外接圆的圆心，且，若,则 。；（用表示）
9．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）函数，又 HYPERLINK "http://www." ，，且 HYPERLINK "http://www." 的最小值等于，则正数 HYPERLINK "http://www." 的值为 ▲ ．1
14．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ．2
7、（南通市六所省重点高中联考试卷）设，则函数(的最小值是 ▲
12、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知函数，R，则，，的大小关系为 ▲
4、（宿迁市高三12月联考）若将函数的图像向右平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的最小值为___ ___；
（无锡市1月期末调研）已知，则= ▲ ．
7．（徐州市12月高三调研）已知函数 HYPERLINK "http://www." ，则的值为 ▲ .
8．（盐城市第一次调研）观察下列几个三角恒等式:
①；
②；
③.
一般地,若都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ .
15．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分14分）
是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，
四边形的面积为
⑴求的最大值及此时的值；
⑵设点在⑴的条件下求．
15．解: ⑴由已知 ……………………………………3
，
又
故的最大值是，此时, ……………………………………8
⑵ ……………………………………10
=．……………………………………14
15．（姜堰二中学情调查（三））（本小题满分14分）
在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，，=3, △ABC的面积为6
⑴求角A的正弦值；
⑵求边b、c；
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，，=3, △ABC的面积为6 ⑴求角A的正弦值； ⑵求边b、c；
解：（1） ……… 7分
（2），20
由及20与=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 ……… 7分
16. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)
已知，，。
（1）若，记，求的值；
（2）若，，且∥，求证：。
16. ⑴∵，∴. ……………………………………（3分）
∴ ……………………………………（5分）
. …………………………………………………………………………（7分）
⑵∵，∥，∴.
………………………………………………（9分）
又∵，，∴………………………（12分）
. ……………………………………………………（14分）
16、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）在中，角的对边分别为，且满足。
（1）求角的大小；
（2）设，试求的最小值。
16、解：（1），
由正弦定理得：……………2分
,
化为
,……………4分
,得，……………7分
(2) ……………8分
…………12分
.从而……………13分
取得最小值，
所以，的最小值为。 ……………14分
15．（盐城市第一次调研）(本小题满分14分)
如图,为坐标原点,点均在⊙O上,点,
点在第二象限,点.
（Ⅰ）设,求的值；
（Ⅱ）若为等边三角形,求点的坐标.
15．解：（Ⅰ）因为,所以……………6分
（Ⅱ）因为为等边三角形,所以,所以
……………………………………………………………………10分
同理, ,故点的坐标为…………………14分
9. （苏北四市2011届高三第二次调研）在△中，角的对边分别是，
若，，，则△的面积是 ▲ ．
15. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分14分）
已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最大值及相应的值．
15.（1）
…………………………………………………2分
…………………………………………………………………………………………6分
（1）
…………………10分
，………………………………………………12分
当时，，
此时，即，……………………………………………14分
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
11．（江苏省南通市2010年高三二模）已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是 ▲ ．
12．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）如图，两座相距60的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 。
解析：由图知直角三角形ABD中AB=20m,BD=60m,则AD= m,同理易得AC= m,在中得A=.
6．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）函数的最大值与最小值的积是 。
解析：
，所以：最大与最小值的积为。
11．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）若，，则的大小关系是 。
解析：我们知道当时，且为减函数，从而：
（当时，），所以。
2．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）若函数的最小正周期为，则正实数______▲_______．
解析：由函数的最小正周期为知，则正实数2.
4．（江苏省泰州市2010届高三联考试题），，其中，则______▲_______．
解析：由 ，，其中，知
则,又因为得
.
4. (江苏通州市2010年3月高三素质检测)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .
1．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）函数的最小正周期为 ▲ ．
12、（江苏省连云港市2010届高三二模试题） 在中，，，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是 ▲ ．
13、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 ＜0的解集为 ▲ ．（－，－1）∪（1，）
3．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）在上是减函数，则_____________．
12．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）
（其中），则_____________．
9. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.若在上为增函数，则的最大值为 ▲ . 2
14、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已知定义域为D的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②=；③=；④=，其中是“倍约束函数的是 。①③④
二、解答题
16．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分14分）
已知向量，其中．
（1）若，求函数的最小值及相应x的值；
（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求的值．
15. (江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分14分）
在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知 ( http: / / www. )，且 求b
15．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若△ABC的面积，求a的值．
15．解：（1） ∵==，
∴． …………………………………2分
∵，， ∴．
∵，
∴==． ……………………………5分
（2）∵，∴为锐角，
∴．
∵，
， ………………………8分
∴=
=． ………………………10分
（3）∵， ∴，．
∴． ……………12分
又∵S=，
∴， ∴． ……………………14分
17．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分14分）
设函数的定义域为，
值域为。
（1）求，的值；
（2）若，求的值。
15．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（14分）（1）设，若对任意的，都有关于的等式
恒成立，试求的值；
（2）在中，三边所对的角依次为，且，
，且，求的值。
15、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（14分）中，角的对边分别为，且．
（1）判断的形状；
（2）设向量，，且，，求．
15、解：（1）由题，故，
由正弦定理，即．
又，故，
因，故．
即，故为直角三角形． ．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）由于，所以 ①
且，即 ②
联立①②解得，故在直角中，．．．．．．．14分
20．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
已知函数 ，
（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。
（Ⅱ）若为奇函数，
（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围。
16．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分14分）
在平行四边形中，设，，已知，
，其中；
（1）求的值；（2）求的值。
所以，即， （9分）
由（1）得，又，
所以，
，
， （12分）
。 （14分）
15. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
15.（1）因为，所以，
即，所以，
所以．………………………………………………6分
（2）因为 ，所以，所以，，
又点在角的终边上，所以， ．
同理 ，，
所以．…14分
16．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分14分）
在中，角所对的对边长分别为；
（1）设向量，向量，
向量，若，求的值；
（2）已知，且，求．
解：（1），
由，得， （4分）
即
所以； （7分）
（2）由已知可得，，
则由正弦定理及余弦定理有：， （10分）
化简并整理得：，又由已知，所以，
解得，所以 ． （14分）
15．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷（本题满分14分）已知角、、是的内角，分别是其对边长，向量，，.
（1）求角的大小；
（2）若求的长.
三角函数解题技巧
高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
例题分析
例1．已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函数的值域。
解：设，则原函数可化为
，因为，所以
当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
例3．已知函数。
（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；
（2）证明：函数的图像关于直线对称。
解：
(1)所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，
因为，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。
例4． 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1
化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
例5．已知函数
（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
解：
（Ⅰ）由=0即
即对称中心的横坐标为
（Ⅱ）由已知b2=ac
即的值域为.
综上所述， ， 值域为 .
说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
例6．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
(1)求的值；
(2)若，且a=c，求的面积。
解：(1)由正弦定理及，有，
即，所以，
又因为，，所以，因为，所以，又，所以。
(2)在中，由余弦定理可得，又，
所以有，所以的面积为
。
例7．已知向量
，且，
(1)求函数的表达式；
(2)若，求的最大值与最小值。
解：(1)，，，又，
所以，
所以，即；
(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：
t －1 (－1，1) 1 (1，3)
导数 0 － 0 +
极大值 递减 极小值 递增
而所以。
例8．已知向量，
求的值；
(2)若的值。
解：(1)因为
所以
又因为，所以，
即；
(2) ，
又因为，所以 ，
，所以，所以
例9．平面直角坐标系有点
求向量和的夹角的余弦用表示的函数；
求的最值.
解：（1），
即
（2） ， 又 ，
， ， .
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。
三角函数过关测试
1、已知___________．
2、若是方程的解，其中，，则 ．
3、已知，则=___________．
4、函数的最小正周期为________．
5、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当
时，，则的值为________．
6、在锐角△ABC中，已知，则的取值范围是 ．
7、已知的周长为，且，的面积为，
则角= ．
8、已知，，则_______．
9、下面有5个命题：
①函数的最小正周期是．
②终边在轴上的角的集合是．
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．
④把函数的图象向右平移得到的图象．
⑤函数在上是减函数．
其中，真命题的编号是______ _____（写出所有真命题的编号）．
10、如图，在中，是边上一点，则
.
11、已知，（1）求的值；（2）求的值。
12、已知.
13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是，．
（1）求的值； （2）求的值．
参考答案
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、
8、 9、①④ 10、
11、（1）解：
由，有， 解得
（2）解法一：
解法二：由（1），，得
∴ ∴
于是，
代入得
12、由题设条件，应用两角差的正弦公式得
即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故 ②
由①式和②式得 .因此，，由两角和的正切公式
13、1）由已知条件即三角函数的定义可知，
因故，从而
同理可得 ，因此.
所以=;
（2）,
从而由 得 .
b
a
b
a
y
)
sin(
sin
cos
2
2
O
x
y
C
A
B
第15题
A
B
C
D
B
A
C
D
第10题
B
A
x
y
O
知识点总结精华
1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：
②终边在x轴上的角的集合：
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在轴上的角的集合：
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧长公式：. 扇形面积公式：
4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数 定义域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函数的基本关系式：
9、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
公式组四 公式组五 公式组六
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
公式组三 公式组四 公式组五
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
（A、＞0）
定义域 R R R
值域 R R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当非奇非偶当奇函数
单调性 上为增函数；上为减函数（） ；上为增函数上为减函数（） 上为增函数（） 上为减函数（） 上为增函数；上为减函数（）
注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.
②与的周期是.
③或（）的周期.
的周期为2（，如图，翻折无效）.
④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.
⑤当·；·.
⑥与是同一函数,而是偶函数，则
.
⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）
⑨不是周期函数；为周期函数（）；
是周期函数（如图）；为周期函数（）；
的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
.
⑩
其中tan =b/a 且 所在的象限与（ ，b）相同
,,,.
11、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
12．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）在斜三角形中，角所对的边分别为，若，则
▲ ．（3）
8．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）在中，，且的面积，则的值= .（4 ）
10．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）已知，，则的值= .（）
12. （常州市2011届高三数学调研）设函数，其中是非零常数.（1）若是增函数，则的取值范围是____________；
10．（姜堰二中学情调查（三））若A是锐角三角形的最小内角，则函数的值域为 ．
14. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）已知是锐角的外接圆的圆心，且，若,则 。；（用表示）
9．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）函数，又 HYPERLINK "http://www." ，，且 HYPERLINK "http://www." 的最小值等于，则正数 HYPERLINK "http://www." 的值为 ▲ ．1
14．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ．2
7、（南通市六所省重点高中联考试卷）设，则函数(的最小值是 ▲
12、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知函数，R，则，，的大小关系为 ▲
4、（宿迁市高三12月联考）若将函数的图像向右平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的最小值为___ ___；
（无锡市1月期末调研）已知，则= ▲ ．
7．（徐州市12月高三调研）已知函数 HYPERLINK "http://www." ，则的值为 ▲ .
8．（盐城市第一次调研）观察下列几个三角恒等式:
①；
②；
③.
一般地,若都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ .
15．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分14分）
是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，
四边形的面积为
⑴求的最大值及此时的值；
⑵设点在⑴的条件下求．
15．解: ⑴由已知 ……………………………………3
，
又
故的最大值是，此时, ……………………………………8
⑵ ……………………………………10
=．……………………………………14
15．（姜堰二中学情调查（三））（本小题满分14分）
在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，，=3, △ABC的面积为6
⑴求角A的正弦值；
⑵求边b、c；
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，，=3, △ABC的面积为6 ⑴求角A的正弦值； ⑵求边b、c；
解：（1） ……… 7分
（2），20
由及20与=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 ……… 7分
16. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)
已知，，。
（1）若，记，求的值；
（2）若，，且∥，求证：。
16. ⑴∵，∴. ……………………………………（3分）
∴ ……………………………………（5分）
. …………………………………………………………………………（7分）
⑵∵，∥，∴.
………………………………………………（9分）
又∵，，∴………………………（12分）
. ……………………………………………………（14分）
16、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）在中，角的对边分别为，且满足。
（1）求角的大小；
（2）设，试求的最小值。
16、解：（1），
由正弦定理得：……………2分
,
化为
,……………4分
,得，……………7分
(2) ……………8分
…………12分
.从而……………13分
取得最小值，
所以，的最小值为。 ……………14分
15．（盐城市第一次调研）(本小题满分14分)
如图,为坐标原点,点均在⊙O上,点,
点在第二象限,点.
（Ⅰ）设,求的值；
（Ⅱ）若为等边三角形,求点的坐标.
15．解：（Ⅰ）因为,所以……………6分
（Ⅱ）因为为等边三角形,所以,所以
……………………………………………………………………10分
同理, ,故点的坐标为…………………14分
9. （苏北四市2011届高三第二次调研）在△中，角的对边分别是，
若，，，则△的面积是 ▲ ．
15. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分14分）
已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最大值及相应的值．
15.（1）
…………………………………………………2分
…………………………………………………………………………………………6分
（1）
…………………10分
，………………………………………………12分
当时，，
此时，即，……………………………………………14分
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
11．（江苏省南通市2010年高三二模）已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是 ▲ ．
12．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）如图，两座相距60的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 。
解析：由图知直角三角形ABD中AB=20m,BD=60m,则AD= m,同理易得AC= m,在中得A=.
6．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）函数的最大值与最小值的积是 。
解析：
，所以：最大与最小值的积为。
11．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）若，，则的大小关系是 。
解析：我们知道当时，且为减函数，从而：
（当时，），所以。
2．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）若函数的最小正周期为，则正实数______▲_______．
解析：由函数的最小正周期为知，则正实数2.
4．（江苏省泰州市2010届高三联考试题），，其中，则______▲_______．
解析：由 ，，其中，知
则,又因为得
.
4. (江苏通州市2010年3月高三素质检测)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .
1．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）函数的最小正周期为 ▲ ．
12、（江苏省连云港市2010届高三二模试题） 在中，，，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是 ▲ ．
13、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 ＜0的解集为 ▲ ．（－，－1）∪（1，）
3．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）在上是减函数，则_____________．
12．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）
（其中），则_____________．
9. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.若在上为增函数，则的最大值为 ▲ . 2
14、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已知定义域为D的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②=；③=；④=，其中是“倍约束函数的是 。①③④
二、解答题
16．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分14分）
已知向量，其中．
（1）若，求函数的最小值及相应x的值；
（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求的值．
15. (江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分14分）
在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知 ( http: / / www. )，且 求b
15．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若△ABC的面积，求a的值．
15．解：（1） ∵==，
∴． …………………………………2分
∵，， ∴．
∵，
∴==． ……………………………5分
（2）∵，∴为锐角，
∴．
∵，
， ………………………8分
∴=
=． ………………………10分
（3）∵， ∴，．
∴． ……………12分
又∵S=，
∴， ∴． ……………………14分
17．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分14分）
设函数的定义域为，
值域为。
（1）求，的值；
（2）若，求的值。
15．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（14分）（1）设，若对任意的，都有关于的等式
恒成立，试求的值；
（2）在中，三边所对的角依次为，且，
，且，求的值。
15、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（14分）中，角的对边分别为，且．
（1）判断的形状；
（2）设向量，，且，，求．
15、解：（1）由题，故，
由正弦定理，即．
又，故，
因，故．
即，故为直角三角形． ．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）由于，所以 ①
且，即 ②
联立①②解得，故在直角中，．．．．．．．14分
20．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
已知函数 ，
（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。
（Ⅱ）若为奇函数，
（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围。
16．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分14分）
在平行四边形中，设，，已知，
，其中；
（1）求的值；（2）求的值。
所以，即， （9分）
由（1）得，又，
所以，
，
， （12分）
。 （14分）
15. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
15.（1）因为，所以，
即，所以，
所以．………………………………………………6分
（2）因为 ，所以，所以，，
又点在角的终边上，所以， ．
同理 ，，
所以．…14分
16．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分14分）
在中，角所对的对边长分别为；
（1）设向量，向量，
向量，若，求的值；
（2）已知，且，求．
解：（1），
由，得， （4分）
即
所以； （7分）
（2）由已知可得，，
则由正弦定理及余弦定理有：， （10分）
化简并整理得：，又由已知，所以，
解得，所以 ． （14分）
15．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷（本题满分14分）已知角、、是的内角，分别是其对边长，向量，，.
（1）求角的大小；
（2）若求的长.
三角函数解题技巧
高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
例题分析
例1．已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函数的值域。
解：设，则原函数可化为
，因为，所以
当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
例3．已知函数。
（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；
（2）证明：函数的图像关于直线对称。
解：
(1)所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，
因为，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。
例4． 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1
化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
例5．已知函数
（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
解：
（Ⅰ）由=0即
即对称中心的横坐标为
（Ⅱ）由已知b2=ac
即的值域为.
综上所述， ， 值域为 .
说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
例6．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
(1)求的值；
(2)若，且a=c，求的面积。
解：(1)由正弦定理及，有，
即，所以，
又因为，，所以，因为，所以，又，所以。
(2)在中，由余弦定理可得，又，
所以有，所以的面积为
。
例7．已知向量
，且，
(1)求函数的表达式；
(2)若，求的最大值与最小值。
解：(1)，，，又，
所以，
所以，即；
(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：
t －1 (－1，1) 1 (1，3)
导数 0 － 0 +
极大值 递减 极小值 递增
而所以。
例8．已知向量，
求的值；
(2)若的值。
解：(1)因为
所以
又因为，所以，
即；
(2) ，
又因为，所以 ，
，所以，所以
例9．平面直角坐标系有点
求向量和的夹角的余弦用表示的函数；
求的最值.
解：（1），
即
（2） ， 又 ，
， ， .
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。
三角函数过关测试
1、已知___________．
2、若是方程的解，其中，，则 ．
3、已知，则=___________．
4、函数的最小正周期为________．
5、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当
时，，则的值为________．
6、在锐角△ABC中，已知，则的取值范围是 ．
7、已知的周长为，且，的面积为，
则角= ．
8、已知，，则_______．
9、下面有5个命题：
①函数的最小正周期是．
②终边在轴上的角的集合是．
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．
④把函数的图象向右平移得到的图象．
⑤函数在上是减函数．
其中，真命题的编号是______ _____（写出所有真命题的编号）．
10、如图，在中，是边上一点，则
.
11、已知，（1）求的值；（2）求的值。
12、已知.
13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是，．
（1）求的值； （2）求的值．
参考答案
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、
8、 9、①④ 10、
11、（1）解：
由，有， 解得
（2）解法一：
解法二：由（1），，得
∴ ∴
于是，
代入得
12、由题设条件，应用两角差的正弦公式得
即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故 ②
由①式和②式得 .因此，，由两角和的正切公式
13、1）由已知条件即三角函数的定义可知，
因故，从而
同理可得 ，因此.
所以=;
（2）,
从而由 得 .
b
a
b
a
y
)
sin(
sin
cos
2
2
O
x
y
C
A
B
第15题
A
B
C
D
B
A
C
D
第10题
B
A
x
y
O
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