2012高考冲刺不等式篇

第六部分——不等式
知识点总结精华
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）理解不等式的性质及其证明．
数学探索 版权所有www.（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
数学探索 版权所有www.（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
数学探索 版权所有www.（4）掌握简单不等式的解法．
数学探索 版权所有www.（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
不 等 式 知识要点
三.不等式、线性规划、算法
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若,,则.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
③取倒数:；；如，等价于或
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,则(当且仅当时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ”， 常用的方法为：拆、凑、平方等；
(2)，(当且仅当时,取等号)；
(3)公式注意变形如：,；若,则(真分数的性质)；
4.证明不等式常用方法：
⑴比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；
⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：；.②将分子或分母放大(或缩小)③利用基本不等式,如：.④利用常用结论： ；
(程度大)； (程度小)；
⑹换元法：减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.
如：知,可设；,可设；
6.（1）一元二次不等式或分及情况分别解之，如设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
或 或
R
R R
如解关于的不等式：。
(2)指数不等式 ；；
对数不等式 （1）当时，；（2）当时，。
7．线性规划
二元一次不等式表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。不等式所表示的平面区域边界线画成实线。
说明：（1）取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。（2）当两个点位于直线=0两侧，（或）
（3）求的最大值，将直线平移正方向服从；
（4）表示直线的右侧；表示直线上方；
（5）二元一次不等式表示的平面区域：
①法一：先把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断； ②无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；
③设点，，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧。如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是__________
（6）线性规划问题中的有关概念：
①满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。
②关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；
④满足线性约束条件的解（）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；
（7）求解线性规划问题的步骤是什么？
①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；
③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。
不等式的基本概念
不等（等）号的定义：
不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
同向不等式与异向不等式.
同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（加法单调性）
（4）（同向不等式相加）
（5）（异向不等式相减）
（6）
（7）（乘法单调性）
（8）（同向不等式相乘）
（异向不等式相除）
（倒数关系）
（11）（平方法则）
（12）（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）
（2）（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
极值定理：若则：
如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；
如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
（当仅当a=b=c时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
（7）
4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
特别地，（当a = b时，）
幂平均不等式：
注：例如：.
常用不等式的放缩法：①
②
（2）柯西不等式：
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
（4）.指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；
应用化归思想等价转化
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
①
②
类似于，③
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
2．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则= ▲ ．（）
8．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）已知点在由不等式组所确定的平面区域内，则所在的平面区域的面积为 ▲ ．（4）
14．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．
13. （常州市2011届高三数学调研）已知，是原点，点的坐标满足，则（1）的最大值为 ；（2）的取值范围为 .；
14. （常州市2011届高三数学调研）曲线上的点到原点的距离的最小值为 .
6．（姜堰二中学情调查（三））若实数对（x，y）满足约束条件，则的最小值为 ．2
12. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）已知正实数满足，则的最小值为 。；.
10．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）若圆C：在不等式 HYPERLINK "http://www." 所表示的平面区域内，则的最小值
为 ▲ ． HYPERLINK "http://www."
8、（南通市六所省重点高中联考试卷）设 若－2≤x≤2，－2≤y≤2，则z的最小值为 ▲
13. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）若关于x的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围 是 ▲ ．
讲评建议：解决此题最好的方法是观察，故对条件两边开方，化为，再转化为函数数形结合解决，当然其它的方法也还是有的，教学中有必要展示学生解法，以体现学生的创造性。绝对值函数教学中要引起重视，绝对值函数即是分段函数。从二次函数角度也可以解决，主要是让学生了解决抛物线开口大小的是二次项系数绝对值的大小。若硬解二次不等式，会者也可解之，或直接解一次不等式，等等。
10、（宿迁市高三12月联考）设，则的最小值是___ ___；4
（无锡市1月期末调研）不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为 ▲ ．
13．（徐州市12月高三调研）若，且，则的最小值为 ▲ .4
10．（盐城市第一次调研）设满足约束条件,若目标函数的最大值为35,
则的最小值为 ▲ . 8
13. （苏北四市2011届高三第二次调研）已知实数满足，，则的取值范围是 ▲ ．
13. （苏州市2011届高三调研测试）已知的三边长满足，则的取值范围为 ▲ .
【解析】
通过求得可行域如图
因此可以看作是点到原点连线的斜率，。
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
13．（江苏省南通市2010年高三二模）如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设（α、β∈R），则α+β的取值范围是 ▲ ．
14．（江苏省南通市2010年高三二模）设函数，．若存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
解析：由知，又存在，使得
知即或，另中恒过，故由函数的图象知：①若时, 恒大于0，显然不成立。
②若时，
③若时，，
另，显然不成立。
13．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知，对一切恒成立，则实数的取值范围为 。
解析：由“对一切恒成立”转化为“
的最大值，又知，可转化为求
“在上最大值”；因在上为减函数，的最大值为2；即的最大值为2，所以2；
可得或。
12．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）点在两直线和之间的带状区域内（含边界），则
的最小值为______▲_______．
解析：由，又点在两直线和之间的带状区域内（含边界）得，根据二次函数知的最小值为5.
14．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知实数满足：，且，则的最小值为______▲_______．
解析：由知，又可化，所以
，从而
（当且仅当时取“=”）
5．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)已知a，b∈(0，+∞)，a+b=1，则ab的最大值为 ▲ ．
9．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)若不等式2x2－3x+a＜0的解集为( m,1)，则实数m＝ ▲ ．
12．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是，则正整数m只能取 ▲ ．1或2
9．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）平面上满足约束条件的点形成的区域为，区域关于直线对称的区域为，则区域和中距离最近两点的距离为 。
13．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）若二次函数的值域为，则的最小值为 ▲ .
5、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）已知不等式对于,恒成立,则实数的取值范围是 ▲ .
13、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 ＜0的解集为 ▲ ．（－，－1）∪（1，）
13．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）当时，恒成立，则实数的取值范围是_____________．
14．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）已知点与点在直线两侧，则下列说法：①；② 当时，有最小值无最大值；③，使恒成立；④当且，时，的取值范围为，其中正确说法的序号是_____________．③④
11. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法：
参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ▲ .
3、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）若，且，则的最大值是 1
10、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）定义在R上的奇函数,当x∈（0，+∞）时，f(x)=,则不等式f(x)<-1的解集是 。
7．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）设变量满足约束条件则的最大值是 。18
二、解答题
20．(江苏通州市2010年3月高三素质检测) (本小题满分16分)设为实数，函数.(1)若，求 ( http: / / www. )的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，求不等式的解集.
（1）若，则
（2）当时， ( http: / / www. )
当时，
综上
（3）时，得， ( http: / / www. )
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为 ( http: / / www. );
当时，解集为.
20．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（16分）已知函数。
（1）若证明：对于任意的两个正数，总有成立；
（2）若对任意的，不等式：恒成立，求的取值范围。
所以：在上为增函数。
即：
不等式解题方法
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
一、知识整合
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．
4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：1.审题，2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。
7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．
二、方法技巧
1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
三、例题分析
b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．
分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？
解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)
(2)当1≤y≤3时，
所以当y=1时，= 4．
简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示
其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式
例2．已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
解：画出图象，由线性规划知识可得，选D
例3．数列由下列条件确定：
（1）证明：对于,
（2）证明：对于．
证明：（1）
（2）当时，
=。
例4．解关于的不等式：
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当
。
例5．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
(Ⅰ)
所以f(-2)的取值范围是[6，10]．
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．
例6．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=x，均不相交.试证明对一切都有.
分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．
证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故
Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．
简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．
例7．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得
不
不等式过关测试
1．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是
2．不等式组的解集是
3.若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），比较大小
4.不等式等于
5．设，函数，则使的的取值范围是
6．在直角坐标平面上，已知三角形ABC三个顶点的坐标为A（2,1）,B(-1,-2),C（3,-1）,则三角形ABC内部区域（包括三边）所表示的不等式组为
7.设关于x的方程的两个实根一个大于1，另一个小于1，则实数k的取值范围是
8. 函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
9.当时，不等式恒成立，则的取值范围是
10.若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是
11．已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为
12．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油耗油量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有所示的函数关系：
“汽油的使用率最高”（即每千米汽油平均消耗量最小，单位：L/km），则汽油的使用率最
高时，汽车速度是 （km/h）
13.如果实数x、y满足(x－2)2+y2=3，那么的最大值是
14.已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是
15. 解关于的不等式：
16、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
参考答案1、6 2、{x|06、 7、 8、8 9、 10、ab≥9
11、 12、 13、 14、
15、简解：原不等式可化为：
①当时，原不等式的解集为
②当时，原不等式的解集为
③当时，原不等式的解集为
16、解：设画面的高为，宽为，则，设纸张面积为，则有
，当且仅当时，即时，取最小值，此时，高，宽.
如果，则上述等号不能成立.现证函数
S(λ)在上单调递增.设,
则
因为，
又，
所以，故在上单调递增,因此对，当时，取得最小值.
解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为．