2012高考冲刺排列组合二项式定理、概率统计

第11部分——排列组合二项式定理、概率统计
知识点总结精华
1．抽样方法;
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。③从含有个个体的总体中,抽取个体,则每个体第一次被抽到概率,第二次被抽到概率,…,故每个个体被抽到的概率为,即每个个体入样的概率为.
⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；④按预先制定规则抽取样本。
⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数;
2. 总体特征数的估计：
⑴样本平均数 ；
⑵方差去估计总体方差。
⑶样本标准差=
3.(理科)排列数公式:, .
组合数公式：,.
组合数性质：；.
4. (理科)二项式定理：
⑴掌握二项展开式的通项：；
⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.
6. 线性回归
相关系数：
7．独立性检验（分类变量关系）：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随机变量越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，
经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。当根据具体的数据算出的k>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当k>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当k3.841时，认为事件A与B是无关的
8. 统计学最关心的是：我们的数据能提供那些信息. 具体地说，面对一个实际问题，我们关心的是
（1）如何抽取数据；（2）如何从数据中提取信息；（3）所得结论的可靠性.
案例1 回归分析，函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.
例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
作出散点图，得到回归方程是
所以，对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为（kg）
案例2 假设检验 假设检验是利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，即在论述H不成立的前提下，有利于H的小概率事件发生，就推断H发生.
例2：某地区的羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的，今研制一种新的预防药，任选6只羊做实验，结果6只羊服用此药后均未患病. 你认为这种药是否有效？
现假设“药无效”，则事件“6只羊都不患病”发生的概率为，这是一个小概率事件. 这个小概率事件的发生，说明“药无效”的假设不合理，应该认为药是有效的.
案例3 独立性检验 独立性检验是对两种分类变量之间是否有关系进行检验.
例3：为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：（吸烟与患肺癌列联表;略）那么吸烟是否对患肺癌有影响？
由列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%患有肺癌.
现在想要推断的论述是 H0：吸烟与患肺癌没有关系 ----略
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
7．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）用数字1,2,3作为函数的系数，则该函数有零点的概率为 ▲ ．（）
4. （常州市2011届高三数学调研）现有性状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 .0.5
7. （常州市2011届高三数学调研）在区间上任意取两点，方程的两根均为实数的概率为，则的取值范围为 .
8．（姜堰二中学情调查（三））抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是 ．
5. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为10人，则样本容量为 。
6. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）设，则在区间上随机取一个数，使的概率为 。
2．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）
的概率为 ▲ 0.2．
4、（南通市六所省重点高中联考试卷）如图所示，在两个圆盘中，
指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，
那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ▲
（无锡市1月期末调研）某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于分钟的概率为 ▲ ．
5．（徐州市12月高三调研）已知集合，若从 HYPERLINK "http://www." 中任取一个元素作为直线的倾斜角，则直线 HYPERLINK "http://www." 的斜率小于零的概率是 ▲ .
5.（苏州市2011届高三调研测试）已知集合,在中可重复的依次取出三个数
，则“以为边恰好构成三角形”的概率是 ▲ . 5.
【解析】“在中可重复的依次取出三个数”的基本事件总数为，事件“以为边不能构成三角形”分别为所以
22．若（），求的值．
解：由题意得：， ………………………………………2
∴，…………………………6
∵ …………………………8
∴ …………………………………………10
23．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00，8∶20，8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为，8∶20发出的概率为，8∶40发出的概率为；第二班客车在9∶00，9∶20，9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为，9∶20发出的概率为，9∶40发出的概率为．两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8∶10到站．求：
（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；
（2）旅客候车时间的分布列；
（3）旅客候车时间的数学期望．
解：（1）第一班若在8∶20或8∶40发出，则旅客能乘到，其概率为
P=+=．………………………………………………………………………………3分
（2）旅客候车时间的分布列为：
候车时间（分） 10 30 50 70 90
概率 × × ×
……………………………………………………………………………………6分
（3）候车时间的数学期望为
10×＋30×＋50×＋70×＋90×
=5＋＋＋＋=30． ……………………………………………………………9分
答：这旅客候车时间的数学期望是30分钟．……………………………………………10分
6. （南通市六所省重点高中联考试卷）计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，．所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？
（2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；
（3）用表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求的分布列和数学期望．
4.解：记“甲理论考试合格”为事件，“乙理论考试合格”为事件，“丙理论考试合格”为事件， 记为的对立事件，；记“甲上机考试合格”为事件，“乙上机考试合格”为事件，“丙上机考试合格”为事件．
（1）记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，
则，，，有，
故乙获得“合格证书”可能性最大； ………………………………3分
（2）记“三人该课程考核都合格” 为事件．
=×××××=，
所以，这三人该课程考核都合格的概率为． …………………6分
（3）用表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，则可以取0，1，2，3，
故的分布列如下：
0 1 2 3
P（）
的数学期望：
=0×+1×+2×+3×= …………………10分
8. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ▲ .
22、（宿迁市高三12月联考）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
22、解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．……………5分
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，
所以，
故．……………10分
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则
，
所以，
，
，
．
于是，．
２．（无锡市1月期末调研）设在个同类型的零件中有2个次品，现抽取次进行检验，每次抽一个，并且取出不再放回，若以变量X表示取出的次品个数．
求X的分布列；
求X的数学期望及方差．
2．（1）X的分布列为：
…………………………………………………………………………………………………………………6分
（2）， ……………………………………………………………8分
．……………………………………………………………10分
3. （无锡市1月期末调研）若二项式的展开式中的常数项为第五项．
(1)求n的值；
(2)求展开式中系数最大的项．
3．（1），　…………………………………………………………………１分
的指数为，………………………………………………………………………２分
　　的展开式中的常数项为第五项，∴，…………………………………………3分
解得：．　………………………………………………………………………………４分
（2），其系数为．……………………………………………５分
设第项的系数最大，则　…………………………………………６分
化简得： 即∴，………………………………………………８分
即第四项系数最大，．……………………………………………１０分
23．（徐州市12月高三调研）（本小题满分10分）
将一枚硬币连续抛掷次，每次抛掷互不影响. 记正面向上的次数为奇数的概率为，正面向上的次数为偶数的概率为.
（Ⅰ）若该硬币均匀，试求与；
（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较与的大小.
23.解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为，所以正面向上的次数为奇数次的概率为
…3分
故 ……………………………………………………5分
（Ⅱ）因为，
…………………………7分
则
EMBED Equation.DSMT4 ，而，∴ ，∴ ………10分
22．（盐城市第一次调研）（本小题满分10分）
设,.
（Ⅰ）当=2011时,记，求；
（Ⅱ）若展开式中的系数是20，则当、变化时，试求系数的最小值．
22.解：（Ⅰ）令，得=……………4分
（Ⅱ）因为，所以,则的系数为
=……7分
所以当时，展开式中的系数最小，最小值为85…………………………10分
23．（盐城市第一次调研）（本小题满分10分）
有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第关时，需要抛掷次骰子，当次骰子面朝下的点数之和大于时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立.
（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；
（Ⅱ）记成功闯过的关数为，求的分布列和期望．
23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则 ………………4分
（Ⅱ）由题意得, 的取值有0,1,2,3,且, ,
, ,
即随机变量的概率分布列为:
0 1 2 3
………………8分
所以,……………………………………10
8. （苏北四市2011届高三第二次调研）在区间内随机地取出一个数，使得
的概率为 ▲ ．0.3
22. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分10分）
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
22.(1)是“个人命中,个人未命中”的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.
,
,
,
.
所以的分布列为
的数学期望为
. ……………5分
(2) ,
,
.
由和，得,即的取值范围是. …… 10分
22. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分10分）
一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为.
⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；
⑵求的分布列及的数学期望.
22.【解析】（1）记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件，依题意知
所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为
（2）
所以的分布列为
所以的数学期望
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
4．（江苏省南通市2010年高三二模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为 ▲ ．
解析：由∠A=90°，AB=1，BC=2知BM=,要使∠AMB≥90°
则M在BM上运动，即.
5．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）今年9月10日，某报社做了一次关于“尊师重教”的社会调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数一次成等差数列，因报道需要，从回收的问卷中按单位分层抽取容量为300的样本，其中在B单位抽的60份，则在D单位抽取的问卷是 份。
解析：由题意设A、B、C、D四个单位分别为,且分层抽取容量为300,得,则在D单位抽取的问卷是120份.
9．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）集合，，点P的坐标为（，），，，则点P在直线下方的概率为 。
解析：由题意知本题是古典概型问题,基本事件总数为25, 点P在直线下方的事件为10,则点P在直线下方的概率为.
4．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）把长为1的线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为 。
6．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环
的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是 ▲ ．1
10．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)已知集合，，在集合A中任取一个元素p，则p∈B的概率为 ▲ ．
3．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差= ▲ ．2
（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知集合，若从A中任取一个元素x，则恰有的概率为 ▲ ．
5．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）某人有甲、乙两只密码箱，现存放两份不同的文件，则此人使用同一密码箱存放这两份文件的概率是 ▲ .
6．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据
所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）. 为了分析居民的收
入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样
方法抽出100人作进一步调查，则在（元/月）收入段应
抽出 ▲ 人.40 w ww.ks 5u.c om
3、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是____▲____个．650
8．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的
概率为_____________．
5. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩余分数的方差为 ▲ ．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）
10. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知函数，其中，，则此函数在区间上为增函数的概率为 ▲ .
4、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已知函数其中，则函数有零点的概率是 。
5、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）下图是根据某小学一年级10名学生的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，则选10名学生平均身高是 115 cm
4．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s），随机选择了50名学生进行调查，下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图。根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在（单位：s）内的人数大约是 。120
8．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是　　　　　　。
二、解答题
22．（江苏省南通市2010年高三二模）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分ξ的分布列；
（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．
23．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分10分)21世纪教育网
一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球． [来源:21世纪教育网]
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少
23．解：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则．
∴． …………………………………………………1分
设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，
∴， ∴或(舍)．
∴红球的个数为(个)． …………………………………3分
∴随机变量的取值为0，1，2，分布列是
0 1 2
的数学期望． …………6分
（2）设袋中有黑球个，则…）．
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，
则， …………………………………8分
当时，最大，最大值为．…………………………………10分
26．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题为必做题，满分10分）
在这个自然数中，任取个不同的数．
（1）求这个数中至少有个是偶数的概率；
（2）求这个数和为18的概率；
（3）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．
26．（必做题）（本小题满分10分）
解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件，
则；. （3分）
（2）记“这3个数之和为18”为事件,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，
所以； （7分）
（3）随机变量的取值为的分布列为
0 1 2
P
∴的数学期望为。（10分）
22．（2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）【必做题】某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为、、，记该参加者闯三关所得总分为．
（1）求该参加者有资格闯第三关的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
22. （江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷） 甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为l，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息总量为X，若可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．（1）求线路信息通畅的概率；（2）求线路可通过的信息量X的分布列；（3）求线路可通过的信息量X的数学期望．
22．解（1）
所以线路信息通畅的概率为
（2）
X的分布列为
X 4 5 6 7 8
（3）由分布列知
1．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分8分）
写出的二项展开式（为虚数单位），并计算的值。
（本题满分8分）
………………3分
因为的展开式中的虚部， …………5分
又， ………………7分
所以 ………………8分
26．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题为必做题，满分10分）
设函数.
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若且，求；
（3）设是正整数，为正实数，实数满足，求证：
．
排列组合二项式定理和概率解题方法
一、知识整合
二、考试要求：
1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.
2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.
3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.
4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.
5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.
6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.
7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.
8．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
Ⅰ、随机事件的概率
例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是.
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为.
例2 一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）
解 设事件I是“从m个白球和n个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A是“从m个白球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)= ，于是P(A)=.
Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率
例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
解 （1）从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。
恰有一件次品的概率P=.
(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=
例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.
解 从52张牌中任取4张，有种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有种取法
注 研究至少情况时，分类要清楚。
Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率
例5 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率为
例6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.
解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”.
则P（A）=0.05, P(B)=0.1,
（1）至少有一件废品的概率
（2）至多有一件废品的概率
Ⅳ、概率内容的新概念较多，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：
类型一 “非等可能”与“等可能”混同
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=
剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=．
类型二 “互斥”与“对立”混同
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
错解 A
剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
类型三 “互斥”与“独立”混同
例3 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：
剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
解： 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，
则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169
概率统计过关测试
1. 某工厂生产产品，用传送带将产品送至下一个工序，质检人员每隔十分钟在传送带某一位置取一件检验，则这种抽样的方法为 .
2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量.现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___ ___辆.
3．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，
月份 1 2 3 4
用水量 4.5 4 3 2.5
由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程
是
4.用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到”的概率分别是
5. 为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为 .
6．同时掷两颗骰子，得到的点数和为4的概率是
7．盒子内有10个大小相同的小球，其中有6个红球，3个绿球和1个黄球，从中任意摸出1个球，则它不是红球的概率为
8、已知数据的平均数为，方差为，则数据 的平均数和标准差分别为 .
9、在矩形中， ，，以为圆心， 1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是
10、在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，则小明考试及格的概率为 .
11、先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是
12、在平面直角坐标系中，向平面区域内随机抛掷一点，则点落在平面区域内的概率＝ ．
13、由经验得知，在商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人以上
概率 0．10 0．16 0．3 0．3 0．1 0．04
求（1）至多2人排队的概率； （2）至少2人排队的概率.
14、设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．
（1）求方程有实根的概率；
（2）求先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．
参考答案
1、系统抽样 2、_6___， 30 ， _10 3、 4、
5、30 6、 7、 8、22和6 9、 10、0.93 11、 12、
13、解：(1)记没有人排队为事件A，1人排队为事件B，2人排队为事件C，A，B，C彼此互斥.P（A+B+C）= +P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)记至少有2人排队为事件D，P（D）=1- [ P（A）+P（B）]=0.74
14、解：（1）基本事件总数为6×6＝36，
若使方程有实根，则，即．
当；当；当；当；当；当．
目标事件个数为，因此方程有实根的概率为．
（2）记“先后出现的点中有5”为事件M，则事件M的基本事件有11种，先后两次出现的点数有5的条件下，方程的实根记为事件B，则事件B的基本事件有7种，分别是共7种，所以．
………8分
0．0005
0．0004
0．0003
0．0002
0．0001
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
月收入（元）
第6题
第5题