2012高考冲刺圆锥曲线篇
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文档简介
第十部分——圆锥曲线方程
知识点总结精华
考试内容：
数学探索 版权所有www.椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．
数学探索 版权所有www.双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
数学探索 版权所有www.（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.（4）了解圆锥曲线的初步应用．
圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：.
②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于）.
⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦点半径：
i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
简证： = .
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
图形
焦点
准线
范围
对称轴 轴 轴
顶点 （0，0）
离心率
焦点
注：①顶点.
②则焦点半径;则焦点半径为.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④（或）的参数方程为（或）（为参数）.
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.
当时，轨迹为椭圆；
当时，轨迹为抛物线；
当时，轨迹为双曲线；
当时，轨迹为圆（，当时）.
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
定义 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形
方程 标准方程 (>0) (a>0,b>0) y2=2px
参数方程 (t为参数)
范围 ─axa，─byb |x| a，yR x0
中心 原点O（0，0） 原点O（0，0）
顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)
对称轴 x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x轴
焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0)
焦距 2c （c=） 2c （c=）
离心率 e=1
准线 x= x=
渐近线 y=±x
焦半径
通径 2p
焦参数 P
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
等轴双曲线
共轭双曲线
5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
5．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为
▲ ．或
9．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知圆： 与轴交于点和，在线段上取一点，作与圆的一个交点为，若线段、、可作为一个锐角三角形的三边长，则的取值范围为 ▲ ．
12．（姜堰二中学情调查（三））已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，则的最大值为 ．6
8．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）双曲线上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是 ▲ ． HYPERLINK "http://www."
3、（南通市六所省重点高中联考试卷）方程 的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是 ▲
9、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知椭圆的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，
则的最大值为 ▲
12、（宿迁市高三12月联考）椭圆的左焦点为F，其左准线与轴的交点为，若在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 ；[，1）
（无锡市1月期末调研）设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ▲ ．或
10．（徐州市12月高三调研）已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线∥轴，则该椭圆的离心率= ▲ .
12．（盐城市第一次调研）在中,,,则以为焦点且过点的椭圆的离心率为 ▲ .
10. （苏北四市2011届高三第二次调研）双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．
18．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分16分）
如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，圆是以为直径的圆．
⑴当圆的面积为，求所在的直线方程；
⑵当圆与直线相切时，求圆的方程；
⑶求证：圆总与某个定圆相切．
解 ⑴易得，，，设，
则，
∴， ……………………………………………………2
又圆的面积为，∴，解得， ∴或，
∴所在的直线方程为或；…………………………4
⑵∵直线的方程为，且到直线的距离为
， 化简得，…………………………6
联立方程组，解得或． …………………………8
当时，可得， ∴ 圆的方程为；………9
当时，可得， ∴ 圆的方程为；…10
⑶圆始终与以原点为圆心，半径（长半轴）的圆（记作圆O）相切．
证明：∵， ……………14
又圆的半径，∴，
∴圆总与圆O内切． …………………………………………16
24．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试） 已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦．
⑴求p的值；
⑵抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
解：⑴由解得
∴，∴ ………………………………………4
⑵由⑴得
假设抛物线L上存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线
令圆的圆心为，则由得
得 …………………………………………6
∵抛物线L在点C处的切线斜率
又该切线与垂直， ∴
∴ ……………………8
∵，∴
故存在点C且坐标为（-2,1） …………………………………………10
17．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分14分)
已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，直线与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C1与圆C2．
(1)求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；
(2)当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值．
17、解：（1）易得的坐标,的坐标，的坐标，的坐标，线段的中点，
直线的斜率 ………………………………………3分
又, 直线的斜率
直线的方程，的坐标为
同理的坐标为 …………………………………………………… 7分
,即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.…………… 9分
（2）圆的半径为，圆的半径为，
则 （＜＜）
显然时，最小，. …………… 14分
18. （常州市2011届高三数学调研）（15） 已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点M，圆与x轴交于两点（如图）．
（1）过M点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点的圆的切线交（II）中的一个椭圆于两点，其中两点在x轴上方，求线段CD的长．
18、解：（1I）为圆周的 点到直线的距离为
设的方程为
的方程为
（2）设椭圆方程为，半焦距为c，则
椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则或
当时，所求椭圆方程为；
当时， 所求椭圆方程为
（3）设切点为N，则由题意得，椭圆方程为
在中，，则，
的方程为，代入椭圆中，整理得
设，则
18．（姜堰二中学情调查（三））（本小题共16分）
已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；
②若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心
率的取值范围；
（2）设直线与轴、轴分别交于点，，求证：
为定值．
18．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆：，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴． ……… 5分
（ⅱ）由及圆的性质，可得，
∴∴
∴，． ……… 10分
（Ⅱ）设，则
整理得
∴方程为：，
方程为：．∴，
∴,
直线方程为 ，即 ．
令，得，令，得，
∴，
∴为定值，定值是……… 16分
19．（姜堰二中学情调查（三））（本小题共16分）
已知M（p, q）为直线x+y-m=0与曲线y=-的交点，
且p求证：|f（）-f（）|<|p-q|
证明：
易证f（x）在（p,q）上单调……… 6分
又 ，……… 10
|f（）-f（）|=……… 16分
18 . （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分16分)
如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和
的中点，已知（为常数），平面上的点满足。
（1）试求点的轨迹的方程；
（2）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；
（3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程。
18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………（2分）
且半焦距长，长半轴长，则的方程为.………（5分）
⑵若点在曲线上，则.设，，则，. …………………………………………………………………………（7分）
代入，得，所以点一定在某一圆上.
………………………………（10分）
⑶由题意. ………………………………………………………………（11分）
设，则.┈┈┈①
因为点恰好是线段的中点，所以. 代入的方程得.┈┈┈②
联立①②，解得，.…………………………………………………（15分）
故直线有且只有一条，方程为. ……………………………………………（16分）
（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）
18 . （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分16分)
如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和
的中点，已知（为常数），平面上的点满足。
（1）试求点的轨迹的方程；
（2）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；
（3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程。
18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………（2分）
且半焦距长，长半轴长，则的方程为.………（5分）
⑵若点在曲线上，则.设，，则，. …………………………………………………………………………（7分）
代入，得，所以点一定在某一圆上.
………………………………（10分）
⑶由题意. ………………………………………………………………（11分）
设，则.┈┈┈①
因为点恰好是线段的中点，所以. 代入的方程得.┈┈┈②
联立①②，解得，.…………………………………………………（15分）
故直线有且只有一条，方程为. ……………………………………………（16分）
（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）
18．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分15分）
如图，已知椭圆 HYPERLINK "http://www." 的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当
线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．
解：（1）由已知，，直线 HYPERLINK "http://www." ．
设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M（4，）．
由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（4，3）．………………………4分
所以 HYPERLINK "http://www." ，．
HYPERLINK "http://www." ．……………………………………7分
（用余弦定理也可求得）
（2）设圆的方程为，将A，F，N三点坐标代入，得
HYPERLINK "http://www."
∵ 圆方程为，令 HYPERLINK "http://www." ，得．…11分
设 HYPERLINK "http://www." ，则．
由线段PQ的中点坐标为（0，9），得 HYPERLINK "http://www." ，．
此时所求圆的方程为 HYPERLINK "http://www." ．………………………………………15分
（本题用韦达定理也可解）
（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为－1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），
得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（－1，9）．…………………………………… 11分
易求得圆的半径为，………………………………………………………………13分
所以，所求圆的方程为 HYPERLINK "http://www." ．……………………………………… 15分
18. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）
已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
讲评建议：对于第二问题当初是仿照2004年江苏高考题命制，用，考查两解情况，后改为，但综合全题还是有一线教师认为运算量较大，后改为现在情况，改成中点后，命题思想完全发生了变化，改成中点，学生用中点坐标公式，是代数方法，而原来思维是方程思想，这一点引起各位注意，对于第三问，也是教材的习题，逆向思维，同时是对两个参量求最值，学生一般接触较少，当然此题也可转化成一个参数，即对平方法，两次用圆方程消元，达到目的，建议教师讲解。同时注意到，此圆是以椭圆的左准线的与x轴的交点为圆心，两个定点恰是椭圆的左右焦点，三问题之间非常和谐，融为一体。
18．（1）由椭圆E：，得：，，，
又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分
（2）由题意，得，代入，得，
所以的斜率为，的方程为， …………………8分
（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）
所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．
故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分
（3）设，，则由，得，
整理得①，…………………………12分
又在圆C：上，所以②，
②代入①得， …………………………14分
又由为圆C 上任意一点可知，解得．
所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分
18、（宿迁市高三12月联考）（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点 在椭圆的准线上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。
18、解：（1）由，得 ……………1分
又由点M在准线上，得 ……………2分
故， 从而 ……………4分
所以椭圆方程为 ……………5分
（2）以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为,半径 ……………7分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离 ……………9分
所以，解得
所求圆的方程为 ……………10分
（3）方法一：由平几知：
直线OM：，直线FN： ……………12分
由得
所以线段ON的长为定值。 ……………16分
方法二、设，则
又
所以，为定值。
18．（无锡市1月期末调研）(本小题满分16分)
已知椭圆 的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
当直线AM的斜率为时，求点M的坐标；
当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．
18．（1）直线AM的斜率为时，直线AM：， ……………………………………………1分
代入椭圆方程并化简得：， ……………………………………………2分
解之得，∴． ……………………………………………………4分
（2）设直线AM的斜率为，则AM：，
则 化简得：．……………………………6分
∵此方程有一根为，∴， ………………………………………………………7分
同理可得．……………………………………………………………………………8分
由（1）知若存在定点，则此点必为．…………………………………………………9分
∵，…………………………………………………11分
同理可计算得．……………………………………………………………………13分
∴直线MN过轴上的一定点． …………………………………………………………16分
19．（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)
已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，⊙是以为直径的圆.
（Ⅰ）当⊙的面积为时，求所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙与直线相切时，求⊙的方程；
（Ⅲ）求证：⊙总与某个定圆相切.
19．解：（Ⅰ）易得，设点P，
则，所以…3分
又⊙的面积为，∴，解得，∴，
∴所在直线方程为或………………5分
（Ⅱ）因为直线的方程为，且到直线的
距离为………………………………7分
化简，得，联立方程组，解得或…10分
∴当时，可得，∴⊙的方程为；
当时，可得，∴⊙的方程为…12分
（Ⅲ）⊙始终和以原点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作⊙）相切…13分
证明：因为，
又⊙的半径，∴，∴⊙和⊙相内切……16分
17．（盐城市第一次调研）(本小题满分16分)
已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．
过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另一点,且.
（Ⅰ）求⊙M和抛物线的方程；
（Ⅱ）若为抛物线上的动点,求的最小值；
（Ⅲ）过上的动点向⊙M作切线,切点为,
求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.
17．解：（Ⅰ）因为,即,所以抛物线C的方程为… 2分
设⊙M的半径为,则,所以的方程为……… 5分
（Ⅱ）设,
则=…8分
所以当时, 有最小值为2 ………………………………………10分
（Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦………… 11分
设点,则,所以⊙Q的方程为
…………………………………13分
从而直线QS的方程为(*)…………………………………………14分
因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为……16分
18. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分16分）
如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值；
（3）以为直径的圆是否过定点？
请证明你的结论．
18.（1），且过点，
解得 椭圆方程为.……………………………………4分
设点 则，
， 又，
的最小值为．…………………………………………………………………………10分
圆心的坐标为，半径.
圆的方程为，
整理得：. ……………………………………16分
，
令，得，.
圆过定点.……………………………………………………………………………16分
21. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分10分）
已知动圆过点且与直线相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.
21.（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分
证明：设， ∵， ∴ ，∴ 的斜率分别
为，故的方程为，的方程为 …7分
即，两式相减，得，又，
∴ 的横坐标相等，于是………………10分
18. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分16分）
如图，椭圆的左焦点为，上顶点为，
过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点.
⑴若,求实数的值；
⑵设点为的外接圆上的任意一点，
当的面积最大时，求点的坐标.
18.【解析】（1）由条件得
因为所以
令得所以点的坐标为.
由得解得（舍）
所以点的坐标为.
因为，所以且
（2）因为是直角三角形，
所以的外接圆的圆心为，半径为
所以圆的方程为.
因为为定值，所以当的面积最大时点到直线的距离最大.
过作直线的垂线，则点为直线与圆的交点 .
直线与联立得（舍）或
所以点的坐标为.
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
12．（江苏省南通市2010年高三二模）A、B是双曲线C的两个顶点，直线l与实轴垂直，与双曲线C 交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率e＝ ▲ ．
解析：设双曲线方程为，双曲线上点P(x,y)，
则,(x,y).由得
从而,又因点P在双曲线上,满足,另从题中知点P为任意可由两式比较得,则双曲线C的离心率e＝.
法二:由知为垂心,即PQ运动中始终要B点垂心;从而可假设三角形PAQ为等边三角形来处理.
7．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点（2，）与（，0），则双曲线的焦点坐标为 。
解析：由题意知设双曲线的方程为且,又过点（2，）
得,则双曲线的焦点坐标为.
13．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是 。
解：
2．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线 ( http: / / www. )相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .
5．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，则双曲线的焦点坐标是______▲_______．
解析：由双曲线的实轴长为2，离心率为2，
知，则，故双曲线的焦点坐标是。
（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数 ▲ ．2
9．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ▲ . w ww.ks 5u.c om
8、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）已知双曲线（为锐角）的右焦为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则的值为 ▲ . （2，1）
10、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线 ( http: / / www. )与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .
9．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，若原点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_____________．
13. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是 ▲ .
11、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）.以椭圆 （a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知△OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 。
3．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 。8
12．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷已知椭圆，是左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是______________．
二、解答题
18．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分15分）
平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，
⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
18．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分15分）
如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．
17．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的左焦点为，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA的斜率为，直线MA的斜率为，求的取值范围．
17．解：（1）由已知，得
……………………………………2分
18．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分16分）
设椭圆的左，右两个焦点分别为，，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且为正方形。
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在轴上的一个截距为，求此椭圆方程。
2．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分8分）
已知动抛物线的准线为轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程。
（本题满分8分）
设抛物线的顶点坐标为， ……………………3分
由题意得， ………………6分
即顶点的轨迹方程为 ………………8分
18．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（15分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，且分别为椭圆的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的取值范围。
（3）试问在圆上，是否存在一点，使的面积（其中为椭圆的半长轴长，为椭圆的半短轴长，为椭圆的两个焦点），若存在，
求的值，若不存在，请说明理由。
18、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（16分）如图，已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为。圆D：。
（1）若圆D过两点，求椭圆C的方程；
（2）若直线上不存在点Q，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。
（3）在（Ⅰ）的条件下，若直线与轴的交点为，将直线绕顺时针旋转得直线，动点P在直线上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值。
18、解：（1）圆与轴交点坐标为，
，，故， …………………………………………2分
所以，椭圆方程是： …………………………5分
18．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
已知半椭圆和半圆
组成曲线，其中；如图，半椭圆
内切于矩形，
且交轴于点，点是半圆上
异于的任意一点，当点位于点时，
的面积最大。
（1）求曲线的方程；
（2）连、交分别于点，求证：为定值。
令，得，
所以； （12分）
则
，
又由，得，代入上式得
，所以为定值。 （16分）
18. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。
，可解得
因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.
………………………………………………………………………………………16分
23. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）【必做题】如图，已知抛物线的准线为，为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，再分别过，两点作的垂线，垂足分别为，．
（1）求证：直线必经过轴上的一个定点，并写出点的坐标；
（2）若，，的面积依次构成等差数列，求此时点的坐标．
又因为，，
时，，，
所以所求点的坐标为． ………………………………10分
18．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分16分）
已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；
若直线被圆和圆截得的弦长之比为；
（1）求椭圆的离心率；
（2）己知a=7，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，得直线的倾斜角为，
则点到直线的距离，
故直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为， （3分）
据题意有：，即， （5分）
化简得：，
解得：或，又椭圆的离心率；
故椭圆的离心率为．（7分）
17．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷如图，已知椭圆的左顶点、右焦点分别为、，右准线为，为上一点，且在轴上方，与椭圆交于点。
⑴若，求证：；
⑵设过三点的圆与轴交于两点，求的最小值。
第14讲 解析几何问题的题型与方法
一、知识整合
能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.
2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.
理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程：（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.
5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.
二、近几年高考试题知识点分析
2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．
1．选择、填空题
1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主
（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查
例1 以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________．
（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查
例2已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是
（A） （B） （C） （D）2
1．2 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查
例3若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
2．解答题
解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单．
例4已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线l的斜率．
本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高．
解：（I）设所求椭圆方程是
由已知，得 所以.
故所求的椭圆方程是
（II）设Q（），直线
当由定比分点坐标公式，得
.
于是 故直线l的斜率是0，.
例5设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
（II）设
由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
例6给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.
（Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小；
（Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围.
解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将代入方程，并整理得
设则有
所以夹角的大小为
（Ⅱ）由题设 得
即
由②得， ∵ ∴③
联立①、③解得，依题意有
∴又F（1，0），得直线l方程为
当时，l在方程y轴上的截距为
由 可知在[4，9]上是递减的，
∴
直线l在y轴上截距的变化范围为
从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆．
三、热点分析
1．重视与向量的综合
例7平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中、∈R，且＋=1，则点C的轨迹方程为
（A）（x－1）2＋（y－2）2=5 （B）3x＋2y－11=0
（C）2x－y=0 （D）x＋2y－5=0
例8已知点、，动点，则点P的轨迹是
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线
2．考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高
3．与数列相综合
例9如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),
（Ⅰ）求及;
（Ⅱ）证明
（Ⅲ）若记证明是等比数列.
解：(Ⅰ)因为，所以，又由题意可知，
∴== ∴为常数列.∴
(Ⅱ)将等式两边除以2，得
又∵，∴
（Ⅲ）∵
又∵
∴是公比为的等比数列.
4．与导数相综合
近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分别与向量综合．
例10如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:
（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 ①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得
又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而.
所以
（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.
由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是则
解之得
所以圆C的方程是 即
5．重视应用
例11某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
（二）高考预测
1．难度：解析几何内容是历年来高考数学试题中能够拉开成绩差距的内容之一，该部分试题往往有一定的难度和区分度。
2．命题内容：从今年各地的试题以及前几年的试题来看，解答题所考查的内容基本上是椭圆、双曲线、抛物线交替出现的，所以，今年极有可能考双曲线的解答题．此外，从命题所追求的目标来看，小题所涉及的内容一定会注意到知识的覆盖，兼顾到对能力的要求．
3．命题的热点：
（1）与其他知识进行综合，在知识网络的交汇处设计试题（如与向量综合，与数列综合、与函数、导数及不等式综合等）；
（2）直线与圆锥曲线的位置关系，由于该部分内容体现解析几何的基本思想方法——用代数的手段研究几何问题，因此该部分内容一直是考试的热点。
（3）求轨迹方程．
（4）应用题．
四、复习建议
1．根据学生的实际，有针对性地进行复习，提高复习的有效性
2．重视通性通法，加强解题指导，提高解题能力
在复习中，不能仅仅复习概念和性质，还应该以典型的例题和习题为载体，在二轮复习中强化各类问题的常规解法，使学生形成解决各种类型问题的操作范式．数学学习是学生自主学习的过程，解题能力只有通过学生的自主探究才能掌握．所以，在二轮复习中，教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨和点评，只有这样，才能够实施有效复习．
3．注意强化思维的严谨性，力求规范解题，尽可能少丢分
在解解析几何的大题时，有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象，因此，要通过平时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调，减少或避免无畏的丢分．
例14设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
还有，在设直线方程为点斜式时，就应该注意到直线斜率不存在的情形；又如，在求轨迹方程时，还要注意到纯粹性和完备性等．
五、参考例题
例1、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。
解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥
说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。
例2、已知x、y满足约束条件
x≥1，
x-3y≤-4，
3x+5y≤30，
求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.
解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.
作直线：2x-y=0，再作一组平行于的直线：2x-y=t，t∈R.
可知，当在的右下方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＞0，即t＞0，而且直线往右平移时，t随之增大.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当在的左上方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＜0，即t＜0，而且直线往左平移时，t随之减小.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小.
x-3y+4=0，
由 解得点B的坐标为（5，3）；
3x+5y-30=0，
x=1，
由 解得点C的坐标为（1，）.
3x+5y-30=0，
所以，=2×5-3=7；=2×1-=.
例3、 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故，
所以直线AB方程是
（2）连接MB，MQ，设由
点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到，可得
说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
例4、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
解：∵（1）原点到直线AB：的距离.
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得 .
设的中点是，则
即
故所求k=±.
说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.
例5、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
解：（1）∵，∴。
∵是共线向量，∴，∴b=c,故。
（2）设
当且仅当时，cosθ=0，∴θ。
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。
圆锥曲线过关测试
过点P（2，1）且被圆x2+y2－2x+4y=0，截得的弦长最大的直线的方程是
直线当k变动时，所有直线都过定点
3、直线和直线平行的充要条件是
4、方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆方程，则t的取值范围是
5、过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是
6、已知圆C过点A（4,-1）,且与圆相切于点B（1,2）,则圆C
的方程为
7、过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率=
8、若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆, 那么实数k的取值范围是
9、抛物线y=ax2 的准线方程是y=2，则a的值为
10、已知双曲线－＝1的一条准线与抛物线y＝4x的准线重合,则双曲线的离心率为
11、已知椭圆的两个焦点为 ，且，弦AB过点，则△的周长为
12、已知P是以F1、F2为焦点的椭圆(a>b>0)上一点，若=0，
tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为
13、已知圆：和圆，直线与圆相切于点；圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．
(Ⅰ)求直线的方程； (Ⅱ)求圆的方程．
14、已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；
(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系 若是,请证明；若不是,请说明理由.
参考答案
1、3x－y－5=0 2、（3，1） 3、 4、 5、(x-2)2+(y-1)2=5
6、 7、 8、(0, 1) 9、 10、
11、 12、
13、解：(Ⅰ)（法一）∵点在圆上，
∴直线的方程为，即．
（法二）当直线垂直轴时，不符合题意．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．
则圆心到直线的距离，即：，解得，
∴直线的方程为．
（Ⅱ）设圆：，∵圆过原点，∴．
∴圆的方程为．
∵圆被直线截得的弦长为，∴圆心到直线：的距离：
．
整理得：，解得或．
∵，∴．
∴圆：．
14、解：(Ⅰ)因为,所以c=1
则b=1,即椭圆的标准方程为
(Ⅱ)因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x(7分)
又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4)
所以,又,所以,即,
故直线与圆相切
(Ⅲ)当点在圆上运动时,直线与圆保持相切
证明:设(),则,所以,,
所以直线OQ的方程为
所以点Q(－2,)
所以,又,
所以,即,故直线始终与圆相切
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
M
EMBED Equation.3
．
x
N
M
O
y
A
B
l:x=t
A
B
O
M
P
Q
y
x
l
l1
（第18题）
P
第19题
x
y
A
F1
F2
·
M
O
·
O
l
x
y
A
B
F
·
M
第17题
O
M
N
F2
F1
y
x
（第18题）
O
F
x
y
·
·
P
第22题
O
F
x
y
·
·
P
第22题
4
O
y
xy
x
y
O
F
B
Q
P
第13题
l
A
B
Q
F
P
O
x
y
（第18题）
M
A
P
F
O
x
y
（第17题图）
A
B
C
D
N
O
x
y
A
·
F2
F1
y
B
x
O
·
①
②
x
y
O
P
F
Q
A
B
第14题
知识点总结精华
考试内容：
数学探索 版权所有www.椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．
数学探索 版权所有www.双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
数学探索 版权所有www.（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.（4）了解圆锥曲线的初步应用．
圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：.
②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于）.
⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦点半径：
i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
简证： = .
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
图形
焦点
准线
范围
对称轴 轴 轴
顶点 （0，0）
离心率
焦点
注：①顶点.
②则焦点半径;则焦点半径为.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④（或）的参数方程为（或）（为参数）.
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.
当时，轨迹为椭圆；
当时，轨迹为抛物线；
当时，轨迹为双曲线；
当时，轨迹为圆（，当时）.
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
定义 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
图形
方程 标准方程 (>0) (a>0,b>0) y2=2px
参数方程 (t为参数)
范围 ─axa，─byb |x| a，yR x0
中心 原点O（0，0） 原点O（0，0）
顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)
对称轴 x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x轴
焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0)
焦距 2c （c=） 2c （c=）
离心率 e=1
准线 x= x=
渐近线 y=±x
焦半径
通径 2p
焦参数 P
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
等轴双曲线
共轭双曲线
5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
5．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为
▲ ．或
9．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知圆： 与轴交于点和，在线段上取一点，作与圆的一个交点为，若线段、、可作为一个锐角三角形的三边长，则的取值范围为 ▲ ．
12．（姜堰二中学情调查（三））已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，则的最大值为 ．6
8．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）双曲线上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是 ▲ ． HYPERLINK "http://www."
3、（南通市六所省重点高中联考试卷）方程 的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是 ▲
9、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知椭圆的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，
则的最大值为 ▲
12、（宿迁市高三12月联考）椭圆的左焦点为F，其左准线与轴的交点为，若在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 ；[，1）
（无锡市1月期末调研）设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ▲ ．或
10．（徐州市12月高三调研）已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线∥轴，则该椭圆的离心率= ▲ .
12．（盐城市第一次调研）在中,,,则以为焦点且过点的椭圆的离心率为 ▲ .
10. （苏北四市2011届高三第二次调研）双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．
18．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分16分）
如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，圆是以为直径的圆．
⑴当圆的面积为，求所在的直线方程；
⑵当圆与直线相切时，求圆的方程；
⑶求证：圆总与某个定圆相切．
解 ⑴易得，，，设，
则，
∴， ……………………………………………………2
又圆的面积为，∴，解得， ∴或，
∴所在的直线方程为或；…………………………4
⑵∵直线的方程为，且到直线的距离为
， 化简得，…………………………6
联立方程组，解得或． …………………………8
当时，可得， ∴ 圆的方程为；………9
当时，可得， ∴ 圆的方程为；…10
⑶圆始终与以原点为圆心，半径（长半轴）的圆（记作圆O）相切．
证明：∵， ……………14
又圆的半径，∴，
∴圆总与圆O内切． …………………………………………16
24．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试） 已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦．
⑴求p的值；
⑵抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
解：⑴由解得
∴，∴ ………………………………………4
⑵由⑴得
假设抛物线L上存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线
令圆的圆心为，则由得
得 …………………………………………6
∵抛物线L在点C处的切线斜率
又该切线与垂直， ∴
∴ ……………………8
∵，∴
故存在点C且坐标为（-2,1） …………………………………………10
17．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分14分)
已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，直线与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C1与圆C2．
(1)求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；
(2)当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值．
17、解：（1）易得的坐标,的坐标，的坐标，的坐标，线段的中点，
直线的斜率 ………………………………………3分
又, 直线的斜率
直线的方程，的坐标为
同理的坐标为 …………………………………………………… 7分
,即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.…………… 9分
（2）圆的半径为，圆的半径为，
则 （＜＜）
显然时，最小，. …………… 14分
18. （常州市2011届高三数学调研）（15） 已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点M，圆与x轴交于两点（如图）．
（1）过M点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点的圆的切线交（II）中的一个椭圆于两点，其中两点在x轴上方，求线段CD的长．
18、解：（1I）为圆周的 点到直线的距离为
设的方程为
的方程为
（2）设椭圆方程为，半焦距为c，则
椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则或
当时，所求椭圆方程为；
当时， 所求椭圆方程为
（3）设切点为N，则由题意得，椭圆方程为
在中，，则，
的方程为，代入椭圆中，整理得
设，则
18．（姜堰二中学情调查（三））（本小题共16分）
已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；
②若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心
率的取值范围；
（2）设直线与轴、轴分别交于点，，求证：
为定值．
18．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆：，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴． ……… 5分
（ⅱ）由及圆的性质，可得，
∴∴
∴，． ……… 10分
（Ⅱ）设，则
整理得
∴方程为：，
方程为：．∴，
∴,
直线方程为 ，即 ．
令，得，令，得，
∴，
∴为定值，定值是……… 16分
19．（姜堰二中学情调查（三））（本小题共16分）
已知M（p, q）为直线x+y-m=0与曲线y=-的交点，
且p
证明：
易证f（x）在（p,q）上单调……… 6分
又 ，……… 10
|f（）-f（）|=……… 16分
18 . （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分16分)
如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和
的中点，已知（为常数），平面上的点满足。
（1）试求点的轨迹的方程；
（2）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；
（3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程。
18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………（2分）
且半焦距长，长半轴长，则的方程为.………（5分）
⑵若点在曲线上，则.设，，则，. …………………………………………………………………………（7分）
代入，得，所以点一定在某一圆上.
………………………………（10分）
⑶由题意. ………………………………………………………………（11分）
设，则.┈┈┈①
因为点恰好是线段的中点，所以. 代入的方程得.┈┈┈②
联立①②，解得，.…………………………………………………（15分）
故直线有且只有一条，方程为. ……………………………………………（16分）
（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）
18 . （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分16分)
如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和
的中点，已知（为常数），平面上的点满足。
（1）试求点的轨迹的方程；
（2）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；
（3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程。
18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………（2分）
且半焦距长，长半轴长，则的方程为.………（5分）
⑵若点在曲线上，则.设，，则，. …………………………………………………………………………（7分）
代入，得，所以点一定在某一圆上.
………………………………（10分）
⑶由题意. ………………………………………………………………（11分）
设，则.┈┈┈①
因为点恰好是线段的中点，所以. 代入的方程得.┈┈┈②
联立①②，解得，.…………………………………………………（15分）
故直线有且只有一条，方程为. ……………………………………………（16分）
（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）
18．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分15分）
如图，已知椭圆 HYPERLINK "http://www." 的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当
线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．
解：（1）由已知，，直线 HYPERLINK "http://www." ．
设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M（4，）．
由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（4，3）．………………………4分
所以 HYPERLINK "http://www." ，．
HYPERLINK "http://www." ．……………………………………7分
（用余弦定理也可求得）
（2）设圆的方程为，将A，F，N三点坐标代入，得
HYPERLINK "http://www."
∵ 圆方程为，令 HYPERLINK "http://www." ，得．…11分
设 HYPERLINK "http://www." ，则．
由线段PQ的中点坐标为（0，9），得 HYPERLINK "http://www." ，．
此时所求圆的方程为 HYPERLINK "http://www." ．………………………………………15分
（本题用韦达定理也可解）
（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为－1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），
得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（－1，9）．…………………………………… 11分
易求得圆的半径为，………………………………………………………………13分
所以，所求圆的方程为 HYPERLINK "http://www." ．……………………………………… 15分
18. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）
已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
讲评建议：对于第二问题当初是仿照2004年江苏高考题命制，用，考查两解情况，后改为，但综合全题还是有一线教师认为运算量较大，后改为现在情况，改成中点后，命题思想完全发生了变化，改成中点，学生用中点坐标公式，是代数方法，而原来思维是方程思想，这一点引起各位注意，对于第三问，也是教材的习题，逆向思维，同时是对两个参量求最值，学生一般接触较少，当然此题也可转化成一个参数，即对平方法，两次用圆方程消元，达到目的，建议教师讲解。同时注意到，此圆是以椭圆的左准线的与x轴的交点为圆心，两个定点恰是椭圆的左右焦点，三问题之间非常和谐，融为一体。
18．（1）由椭圆E：，得：，，，
又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分
（2）由题意，得，代入，得，
所以的斜率为，的方程为， …………………8分
（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）
所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．
故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分
（3）设，，则由，得，
整理得①，…………………………12分
又在圆C：上，所以②，
②代入①得， …………………………14分
又由为圆C 上任意一点可知，解得．
所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分
18、（宿迁市高三12月联考）（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点 在椭圆的准线上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。
18、解：（1）由，得 ……………1分
又由点M在准线上，得 ……………2分
故， 从而 ……………4分
所以椭圆方程为 ……………5分
（2）以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为,半径 ……………7分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离 ……………9分
所以，解得
所求圆的方程为 ……………10分
（3）方法一：由平几知：
直线OM：，直线FN： ……………12分
由得
所以线段ON的长为定值。 ……………16分
方法二、设，则
又
所以，为定值。
18．（无锡市1月期末调研）(本小题满分16分)
已知椭圆 的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
当直线AM的斜率为时，求点M的坐标；
当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．
18．（1）直线AM的斜率为时，直线AM：， ……………………………………………1分
代入椭圆方程并化简得：， ……………………………………………2分
解之得，∴． ……………………………………………………4分
（2）设直线AM的斜率为，则AM：，
则 化简得：．……………………………6分
∵此方程有一根为，∴， ………………………………………………………7分
同理可得．……………………………………………………………………………8分
由（1）知若存在定点，则此点必为．…………………………………………………9分
∵，…………………………………………………11分
同理可计算得．……………………………………………………………………13分
∴直线MN过轴上的一定点． …………………………………………………………16分
19．（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)
已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，⊙是以为直径的圆.
（Ⅰ）当⊙的面积为时，求所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙与直线相切时，求⊙的方程；
（Ⅲ）求证：⊙总与某个定圆相切.
19．解：（Ⅰ）易得，设点P，
则，所以…3分
又⊙的面积为，∴，解得，∴，
∴所在直线方程为或………………5分
（Ⅱ）因为直线的方程为，且到直线的
距离为………………………………7分
化简，得，联立方程组，解得或…10分
∴当时，可得，∴⊙的方程为；
当时，可得，∴⊙的方程为…12分
（Ⅲ）⊙始终和以原点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作⊙）相切…13分
证明：因为，
又⊙的半径，∴，∴⊙和⊙相内切……16分
17．（盐城市第一次调研）(本小题满分16分)
已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．
过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另一点,且.
（Ⅰ）求⊙M和抛物线的方程；
（Ⅱ）若为抛物线上的动点,求的最小值；
（Ⅲ）过上的动点向⊙M作切线,切点为,
求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.
17．解：（Ⅰ）因为,即,所以抛物线C的方程为… 2分
设⊙M的半径为,则,所以的方程为……… 5分
（Ⅱ）设,
则=…8分
所以当时, 有最小值为2 ………………………………………10分
（Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦………… 11分
设点,则,所以⊙Q的方程为
…………………………………13分
从而直线QS的方程为(*)…………………………………………14分
因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为……16分
18. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分16分）
如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值；
（3）以为直径的圆是否过定点？
请证明你的结论．
18.（1），且过点，
解得 椭圆方程为.……………………………………4分
设点 则，
， 又，
的最小值为．…………………………………………………………………………10分
圆心的坐标为，半径.
圆的方程为，
整理得：. ……………………………………16分
，
令，得，.
圆过定点.……………………………………………………………………………16分
21. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分10分）
已知动圆过点且与直线相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.
21.（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分
证明：设， ∵， ∴ ，∴ 的斜率分别
为，故的方程为，的方程为 …7分
即，两式相减，得，又，
∴ 的横坐标相等，于是………………10分
18. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分16分）
如图，椭圆的左焦点为，上顶点为，
过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点.
⑴若,求实数的值；
⑵设点为的外接圆上的任意一点，
当的面积最大时，求点的坐标.
18.【解析】（1）由条件得
因为所以
令得所以点的坐标为.
由得解得（舍）
所以点的坐标为.
因为，所以且
（2）因为是直角三角形，
所以的外接圆的圆心为，半径为
所以圆的方程为.
因为为定值，所以当的面积最大时点到直线的距离最大.
过作直线的垂线，则点为直线与圆的交点 .
直线与联立得（舍）或
所以点的坐标为.
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
12．（江苏省南通市2010年高三二模）A、B是双曲线C的两个顶点，直线l与实轴垂直，与双曲线C 交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率e＝ ▲ ．
解析：设双曲线方程为，双曲线上点P(x,y)，
则,(x,y).由得
从而,又因点P在双曲线上,满足,另从题中知点P为任意可由两式比较得,则双曲线C的离心率e＝.
法二:由知为垂心,即PQ运动中始终要B点垂心;从而可假设三角形PAQ为等边三角形来处理.
7．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点（2，）与（，0），则双曲线的焦点坐标为 。
解析：由题意知设双曲线的方程为且,又过点（2，）
得,则双曲线的焦点坐标为.
13．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是 。
解：
2．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线 ( http: / / www. )相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .
5．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，则双曲线的焦点坐标是______▲_______．
解析：由双曲线的实轴长为2，离心率为2，
知，则，故双曲线的焦点坐标是。
（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数 ▲ ．2
9．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ▲ . w ww.ks 5u.c om
8、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）已知双曲线（为锐角）的右焦为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则的值为 ▲ . （2，1）
10、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线 ( http: / / www. )与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .
9．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，若原点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_____________．
13. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是 ▲ .
11、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）.以椭圆 （a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知△OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 。
3．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 。8
12．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷已知椭圆，是左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是______________．
二、解答题
18．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分15分）
平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，
⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
18．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分15分）
如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．
17．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的左焦点为，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA的斜率为，直线MA的斜率为，求的取值范围．
17．解：（1）由已知，得
……………………………………2分
18．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分16分）
设椭圆的左，右两个焦点分别为，，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且为正方形。
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在轴上的一个截距为，求此椭圆方程。
2．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分8分）
已知动抛物线的准线为轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程。
（本题满分8分）
设抛物线的顶点坐标为， ……………………3分
由题意得， ………………6分
即顶点的轨迹方程为 ………………8分
18．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（15分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，且分别为椭圆的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的取值范围。
（3）试问在圆上，是否存在一点，使的面积（其中为椭圆的半长轴长，为椭圆的半短轴长，为椭圆的两个焦点），若存在，
求的值，若不存在，请说明理由。
18、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（16分）如图，已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为。圆D：。
（1）若圆D过两点，求椭圆C的方程；
（2）若直线上不存在点Q，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。
（3）在（Ⅰ）的条件下，若直线与轴的交点为，将直线绕顺时针旋转得直线，动点P在直线上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值。
18、解：（1）圆与轴交点坐标为，
，，故， …………………………………………2分
所以，椭圆方程是： …………………………5分
18．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
已知半椭圆和半圆
组成曲线，其中；如图，半椭圆
内切于矩形，
且交轴于点，点是半圆上
异于的任意一点，当点位于点时，
的面积最大。
（1）求曲线的方程；
（2）连、交分别于点，求证：为定值。
令，得，
所以； （12分）
则
，
又由，得，代入上式得
，所以为定值。 （16分）
18. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。
，可解得
因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.
………………………………………………………………………………………16分
23. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）【必做题】如图，已知抛物线的准线为，为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，再分别过，两点作的垂线，垂足分别为，．
（1）求证：直线必经过轴上的一个定点，并写出点的坐标；
（2）若，，的面积依次构成等差数列，求此时点的坐标．
又因为，，
时，，，
所以所求点的坐标为． ………………………………10分
18．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分16分）
已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；
若直线被圆和圆截得的弦长之比为；
（1）求椭圆的离心率；
（2）己知a=7，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，得直线的倾斜角为，
则点到直线的距离，
故直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为， （3分）
据题意有：，即， （5分）
化简得：，
解得：或，又椭圆的离心率；
故椭圆的离心率为．（7分）
17．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷如图，已知椭圆的左顶点、右焦点分别为、，右准线为，为上一点，且在轴上方，与椭圆交于点。
⑴若，求证：；
⑵设过三点的圆与轴交于两点，求的最小值。
第14讲 解析几何问题的题型与方法
一、知识整合
能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.
2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.
理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程：（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.
5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.
二、近几年高考试题知识点分析
2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．
1．选择、填空题
1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主
（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查
例1 以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________．
（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查
例2已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是
（A） （B） （C） （D）2
1．2 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查
例3若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
2．解答题
解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单．
例4已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线l的斜率．
本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高．
解：（I）设所求椭圆方程是
由已知，得 所以.
故所求的椭圆方程是
（II）设Q（），直线
当由定比分点坐标公式，得
.
于是 故直线l的斜率是0，.
例5设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
（II）设
由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
例6给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.
（Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小；
（Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围.
解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将代入方程，并整理得
设则有
所以夹角的大小为
（Ⅱ）由题设 得
即
由②得， ∵ ∴③
联立①、③解得，依题意有
∴又F（1，0），得直线l方程为
当时，l在方程y轴上的截距为
由 可知在[4，9]上是递减的，
∴
直线l在y轴上截距的变化范围为
从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆．
三、热点分析
1．重视与向量的综合
例7平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中、∈R，且＋=1，则点C的轨迹方程为
（A）（x－1）2＋（y－2）2=5 （B）3x＋2y－11=0
（C）2x－y=0 （D）x＋2y－5=0
例8已知点、，动点，则点P的轨迹是
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线
2．考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高
3．与数列相综合
例9如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),
（Ⅰ）求及;
（Ⅱ）证明
（Ⅲ）若记证明是等比数列.
解：(Ⅰ)因为，所以，又由题意可知，
∴== ∴为常数列.∴
(Ⅱ)将等式两边除以2，得
又∵，∴
（Ⅲ）∵
又∵
∴是公比为的等比数列.
4．与导数相综合
近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分别与向量综合．
例10如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:
（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 ①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得
又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而.
所以
（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.
由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是则
解之得
所以圆C的方程是 即
5．重视应用
例11某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
（二）高考预测
1．难度：解析几何内容是历年来高考数学试题中能够拉开成绩差距的内容之一，该部分试题往往有一定的难度和区分度。
2．命题内容：从今年各地的试题以及前几年的试题来看，解答题所考查的内容基本上是椭圆、双曲线、抛物线交替出现的，所以，今年极有可能考双曲线的解答题．此外，从命题所追求的目标来看，小题所涉及的内容一定会注意到知识的覆盖，兼顾到对能力的要求．
3．命题的热点：
（1）与其他知识进行综合，在知识网络的交汇处设计试题（如与向量综合，与数列综合、与函数、导数及不等式综合等）；
（2）直线与圆锥曲线的位置关系，由于该部分内容体现解析几何的基本思想方法——用代数的手段研究几何问题，因此该部分内容一直是考试的热点。
（3）求轨迹方程．
（4）应用题．
四、复习建议
1．根据学生的实际，有针对性地进行复习，提高复习的有效性
2．重视通性通法，加强解题指导，提高解题能力
在复习中，不能仅仅复习概念和性质，还应该以典型的例题和习题为载体，在二轮复习中强化各类问题的常规解法，使学生形成解决各种类型问题的操作范式．数学学习是学生自主学习的过程，解题能力只有通过学生的自主探究才能掌握．所以，在二轮复习中，教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨和点评，只有这样，才能够实施有效复习．
3．注意强化思维的严谨性，力求规范解题，尽可能少丢分
在解解析几何的大题时，有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象，因此，要通过平时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调，减少或避免无畏的丢分．
例14设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
还有，在设直线方程为点斜式时，就应该注意到直线斜率不存在的情形；又如，在求轨迹方程时，还要注意到纯粹性和完备性等．
五、参考例题
例1、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。
解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥
说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。
例2、已知x、y满足约束条件
x≥1，
x-3y≤-4，
3x+5y≤30，
求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.
解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.
作直线：2x-y=0，再作一组平行于的直线：2x-y=t，t∈R.
可知，当在的右下方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＞0，即t＞0，而且直线往右平移时，t随之增大.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当在的左上方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＜0，即t＜0，而且直线往左平移时，t随之减小.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小.
x-3y+4=0，
由 解得点B的坐标为（5，3）；
3x+5y-30=0，
x=1，
由 解得点C的坐标为（1，）.
3x+5y-30=0，
所以，=2×5-3=7；=2×1-=.
例3、 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故，
所以直线AB方程是
（2）连接MB，MQ，设由
点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到，可得
说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
例4、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
解：∵（1）原点到直线AB：的距离.
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得 .
设的中点是，则
即
故所求k=±.
说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.
例5、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
解：（1）∵，∴。
∵是共线向量，∴，∴b=c,故。
（2）设
当且仅当时，cosθ=0，∴θ。
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。
圆锥曲线过关测试
过点P（2，1）且被圆x2+y2－2x+4y=0，截得的弦长最大的直线的方程是
直线当k变动时，所有直线都过定点
3、直线和直线平行的充要条件是
4、方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆方程，则t的取值范围是
5、过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是
6、已知圆C过点A（4,-1）,且与圆相切于点B（1,2）,则圆C
的方程为
7、过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率=
8、若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆, 那么实数k的取值范围是
9、抛物线y=ax2 的准线方程是y=2，则a的值为
10、已知双曲线－＝1的一条准线与抛物线y＝4x的准线重合,则双曲线的离心率为
11、已知椭圆的两个焦点为 ，且，弦AB过点，则△的周长为
12、已知P是以F1、F2为焦点的椭圆(a>b>0)上一点，若=0，
tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为
13、已知圆：和圆，直线与圆相切于点；圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．
(Ⅰ)求直线的方程； (Ⅱ)求圆的方程．
14、已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；
(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系 若是,请证明；若不是,请说明理由.
参考答案
1、3x－y－5=0 2、（3，1） 3、 4、 5、(x-2)2+(y-1)2=5
6、 7、 8、(0, 1) 9、 10、
11、 12、
13、解：(Ⅰ)（法一）∵点在圆上，
∴直线的方程为，即．
（法二）当直线垂直轴时，不符合题意．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．
则圆心到直线的距离，即：，解得，
∴直线的方程为．
（Ⅱ）设圆：，∵圆过原点，∴．
∴圆的方程为．
∵圆被直线截得的弦长为，∴圆心到直线：的距离：
．
整理得：，解得或．
∵，∴．
∴圆：．
14、解：(Ⅰ)因为,所以c=1
则b=1,即椭圆的标准方程为
(Ⅱ)因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x(7分)
又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4)
所以,又,所以,即,
故直线与圆相切
(Ⅲ)当点在圆上运动时,直线与圆保持相切
证明:设(),则,所以,,
所以直线OQ的方程为
所以点Q(－2,)
所以,又,
所以,即,故直线始终与圆相切
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
M
EMBED Equation.3
．
x
N
M
O
y
A
B
l:x=t
A
B
O
M
P
Q
y
x
l
l1
（第18题）
P
第19题
x
y
A
F1
F2
·
M
O
·
O
l
x
y
A
B
F
·
M
第17题
O
M
N
F2
F1
y
x
（第18题）
O
F
x
y
·
·
P
第22题
O
F
x
y
·
·
P
第22题
4
O
y
xy
x
y
O
F
B
Q
P
第13题
l
A
B
Q
F
P
O
x
y
（第18题）
M
A
P
F
O
x
y
（第17题图）
A
B
C
D
N
O
x
y
A
·
F2
F1
y
B
x
O
·
①
②
x
y
O
P
F
Q
A
B
第14题
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