广东省深圳市富源学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

富源学校2020-2021学年度下学期高一数学期中试题
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)
一.单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知中，，则等于（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
3．如图，在ABCD中，点E是AB的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，，，则原梯形的面积为( )
A． B． C．8 D．4
5．在中，若，，则外接圆的半径为（ ）
A．6 B． C．3 D．
6．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．复数z的共轭复数为
C． D．
10．以下命题（其中a，b表示直线，表示平面），其中错误的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若，，，则
11．在锐角中，边长，，则边长c可能的取值是（ ）
A． B．2 C． D．
12．在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，若与的夹角为，则以下结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的范围为
C．当时， D．当时，
第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)
二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量，的夹角为30°，||＝2，||，则|2|＝_______.
14．在中，，，分别为角，，的对边．已知，，则__________.
15．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于__________象限.
16.如图，在直三棱柱底面为直角三角形，,是上一动点，则的最小值为 _________ .

四、解答题 （本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）在中，，，________，求边上的高.从①②③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
18．（本小题满分12分）已知复数满足.
（1）求；
（2）若，求.
19．（本小题满分12分）如图，在多面体中，为等边三角形，，，，点为边的中点.
（1）求证：平面.
（2）在上找一点使得平面平面，并证明.
20. （本小题满分12分） 已知向量，.
（I）求向量与向量夹角的余弦值
（II）若，求实数的值.
21．（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
22．（本小题满分12分）如图，正方体的棱长为1，点在棱上，过，，三点的正方体的截面与直线交于点.
（1）找到点的位置，作出截面（保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知，求将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
2020-2021学年度第二学期高一数学答案
1-5 BDBCC 6-8 DBD
9.ABD 10.ABC 11.BD 12.ACD
13. 14. 90°或30° 15. 第一 16.
17.选择①：
在中，由正弦定理，
得，所以，
由余弦定理，
得，
，解得，
边上的高.
选择②：在中，由，得，
由余弦定理，
得，
化简，解得，
边上的高.
选择③：
在中，由，
得，所以，
由余弦定理，
得，
，
解得，
所以或，
边上的高
18.（1）设复数，则
由复数相等得，解得
（2）由（1）得
∴
∵
∴
∴.
19.（1）取中点，连接，，
∵，，
∴是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）点为的中点.
证：连接，，
因为、分别是，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为，，所以且，
即四边形是平行四边形，所以，
因为平面，所以平面.
又因为，所以平面平面.
20.解：（1），设与的夹角为，
所以 ，
（2） ，
∴ ，解得
（Ⅰ）由
得：，
∴
∴
所以，
∴，∵，∴.
（Ⅱ）∵，，
∴
（当且仅时取等号）
又，
∴.
22.解：（1）在正方形中，过作，且交棱于点，
连接，在正方形内过作，且交棱于点，
连接，，则四边形就是要作的截面.
理由：由题意，平面平面，
平面，平面平面，应有，
同理，，所以四边形应是平行四边形，
由作图过程，，，又，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，，
由作图过程，.又，
所以四边形是平行四边形，所以，，
又，，所以，且，
所以是平行四边形，四边形就是要作的截面.
（2）由题意，，
由（1）的证明过程，可得，
连接，则平面将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥与四棱锥的组合体，
，
而该正方体的体积，.所以.
9