7.3.2 复数乘除运算的三角表示及其几何意义课件（共19张PPT）

第7章 复 数
7.3.2 复数乘除运算的
三角表示式及其几何意义
x
?
y
?
O
?
????
?
????2
?
????1
?
????????
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????????
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????????+????????
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????????°
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????
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????????
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x
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y
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O
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????????????°
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????
?
????????
?
高中数学人教A版（2019）必修 第二册
复数三角形式的乘法
若复数 ????1=????1????????????????1+?????????????????????1?,????2=????2????????????????2+?????????????????????2,且 ????1≠????2，则
?
= ????1????2????????????????1????????????????2?????????????????1????????????????2+????????1????2????????????????1????????????????2?????????????????1????????????????2
?
????1????2 = ????1????????????????1+?????????????????????1·????2????????????????2+?????????????????????2
?
= ????1????2[????????????????1+????2+?????????????????????1+????2]
?
即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
例
求 ????????????75°+?????????????????75°+(????????????15°+?????????????????15°)
?
两个复数相乘等于它们的模相乘而辐角相加.
【解】 ????????????75°+?????????????????75°+(????????????15°+?????????????????15°)
?
=????????????75°+15°+?????????????????75°+15°
?
=?????????????90°+????????????????? 90°
?
=????
?
探究新知
复数乘法的几何意义
复数乘法的几何意义
x
?
y
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O
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????
?
????2
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????1
?
????????
?
????????
?
????????+??????
?
两个复数 ????1,????2 相乘时，可以先分别画出与 ????1,????2 对应的向量 ????????1,????????2 ，然后把向量 ????????1 绕点 ???? 按逆时针旋转角 ????2(????2>0;如果?????2<0,就要把?????????1?绕点??????按顺时针方向旋转?|????2|)，再把它的模变为原来的 ????2 倍，得到向量 ????????, ???????? 表示的复数即为
????1????2 .
?
探究新知
复数乘法的几何意义
由复数乘法的几何意义得，两个复数的乘积可看成是向量的旋转与伸缩，那么复数对应向量的旋转与伸缩也可以转化为复数的乘积.
向量的旋转(伸缩)与两个复数的乘积的关系
当向量只涉及旋转时，????′=1?.
?
将复数 ????=????+???????? 对应的向量 ???????? 绕点 ???? 按逆时针方向旋转 ????′ (顺时针旋转即 ????′<0 )，模长伸长为原来的 ????′ 倍，得到 ????????′，则等价于复数 ???? 乘以一个模长为 ????′?，辐角的主值为 ????′ 的复数，即 ????′=????+????????·????′(????????????????′+?????????????????????′).
?
例如，向量 ???????? 与复数 ?1+???? 对应，把 ???????? 按逆时针方向旋转120°，得到????????′?，则 ????′=?1+????·(????????????120°+?????????????????120°).
?
探究新知
复数乘法的几何意义
=????????????5????6+?????????????????5????6
?
=?5????2+?12????
?
将复数 ???? 对应的向量 ???????? 绕原点按逆时针方向旋转 ????3 ，得到向量 ????????，则 ???????? 对应的复数是多少？
?
【解析】 ????=????????????????2+?????????????????????2,将????????绕原点按逆时针方向旋转????3得到????????
?
则?????????=????????????????2+?????????????????????2· ????????????????3+?????????????????????3
?
例题讲解
复数三角形式的除法及其几何意义
设 ????1=????1????????????????1+?????????????????????1,????2=????2????????????????2+?????????????????????2， 且?????1= ????2，因为
?
复数三角形式的除法
????2????????????????2+?????????????????????2· ????1????2????????????????1+????2+?????????????????????1+????2= ????1????????????????1+?????????????????????1?，
?
所以根据复数除法的定义，有
????1????????????????1+?????????????????????1????2????????????????2+?????????????????????2=????1????2[????????????????1?????2+??????????????????(????1?????2?)]
?
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
探究新知
复数三角形式的除法及其几何意义
复数除法的几何意义
在复平面内，把与复数 4+43? 对应的向量绕原点 ???? 按顺时针方向旋转15°，求与所得向量对应的复数(用代数形式表示)
?
【解析】与所得向量对应的复数为
(4+43?) ÷ (????????????15°+?????????????????15°)
?
=8?(????????????60°+?????????????????60°)÷ (????????????15°+?????????????????15°)
?
=8cos60°?15°+??????sin?(60°?15°)
?
=8(????????????45°+?????????????????45°)
?
=42+42?
?
设 ????1,????2 所对应的向量分别为 ????????1,????????2，复数的除法 ????1????2 在几何上可以理解为将向量 ????????1 的模 ????1 缩小为原来的 1????2?，然后再将它绕原点顺时针旋转角 ????2?，得到的向量 ???????? .
?
例题讲解
复数三角形式的除法及其几何意义
高阶拓展
利用复数的乘法不难得到如下结论——
????????=??????(?????????????????????+??????????????????????????)
?
这说明，复数的 ???? 次方等于它模的 ???? 次方，辐角的 ???? 倍.
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???????? 的几何意义是将向量 ???????? 的模变为原来的 ???? 次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角 (?????1)????，就得到 ???????? 对应的向量.
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探究新知
计算时未化为标准三角形式
【错解】 4????????????????12+?????????????????????1212????????????????3+?????????????????????3+2(????????????5????4+?????????????????5????4)
?
计算 4????????????????12+???????????????????1212????????????????3+?????????????????????3+2(????????????5????4+?????????????????5????4)
?
=4×12[????????????????12+????3+??????????????????(????12+????3)]+2(????????????5????4+?????????????????5????4)
?
=2????????????5????12+?????????????????5????12+2(????????????5??4+?????????????????5????4)
?
=2????????????5????12+2?????????????????5????12+2????????????5????4+2?????????????????5????4
?
=2????????????5????12+2????????????5????4+?????2????????????5????12+2?????????????5????4
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本题错在 12????????????????3+?????????????????????3 不是负数三角形式的标准式，应该化为 12????????????????6+?????????????????????6
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计算时未化为标准三角形式
【正解】 4????????????????12+?????????????????????1212????????????????3+?????????????????????3+2(????????????5????4+?????????????????5????4)
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【1】计算 4????????????????12+?????????????????????1212????????????????3+?????????????????????3+2(????????????5????4+?????????????????5????4)
?
=4????????????????12+?????????????????????1212????????????????3+?????????????????????3+2(????????????5????4+?????????????????5????4)
?
=4×12????????????????12+????6+????????????????????12+????6+2(????????????5????4+?????????????????5????4)
?
=2(????????????????4+?????????????????????4)+2(????????????5????4+?????????????????5????4)
?
=2+2?????+?2?2?????=0
?
计算时未化为标准三角形式
1????=????0(????????????30°+?????????????????30°) 2????=?????0·(?12+32????)
?
【2】已知复数 ????0 所对应的向量 ????????0，通过作图，画出下列复数 ???? 所对应
的向量 ?????????:
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x
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y
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O
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????????°
?
????
?
????????
?
图①
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x
?
y
?
O
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????????????°
?
????
?
????????
?
图②
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(1)乘数 ????????????30°+?????????????????30° 不是复数的三角形式，应该化成co????60°+?????????????????60°, 这样才能应用复数乘法的几何意义来解题
?
【错解】 1将 ????????0 绕点 ???? 逆时针旋转30°，得到 ?????????，如图①
?
2将 ????????0 绕点 ???? 逆时针旋转120°，再关于 ???? 轴作对
称，得到 ?????????，如图②
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(2)旋转120°之后，取其反方向的向量，模不变，得到 ????????
?
计算时未化为标准三角形式
【2】已知复数 ????0 所对应的向量 ????????0，通过作图，画出下列复数 ???? 所对应
的向量 ?????????:
?
1????=????0(????????????30°+?????????????????30°) 2????=?????0·(?12+32????)
?
x
?
y
?
O
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????????°
?
????
?
????????
?
图③
?
x
?
y
?
O
?
????????????°
?
????
?
????????
?
图④
?
【正解】 1∵ ????=????0(co????60°+?????????????????60°),∴将 ????????0 绕点 ???? 逆时针旋转60°，得到
????????，如图③
?
????????
?
2 ∵ ????=?????0(co????120°+?????????????????120°),∴将 ????????0 先绕点逆时针旋转120°，得 ????????1，再取其反向向量得到 ?????????，如图④
?
计算：
题①
——复数三角形式的乘法
【解】 2????????????2????3+?????????????????2????33????????????????6+?????????????????????6
?
2????????????2????3+?????????????????2????33????????????????6+?????????????????????6
?
=2×3????????????2????3+????6+????????????????2????3+????6
?
=6(??????????5????6+?????????????????5????6)
?
=?33+3?
?
两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角，若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后再进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示.
计算 ?1+????[3(????????????7????4+?????????????????7????4)]
?
【解】 ?1+????[3(????????????7????4+?????????????????7????4)]
?
题
=2????????????3????4+?????????????????3????4·3????????????7????4+?????????????????7????4
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=6cos3????4+7????4+?????????????????3????4+7????4
?
=6(????????????5????2+?????????????????5????2)
?
=6?????
?
变式训练
计算：
题②
——复数三角形式的除法
【解】 ????3÷?12????????????120°+?????????????????120°
?
????3÷?12????????????120°+?????????????????120°
?
两个三角形式的复数相除，则商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.若出现复数的代数形式，先转化为复数的三角形式，再计算
=?????÷?12????????????120°+?????????????????120°
?
=(????????????270°+?????????????????270°)÷?12????????????120°+?????????????????120°
?
=2[?????????????(270°?120°)+????????????????? (270°?120°)]
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=2(????????????150°+?????????????????150°)
?
=?3+????
?
计算 4????????????4????3+?????????????????4????3÷2?????????????5????6+?????????????????5????6
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【解】 4????????????4????3+?????????????????4????3÷2?????????????5????6+?????????????????5????6
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题
=2????????????4????3??5????6+?????????????????????????????4????3??5????6
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=2????????????????2+?????????????????????2
?
=2??????
?
变式训练
题③
——复数乘法、除法的几何意义
设 ????=3????? 对应的向量为 ????????，将 ???????? 绕点 ???? 按顺时针方向旋转60°，求所得向量对应的复数(用代数形式表示).
?
【解】将 ???????? 绕点 ???? 按顺时针方向旋转60°所得的向量对应的复数为
?
3??????????????????60°+??????????????????60°
?
=2????????????330°+?????????????????330°[??????????????60°+??????????????????60°]
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=2????????????270°+?????????????????270°
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=20??????
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=?2????
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谢谢聆听