7.3.1 复数的三角表示式-课件（共19张PPT）

第7章 复 数
7.3.1 复数的三角表示式
????=????+????????(????,????∈????)
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????????????????=????????????≠0
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????=?????????????????θ,????=?????????????????θ
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????=????(????????????????+?????????????????????)
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高中数学人教A版（2019）必修 第二册
复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
复数的三角形式
????
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????
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????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
θ
?
????=????+????????=????(????????????????+?????????????????????)
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一般地，如果非零复数 ????=????+????????(????,????∈????) 在复平面内对应点为 ????(????,????)，且 ???? 为向量 ???????? 的模，θ 是以 ???? 轴的非负半轴为始边，射线 ???????? 为终边的一个角，则 ????=????=????2+????2,????=?????????????????θ,????=?????????????????θ，从而
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任何一个复数 ????=????+???????? 都可以表示成 ????(????????????????+?????????????????????) 的形式，其中 ???? 是复数 ???? 的模；???? 是以 ???? 轴的非负半轴为始边，向量 ???????? 所在射线(射线????????)为终边的角，叫做复数 ????=????+???????? 的辐角， ????(????????????????+?????????????????????) 叫做复数 ????=????+???????? 的三角表示式，简称三角形式.
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探究新知
复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
复数的三角形式条件 ????=????(????????????????+?????????????????????)
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为了与三角形式区分开来， ????+???????? 叫做复数的代数表示式，简称代数形式
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????>0
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中间用加号连接
???????????????? 在前， ???????????????? 在后
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???? 在前后一致，可为任意值
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探究新知
复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
复数的辐角
设复数 ????=????+???????? 的对应向量为 ???????? ，以 ???? 轴的非负半轴为始边，向量 ???????? 所在的射线(起点为 ???? )为终边的角 ????，叫做复数 ???? 的辐角，记作 ?????????????????.
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根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差 2???? 的整数倍.其中在 0≤????<2???? 范围内的辐角 ???? 的值为辐角的主值，通常记作 ???????????????? .
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如：复数 ???? 的辐角是 ????2+2????????，其中???? 可以取任何整数，辐角的主值 ????????????????=????2
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①当 ????∈????* 时， ????????????????=0,?????????????????=????,
?????????????????????=????2,?????????????????????= 3????2
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②因为复数0对应零向量，而零向量的方向是
任意的，所以复数0的辐角是任意的
探究新知
复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
【例】复数 ????=3?? 的三角形式为（ ）
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????.??2????????????2????3+?????????????2????3
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????.??2????????????5????3??????????????5????3
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????.??2????????????7????6??????????????7????6
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????.??2????????????11????6+?????????????11????6
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【解】因为 ????=2，所以 ????????????????=32，又因为与????=3?? 对应的点在
第四象限，所以 ????????????3???= 11????6?，
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所以 ????=3??=2????????????11????6+?????????????11????6
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例题讲解
复数代数形式和三角形式的互化
以三角形式表示的复数 ????=????(????????????????+?????????????????????) ，只要计算出三角函数值，应用 ????=?????????????????θ,????=?????????????????θ, 就可以转化成代数形式；反之，以代数形式表示的复数 ????=????+????????≠0?，若限定辐角取辐角的主值，只要应用 ????=????2+????2,????=0,????????????????=????????,????????????????=????????，计算出模及辐角的主值，就可以转化成三角形式.
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????=????+????????(????,????∈????)
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代数形式与三角形式的互化——
????????????????=????????????≠0
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????=?????????????????θ,????=?????????????????θ
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????=????(????????????????+?????????????????????)
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三角形式下复数相等：每一个不为零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的辐角的模与主值唯一确定.因此两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
探究新知
对复数的三角形式理解不清
【解】(1)不符合复数三角形式的结构特征，故错误；
判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”
(1) ????=2????????????????4??????????????????4 是复数 ????=1????? 的三角形式
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(2) 复数0没有三角形式
(3)复数 ?????=2[?????????????????6+??????????????????????6]的辐角的主值为 ?????6
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(2)任意复数都有三角形式，复数0的三角形式可写成 0????????????????+?????????????????????,
其中 ???? 可以为任意值，故错误；
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(3)辐角的主值在 [0,2????] 内， ?????6 只是一个辐角，故错误
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下列复数是不是三角形式？如果不是，请把它表示成三角形式.
题①
——复数三角形式的判断和变形
【解】(1)由“角相同”知，不是三角形式；
1????1=????????????60°+?????????????????30°;
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2????2=2(????????????????5??????????????????????5);
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3????3=?????????????????+?????????????????????
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????1=????????????60°+?????????????????30°=12+12????;
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????1=????=122+122=22
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????????????????=????4与对应的点在第一象限，所以取 ????=????4
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即 ????1=????????????60°+?????????????????30°=22(????????????????4+?????????????????????4)
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下列复数是不是三角形式？如果不是，请把它表示成三角形式.
题①
——复数三角形式的判断和变形
【解】(2)由“加号连”知，不是三角形式.复平面上的点 ????2(2????????????????5,?2????????????????5)
在第四象限,不需要改变三角函数的名称，可用诱导公式 “2?????????5” 或
“?????5” 将角变成第四象限角.
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1????1=????????????60°+?????????????????30°;
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2????2=2(????????????????5??????????????????????5);
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3????3=?????????????????+?????????????????????
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所以 ????2=2????????????????5??????????????????????5=2?????????????????5+??????????????????????5 或
????2=2????????????????5??????????????????????5=2cos2?????????5+?????????????????2?????????5=2(????????????9????5+?????????????????9????5)
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考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一
下列复数是不是三角形式？如果不是，请把它表示成三角形式.
题①
——复数三角形式的判断和变形
【解】(3)由“余弦前”知，不是三角形式.复平面上的点 ????3(?????????????????,????????????????) 在第三
象限(假定 ???? 为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式 “????2+????”
将角变换为第二象限角.
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1????1=????????????60°+?????????????????30°;
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2????2=2(????????????????5??????????????????????5);
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3????3=??????????????????????????????????????
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所以 ????3=??????????????????????????????????????=cos????2+????+?????sin?(????2+????)
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复数 ????=?2(?????????????????+?????????????????????) 是不是三角形式？若不是，请把它转化成三角形式.
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【解】由 “模非负” 可知，不是三角形式
题
复平面上的点 ????(?2????????????????,?2sin????) 在第三象限(假定 ???? 为锐角)
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余弦 “?????????????????” 已在前，不需要变换三角函数名称，
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因此可用诱导公式 “????+????” 将辐角变换为第三象限角.
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所以 ????=?2(?????????????????+?????????????????????)=2[????????????????+????+??????????????????(????+????)]
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变式训练
求 12(????????????????4??????????????????????4) 的模和辐角的主值.
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题②
——复数的辐角的主值
【解】????=12????????????????4??????????????????????4
?????????????????=12[?????????????????4+??????????????????(?????4)]
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所以复数的模是 12
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复数的辐角是 2?????????????4(????∈????) ，
辐角的主值是 7????4
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在 [0,2????]内的辐角叫做辐角的主值，除了0之外每个复数有且只有一个辐角的主值，一般先用复数 ????对应的点 ????(????,????) 确定辐角 ???? 的终边所在象限，再由 ????????????????=???????? 确定在 [0,2????] 内的角 ????，即为 ???????????????? .也可以根据三角形式直接求出辐角的主值，注意不是三角形式的要先转化为三角形式
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题
已知复数 ???? 满足 ????+1????+1=????2,且 ?????1????+1 是纯虚数，求??????的值
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【解】 由 ????+1????+1=????2,得 ????????+????+????+1=|????|2
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因为????????=????2,所以 ????+????+1=0，所以 ????+????=?1
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由 ?????1????+1 是纯虚数得 ?????1????+1+?????1????+1=0,?所以 ?????1????+1+?????1????+1=0
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所以 ???????????????????1+?????????????+?????1(????+1)(????+1)=0,所以 2????????=2,即????????=1
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所以?????=?12±32?
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于是?????,?????是方程?????2+????+1=0 的两根，解得 ????=?12±32?
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变式训练
把下列复数转化为三角形式
题③
——复数代数形式转化为三角形式
【解】1????=3+1=2,因为3+???? 对应的点在第一象限，
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代数形式转三角形式：
13+????????????????22?2????
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∴ ????????????????=32,取 ????=????6,∴3+?=2(????????????????6+?????????????????????6)
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2????=2+2=2,????????????????=22,
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又因为 2?2???? 对应的点位于第四象限，
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所以取 ????=7????4
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所以?2?2????=2(????????????7????4+?????????????????7????4)
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①先求复数的模
②确定辐角的终边所在
的象限
③根据辐角终边的位置
求出辐角
④求出复数的三角形式
题
把下列复数表示成三角形式
【解】(1)????1=3 ????????????????6+?????????????????????6
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(2)????2=5 ????????????135°+?????????????????135°?
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(1)????1=3 ????????????????6+?????????????????????6?
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=3×32+3×12?=332+32?
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(2)????2=5 ????????????135°+?????????????????135°?
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=5×?22+5×22????
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=522+522????
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变式训练
指出复数 2(????????????????3??????????????????????3) 的模和辐角的主值，并表示成代数形式
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题④
——复数的三角形式转化为代数形式
【解】 2????????????????3??????????????????????3
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把复数从三角形式转化成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可
=2(????????????5????3+?????????????????5????3]
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=2[????????????2?????????3+?????????????????2?????????3]
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所以复数的模是 2,辐角的主值是 5????3
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所以?2????????????5????3+?????????????????5????3=2????????????5????3+2?????????????????5????3=212+2?32????=1?3????
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题
把复数 ????=?2 ????????????34????+?????????????????34?????表示成三角形式
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【解】 ????=?2 ????????????34????+?????????????????34????=?2+2?
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????=2+2=2, 对应的点在第二象限
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且 cos????=?22，所以取 ????=34????
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所以 ?2 ????????????34????+?????????????????34?????
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=2 ????????????34????+?????????????????34?????
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变式训练
谢谢聆听