7.2.1 复数的加减运算及其几何意义课件（共17张PPT）

第7章 复数
7.2.1 复数的加减运算及其几何意义
高中数学人教A版（2019）必修 第二册
复数代数形式的加法运算及其几何意义
复数的加法法则
设 ????????=a+b?,????2=????+?????(????,????,????,????∈????) 是任意两个复数，那么它们的和
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a+b?+????+????????=????+????+????+????????
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两个复数的和仍然是一个确定的复数
复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情况
当 ????=????=0 时，复数的加法法则与实数的加法法则一致.
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探究新知
复数代数形式的加法运算及其几何意义
复数加法法则满足的交换律
复数的加法满足交换律、结合律.对任意 ????1,????2,????3∈????，有：
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????????+????????=????????+????????
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【向量】若 ????=????+2????,????=2????+3????，则 ????+????=3????+5????
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【复数】若 ????1=1+2????,????2=2+3????，则?????1+????2=3+5????
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????????+????????+????????=????????+????????+????????
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复数加法的方法与向量加法类比
探究新知
复数代数形式的加法运算及其几何意义
????????(a,b)
?
x
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????
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????
?
????????(????,????)
?
????
?
????=????+????+????+????????
?
复数加法的几何意义
在复平面内，设复数 ????1=a+b????, ????2=????+????????
(????,????,????,????∈????)对应的向量分别为 ????????1,????????2，则 ????????1
=????,????,????????2=????,????.以 ????????1,????????2 为邻边作平行四边形 ????????1????????2 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算法则,可得
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????????=????????1+????????2=????,????+????,????=????+????,????+????,即
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即对角线 ???????? 表示的向量 ???????? 就是与复数 ????+????+????+???????? 对应的向量.
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这说明两个向量 ????????1 与 ????????2 的和就是与复数 ????+????+????+???????? 对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.
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探究新知
复数代数形式的减法运算及其几何意义
复数的减法法则
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 ????+????????+????+????????=????+?????? 的复数 ????+????????????,????∈???? 叫做复数 ????+????????????,????∈???? 减去复数 ????+????????????,????∈???? 的差，记作 ????+?????????(????+????????).
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1
根据复数相等的定义，有 ????+????=????,????+????=????，因此 ????=?????????,????=?????????，所以 ????+????????=?????????+????+????????，即 ????+?????????????+????????=?????????+?????????????.这就是复数减法的法则
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由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
①两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减；
②把复数的代数形式看成关于 ?????的多项式，则复数的加减法类似于实数的多项式的加减法，只需“合并同类项”即可.
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探究新知
复数代数形式的减法运算及其几何意义
复数减法的几何意义
2
????????(a,b)
?
x
?
????
?
????
?
????????(????,????)
?
????
?
在复平面内，设复数 ????1=a+b????, ????2=????+????????
(????,????,????,????∈????)对应的向量分别为 ????????1,????????2，则这两个复数的差 ????1?????2 对应的向量是 ????????1?????????2，即向量 ????2????1.
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如果作 ????????=????2????1 ，那么点 ???? 对应的复数就是
????1?????2 (如图所示).
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这说明两个向量 ????????1 与 ????????2 的差 ????2????1 就是复数 ?????????+????????????? 对应的向量.因此复数的加法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.
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【向量】若 ????=????+2????,????=2????+3????，
则 ?????????=??????????
?
【复数】若 ????1=1+2????,????2=2+3????，
则?????1?????2=?1?????
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类比向量减法
探究新知
|????1?????2|(????1,????2∈????) 的几何意义
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在复平面内，设复数 ????1=a+b????, ????2=????+????????(????,????,????,????∈????)对应的点分别为????1a,b,????2(????,????)，则 ????1????2=?????????2+?????????2 .又复数 ????1?????2=?????????+????????????? ，则 ????1?????2= ?????????2+?????????2.所以 ????1????2=????1?????2，即????1?????2 表示复数 ????1, ????2 在复平面内对应的点之间的距离.
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????????(a,b)
?
x
?
????
?
????
?
????????(????,????)
?
????1?????2
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复平面内两点之间的距离公式与平面直角坐标系内两点之间的距离公式具有一致性.
探究新知
利用复数的几何意义判断图形
利用复数的集合意义判别图形时，常见的方程如下：
?????????1=????，复数 ???? 在复平面内对应的点的集合是以复数 ????1 在复平面内对应点为圆心，以为半径的圆；
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?????????1=?????????2，意味着复数 ???? 在复平面内对应的点分别与到复数 ????1 和复数 ????2 对应点的距离相等，即复数 ???? 在复平面内对应点的集合是以复数
????1 ,????2 在复平面内的对应点 ????1,????2为端点的线段的垂直平分线.
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例
满足 ?????2????+????+1=5 的复数 ???? 在复平面内的对应点的集合表示
的是什么图形？
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【解】满足 ?????2????+????+1=5 表示复数 ???? 在复平面内的对应点 ???? 到两定点
(0,2)，(-1,0)的距离之和为常数 5 .
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又因为点(0,2)与点(-1,0)之间的距离为?1?02+0?22=5
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所以点 ???? 表示的集合是以两定点(0,2)，(-1,0)为端点的线段.
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例题讲解
（1）计算： 4?5?????+?1?2??????3+4?????;
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题①
——复数的加减运算
复数的加减法运算类似于实数运算，若有括号，则先计算括号内的；若没有括号则从左往右算.
【解】(1) 4?5?????+?1?2??????3+4?????=4?1?3+?5?2?4????=?11????
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(2) ∵ ????1=????+2????,????2=3?????????????,????∈?????,且?????1+????2=5?6????,
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（2）设：????1=????+2????,????2=3?????????????,????∈?????,且?????1+????2=5?6????,求?????1?????2.
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∴ ????+3?2?????????=5?6????,
即????+3=52?????=?6,解得????=2????=8
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∴??????1?????2 =?1+10????
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计算：
（1）1+3?????+?2+??????2?3?????;
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（2）2????????1+5?????+3+?????????;
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（3）????+??????????3?????4?????????+5????????,????∈????.
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【解】(1) 原式=1?2?2+3+1+3????=?3+7????;
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(2) 原式=2+1+3+?1?5+4????=6?2????;
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(3) 原式=?????3????+????+4????+5????=?2????+5????+5?????.
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变式训练
已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，顶点A，B，C分别对应复数 ?5?2?????,?4+5????,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长.
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题②
——复数的加减运算的几何意义
任何一个复数z与复平面内的点Z以及以原点O为起点，点Z为终点的向量具有一一对应关系.
【解】由题意可得 ?????5,?2,?????4,5,????2,0.
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∵四边形ABCD是平行四边形
即 ????1,?7
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∴ 点D对应的复数是 1?7????，
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设 ????????,????,所以 ????????=1,7,????????=(2?????,?????)
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∴ ????????=????????,即1=2?????,7=?????,解得????=1,????=?7,
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∴ ????????=7,2,????????=53;????????=5,?12,????????=13
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设 ????1=3?2????,????2=?1+5????，则 ????1?????2 在复平面内对应的点位于第几象限？
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【解】因为?????1=3?2????,????2=?1+5????
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所以 ????1?????2=3??1+?2?5????=4?7????
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所以 ????1?????2在复平面内对应的点是4,?7
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位于第四象限.
变式训练
设 ????1,????2∈?????，已知 ????1=????2,????1+????2=2?，求 ????1?????2.
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题③
——复数的模的几何意义有关的应用
【解】设 ????1=????+????????,????2=????+????????(????,????,????,????∈????).
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由题意可得????2+????2=1,????2+????2=1,????+????2+????+????2=2,
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所以 2????????+2????????=0
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所以 ????1?????22=?????????2+?????????2=2
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所以 ????1?????2=2
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已知复数 ???? 满足 |????|=1?，求 |?????2????| 的取值范围
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【解】 |????|=1 表示复平面内单位圆上的点
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|?????2????| 表示复平面内单位圆上的点到点 (0,2) 之间的距离
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如图，由几何关系可知最小距离为1，最大距离为3
????
?
????
?
????
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1????2
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所以 |?????2????| 的取值范围是 [1,3]
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变式训练
谢谢聆听