7.2.2 复数的乘除运算课件（共18张PPT）

第7章 复数
7.2.2 复数的乘除运算
????????????????=????????????????
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(????????????????)????????=????????(????????????????)
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????????????????+????????=????????????????+????????????????
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高中数学人教A版（2019）必修 第二册
复数代数形式的乘法运算
复数的乘法法则
设 ????????=a+b?,????2=????+?????(????,????,????,????∈????) 是任意两个复数，那么它们的积
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a+b?????+????????=????????+?????????????+?????????????+?????????????2=?????????????????+????????+????????????
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两个复数的积仍然是一个确定的复数
在复数中，完全平方公式，平方差公
式仍然适用
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 ????2 换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.
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探究新知
复数代数形式的乘法运算
复数乘法满足的交换律
复数的乘法满足交换律、结合律，以及对加法的分配律，则对任意的 ????1,????2,????3∈?????，有如下规律成立：
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【计算】(7?????)(4?3????)
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????????????????=????????????????
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(????????????????)????????=????????(????????????????)
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????????????????+????????=????????????????+????????????????
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【解】(7?????)(4?3????)
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=28?21?????4????+3????2
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=28?25?????3
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=25?25????
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例题讲解
复数代数形式的乘方
复数的乘方
和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，比如： ????3 表示3个 ???? 相乘
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1
复数乘方的运算律
2
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意 ????,????1,????2∈????,????,????∈??????，有：
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????????????=????????????
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????????????????????=????????????????????????
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????????????????=?????
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????+????
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探究新知
复数代数形式的乘方
实数集内的乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如：
当 ????∈???? 时， ????2=|????|2；当 ????∈???? 时， =????2∈????,????2∈????,?故 ????2 与 |????|2 不一定能比较大小
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若 ????,????∈???? ，则 ????2+????2=0?????=????=0 ；若 ????1,????2∈?????，则 ????12+????22=0 不一定有 ????1=????2=0?，但若 ????1=????2=0?，则一定有 ????12+????22=0
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探究新知
共轭复数的性质
设 ????=????+????????,????=?????????????,????,????∈????,????1,????2,…????????∈????，则：
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????=????
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????=?????????是实数
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????=??????且?????≠?????????是纯虚数
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????=?????????????=????
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????+????=?????????,??????????=?????????????,????????=????????+????????
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探究新知
复数代数形式的除法运算
定义
1
规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足 ????+????????????+????????=????+????????(????,????,????,????,????,????∈????,????+????????≠0) 的复数 ????+???????? 叫做复数 ????+???????? 除以复数
????+???????? 的商，记作 (????+????????)÷(????+????????) 或 ????+????????????+????????
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复数的除法法则
2
????+????????÷????+????????=????+????????????+????????=(????+????????)(?????????????)(????+????????)(?????????????)=(????????+????????)+?????????????????????????????+????????
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=????????+????????????????+????????+?????????????????????????+????????????(????+????????≠????)
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由此可见，两个复数相除(除数不为0)的结果是一个确定的复数
探究新知
复数代数形式的除法运算
复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论；但是对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简.
复数除法实质上就是分母实数化的过程.
复数的除法法则形式复杂，难于记忆，所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成复数的代数形式 ????+????????(????,????∈????) 即可.
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探究新知
对共轭复数的概念理解不清
【错解】对共轭复数的概念理解不清而做错
【正解】由题意得 ????=21??=2(1+????)(1??)(1+????)=?1+????
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已知复数 ???? 满足 1?i????=2????(????是虚数单位)?，求 ????
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所以 ????=?1?????
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???????????+????? 的共轭复数是多少？
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【解】 1??1+2?=(1??)(1?2????)(1+2?)(1?2????)=?1?3?5
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所以 1??1+2? 的共轭复数为 ?1+3?5
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题
变式训练
误用判别式解复数范围内的一元二次方程
【错解】因为方程有实数根，所以 Δ =????+2????2?42+????????≥0,
解得 ????≥23或????≤?23
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【正解】设 ????0 是方程的实数根，代入方程并整理，得
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已知关于 ???? 的方程 ????2+????+2????????+2+???????? 有实数根，则实数 ???? 的值是多少？
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????02+????????0+2+2????0+????????=0
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∴????02+????????0+2=0，2????0+????=0,
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解得????0=2，????=?22,
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或????0=?2，????=22,
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所以实数 ???? 的值是 ±22
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已知关于 ???? 的方程 ????2?6+????????+9+????????=0 有实数根，求实数 ???? 的值.
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题
【正解】设 ????0 是方程的实数根，代入方程并整理，得
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????02?6????0+9+?????????0????=0
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∴????02?6????0+9=0，?????????0=0,
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解得????0=3，????=3,
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所以实数 ???? 的值是 3
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由于虚数单位的特殊性，故不能用判别式判断复数范围内的一元二次方程有无实数根
变式训练
计算：(1) 1+?????(1?????)+?1+?????;
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题①
——复数的乘除运算
【解】(1) 1+?????1?????+?1+?????
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(2) 1+2?2+31??2+?
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（2）1+2?2+31??2+?
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=2+?1+?????
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=1+????
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=?3+4????+3(1?????)2+?=????2+?
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=????(2?????)(2+?)(2?????)=1+2????5=15+25????
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题②
——与共轭复数有关的运算
【解】 ????+1????·????=(1+2????+11+2????)·(1?2????)
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若复数 ????=1+2????，其中 ???? 是虚数单位，求 ????+1????·????
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=1+2????·1?2????+1?2????1+2????
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=5+?3?4????5=225?45????
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写出复数的共轭复数，利用复数的四则运算法则，将所求式子化简，最后写成 ????+????????(????,????∈????) 的形式
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求方程 ????2?2????+5 的复数根
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题③
——复数范围内的解一元二次方程问题(实系数)
【解】由求根公式得
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对于实系数一元二次方程 ????????2+????????+????=0
(????≠0且????,????,????∈????)，其判别式Δ=????2?4????????.
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????=2±?162
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=2±4?2
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=1±2?
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★ 当Δ＞0时，方程有两个不等实根 ?????±????????????;
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★ 当Δ=0时，方程有两个相等实根 ?????????????;
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★ 当Δ＜0时，方程有两个共轭复数根 ??????????????±?????2????
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若关于 ???? 的方程 3+2????????2+?????????2?????1?10????=0 有实数根，求实数 ???? 的值
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题④
——复数范围内的解一元二次方程问题(虚系数)
【解】设方程的实数根为 ????=????，
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将方程转化为等号两边均为复数 ????+????????(????,????∈????) 的形式，确定两边复数的实部和虚部，列出方程组求解
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则 3????2?????2?????1+2????2+?????10????=0
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∴ 3????2?????2?????1=0,2????2+?????10=0,
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解得 ????=11?或?????=?715
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谢谢聆听